Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Vì $a \ge 0, b \ge 0$ nên $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$. Đặt nhân tử chung $\sqrt{a}$, ta được: $\sqrt{a}(\sqrt{b} - 4)$.

Do $a > 1 \implies a - 1 > 0 \implies \sqrt{(a - 1)^2} = a - 1$.

Ta có: $(a^2 - 1) \cdot \frac{\sqrt{5}}{a - 1} = (a - 1)(a + 1) \cdot \frac{\sqrt{5}}{a - 1} = \sqrt{5}(a + 1)$.

Phương trình $x(x - 2) = 0$ tương đương với:

• $x = 0$
• $x - 2 = 0 \iff x = 2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{0;\, 2\}$.

Phương trình $(2x + 1)(3x - 2) = 0$ có dạng phương trình tích:

• $2x + 1 = 0 \iff 2x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{2}$
• $3x - 2 = 0 \iff 3x = 2 \iff x = \dfrac{2}{3}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{-\dfrac{1}{2};\, \dfrac{2}{3}\right\}$.

Áp dụng hằng đẳng thức $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, ta biến đổi:

$$(x - 2)(x + 2) + x(x - 2) = 0$$

$$(x - 2)(x + 2 + x) = 0$$

$$(x - 2)(2x + 2) = 0$$

$$2(x - 2)(x + 1) = 0$$

Suy ra $x - 2 = 0$ hoặc $x + 1 = 0 \iff x = 2$ hoặc $x = -1$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1;\, 2\}$.

Nhận xét $9x^2 = (3x)^2$. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$$[(2x + 1) - 3x][(2x + 1) + 3x] = 0$$

$$(1 - x)(5x + 1) = 0$$

Suy ra:

• $1 - x = 0 \iff x = 1$
• $5x + 1 = 0 \iff 5x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{5}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{-\dfrac{1}{5};\, 1\right\}$.

Các mẫu thức trong phương trình là $(2x + 1)$ và $(x + 1)$.

Điều kiện để tất cả các mẫu thức khác 0:

$$\begin{cases} 2x + 1 \ne 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne -\dfrac{1}{2} \\ x \ne -1 \end{cases}$$

Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne -\dfrac{1}{2}$ và $x \ne -1$.

1. ĐKXĐ: $x \ne -\dfrac{1}{2}$ và $x \ne -1$.

2. Quy đồng và khử mẫu: Mẫu thức chung là $(2x + 1)(x + 1)$.

$$2(x + 1) + 1(2x + 1) = 3$$

$$2x + 2 + 2x + 1 = 3$$

$$4x + 3 = 3 \iff 4x = 0 \iff x = 0$$

3. Đối chiếu ĐKXĐ: $x = 0$ thoả mãn điều kiện $x \ne -\dfrac{1}{2}$ và $x \ne -1$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$, tức là $S = \{0\}$.

Ta có $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Mặt khác, $x^2 - x + 1 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó mẫu thức $x^2 - x + 1$ luôn khác 0 với mọi $x$. Phương trình chỉ cần điều kiện $x + 1 \ne 0 \iff x \ne -1$.

Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne -1$.

• Chiều rộng của khu đất làm nhà là: $12 - x\text{ (m)}$.

• Chiều dài của khu đất làm nhà là: $14 - (x + 2) = 14 - x - 2 = 12 - x\text{ (m)}$.

Do đó, phần đất làm nhà có dạng hình vuông với độ dài cạnh là $(12 - x)\text{ m}$.

Diện tích phần đất làm nhà là: $S = (12 - x)(12 - x) = (12 - x)^2\text{ (m}^2\text{)}$.

• Trong 1 giờ, cả hai người cùng làm được: $\dfrac{1}{8}$ (công việc).

• Trong 1 giờ, người thứ nhất làm một mình được: $\dfrac{1}{x}$ (công việc).

• Do đó, trong 1 giờ, người thứ hai làm được: $\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{x}$ (công việc).

Chuyển vế và nhóm nhân tử chung:

$$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$$

$$x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$$

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Suy ra $x = 2$ hoặc $x = 3$.

Vậy tập nghiệm là $S = \{2;\, 3\}$.

Ta phân tích $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.

Áp dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

$$\sqrt{52} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$$

Ta có $27a = 9 \cdot 3a = 3^2 \cdot 3a$.

Do $a \ge 0$ nên $3a \ge 0$, ta có:

$$\sqrt{27a} = \sqrt{3^2 \cdot 3a} = 3\sqrt{3a}$$

Đặt $25$ làm nhân tử chung dưới dấu căn:

$$50\sqrt{2} + 100 = 25(2\sqrt{2} + 4) = 5^2(2\sqrt{2} + 4)$$

Đưa $5^2$ ra ngoài dấu căn:

$$\sqrt{50\sqrt{2} + 100} = \sqrt{5^2(2\sqrt{2} + 4)} = 5\sqrt{2\sqrt{2} + 4}$$