Bài tập cuối chương IV
Tổng hợp lý thuyết trọng tâm Chương IV: tỉ số lượng giác, hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, giải chi tiết trắc nghiệm (4.21 - 4.25) và tự luận (4.26 - 4.30 SGK).
1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$
- • $\sin \alpha = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Huyền}}$, $\quad \cos \alpha = \dfrac{\text{Kề}}{\text{Huyền}}$
- • $\tan \alpha = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Kề}}$, $\quad \cot \alpha = \dfrac{\text{Kề}}{\text{Đối}}$
- • Hệ thức cơ bản: $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\quad \cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
- • $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, $\quad \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- • $1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$, $\quad 1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$
2. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
- • Theo sin và côsin:
$\quad b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$
$\quad c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$ - • Theo tang và côtang:
$\quad b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$
$\quad c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$ - • Hai góc phụ nhau ($\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$):
$\sin B = \cos C;\quad \cos B = \sin C;\quad \tan B = \cot C;\quad \cot B = \tan C$
Tính tỉ số lượng giác $\cos \alpha$ theo kích thước tam giác vuông
Trong Hình 4.32, giá trị của $\cos \alpha$ bằng:
Xem lời giải chi tiết Bài 4.21
Xét tam giác vuông trong Hình 4.32 đối với góc nhọn $\alpha$:
- • Cạnh kề với góc $\alpha$ có độ dài bằng $3$.
- • Cạnh đối diện góc $\alpha$ có độ dài bằng $4$.
- • Cạnh huyền có độ dài bằng $5$.
Áp dụng định nghĩa côsin của góc nhọn:
$$\cos \alpha = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{3}{5}$$
$\implies$ Chọn đáp án C.
Xác định tỉ số sin của một góc trong tam giác vuông
Trong tam giác $MNP$ vuông tại $M$ (Hình 4.33), $\sin \widehat{MNP}$ bằng:
Xem lời giải chi tiết Bài 4.22
Xét tam giác $MNP$ vuông tại $M$:
- • Cạnh huyền là $PN$ (đối diện với góc vuông $M$).
- • Cạnh đối diện góc $\widehat{MNP}$ là cạnh $MP$.
- • Cạnh kề với góc $\widehat{MNP}$ là cạnh $MN$.
Theo định nghĩa sin của một góc nhọn trong tam giác vuông:
$$\sin \widehat{MNP} = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{MP}{PN}$$
$\implies$ Chọn đáp án B.
Xác định tỉ số tang của một góc trong tam giác vuông
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (Hình 4.34), $\tan B$ bằng:
Xem lời giải chi tiết Bài 4.23
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
- • Cạnh đối diện góc $B$ là $AC$.
- • Cạnh kề góc $B$ là $AB$.
Theo định nghĩa tang của một góc nhọn trong tam giác vuông:
$$\tan B = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \dfrac{AC}{AB}$$
$\implies$ Chọn đáp án B.
Tính chất của hai góc phụ nhau
Với mọi góc nhọn $\alpha$, ta có khẳng định nào đúng?
Xem lời giải chi tiết Bài 4.24
Hai góc $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$ có tổng bằng $90^\circ$ nên là hai góc phụ nhau. Theo định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
- • $\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$
- • $\cos (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$
- • $\tan (90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$
- • $\cot (90^\circ - \alpha) = \tan \alpha$
$\implies$ Khẳng định đúng là A.
Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị của $\tan 30^\circ$ bằng:
Xem lời giải chi tiết Bài 4.25
Tra bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt hoặc bấm máy tính:
$$\tan 30^\circ = \dfrac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$\implies$ Chọn đáp án C.
Tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại
Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại. Hỏi các tam giác đó có đồng dạng với nhau không? Tính sin và côsin của góc nhọn lớn hơn.
Xem lời giải chi tiết Bài 4.26
1. Chứng minh các tam giác vuông đó đồng dạng với nhau:
Gọi số đo góc nhọn nhỏ hơn là $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Khi đó, góc nhọn còn lại có số đo là $2\alpha$.
Vì tam giác vuông nên tổng hai góc nhọn bằng $90^\circ$:
$$\alpha + 2\alpha = 90^\circ \iff 3\alpha = 90^\circ \iff \alpha = 30^\circ$$
Số đo góc nhọn lớn hơn là: $2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Như vậy, mọi tam giác vuông thỏa mãn đề bài đều có ba góc với số đo lần lượt là $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.
Do đó, tất cả các tam giác vuông này đều đồng dạng với nhau (theo trường hợp góc – góc).
2. Tính sin và côsin của góc nhọn lớn hơn:
Góc nhọn lớn hơn có số đo là $60^\circ$. Ta có:
- • $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- • $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
Tính góc nghiêng cạnh mái lều (Hình 4.35 SGK)
Hình 4.35 là mô hình của một túp lều. Tìm góc $\alpha$ giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn kết quả đến phút).
- • Chiều cao từ đỉnh lều xuống mặt đất: $h = 1{,}8\text{ m}$.
- • Độ rộng bề ngang đáy lều: $4{,}4\text{ m}$.
Xem lời giải chi tiết Bài 4.27
Mặt cắt ngang của túp lều là một tam giác cân có đỉnh là chóp lều, đáy nằm trên mặt đất.
Đường cao hạ từ đỉnh lều xuống mặt đất vừa là đường cao, vừa là đường trung trực chia đôi cạnh đáy của tam giác cân.
Độ dài nửa đáy lều là:
$$d = \dfrac{4{,}4}{2} = 2{,}2\text{ (m)}$$
Xét tam giác vuông tạo bởi đường cao và nửa cạnh đáy, ta có:
$$\tan \alpha = \dfrac{\text{chiều cao}}{\text{nửa đáy}} = \dfrac{1{,}8}{2{,}2} = \dfrac{18}{22} = \dfrac{9}{11} \approx 0{,}81818$$
Bấm máy tính tìm góc nhọn $\alpha$:
$$\alpha = \arctan\left(\dfrac{9}{11}\right) \approx 39{,}2894^\circ \approx 39^\circ 17'$$
Kết luận: Góc giữa cạnh mái lều và mặt đất khoảng $39^\circ 17'$.
Hình ảnh thực tế túp lều
Sơ đồ mặt cắt hình học (H.4.35)
Tính chiều cao ban đầu của cây bị gãy (Hình 4.36 SGK)
Một cây cao bị gãy, ngọn cây đổ xuống mặt đất. Ba điểm: gốc cây, điểm gãy, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông. Đoạn cây gãy tạo với mặt đất góc $20^\circ$ và chắn ngang lối đi một đoạn $5\text{ m}$ (H.4.36). Hỏi trước khi bị gãy, cây cao khoảng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Xem lời giải chi tiết Bài 4.28
Mô hình hóa hình học bài toán bằng tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
- • Điểm $A$ là gốc cây trên mặt đất ($\widehat{A} = 90^\circ$).
- • Điểm $B$ là vị trí thân cây bị gãy gập.
- • Điểm $C$ là vị trí ngọn cây chạm đất ($AC = 5\text{ m}$).
- • Góc giữa đoạn cây gãy và mặt đất: $\widehat{ACB} = 20^\circ$.
1. Chiều cao phần thân cây đứng còn lại ($AB$):
$$AB = AC \cdot \tan 20^\circ = 5 \cdot \tan 20^\circ \approx 5 \cdot 0{,}36397 = 1{,}8198\text{ (m)}$$
2. Độ dài đoạn cây gãy đổ xuống ($BC$ - cạnh huyền):
$$BC = \dfrac{AC}{\cos 20^\circ} = \dfrac{5}{\cos 20^\circ} \approx \dfrac{5}{0{,}93969} \approx 5{,}3209\text{ (m)}$$
3. Chiều cao ban đầu của cây trước khi bị gãy:
$$h = AB + BC \approx 1{,}8198 + 5{,}3209 = 7{,}1407\text{ (m)} \approx 7{,}1\text{ (m)}$$
Kết luận: Trước khi bị gãy, cây cao khoảng $7{,}1\text{ m}$.
Mô phỏng 3D cây bị gãy ngang đường
Sơ đồ hình học tam giác vuông (H.4.36)
Chứng minh hệ thức lượng giác cơ bản: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{B} = \alpha$ (H.4.37).
- a) Hãy viết các tỉ số lượng giác $\sin \alpha, \cos \alpha$.
- b) Sử dụng định lí Pythagore, chứng minh rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Xem lời giải chi tiết Bài 4.29
a) Các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$:
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
$$\sin \alpha = \dfrac{AC}{BC}, \qquad \cos \alpha = \dfrac{AB}{BC}$$
b) Chứng minh đẳng thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
Từ kết quả câu a, ta có:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2 + \left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2 = \dfrac{AC^2}{BC^2} + \dfrac{AB^2}{BC^2} = \dfrac{AB^2 + AC^2}{BC^2}$$
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$$AB^2 + AC^2 = BC^2$$
Thay vào biểu thức trên, ta được:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \dfrac{BC^2}{BC^2} = 1 \quad (\text{đpcm})$$
Ý nghĩa thực tiễn: Đây là công thức lượng giác cơ bản nhất giúp ta dễ dàng tính $\sin$ khi biết $\cos$ và ngược lại: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ và $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ với mọi góc nhọn $\alpha$.
Bài 4.30 (ĐỐ VUI): Eratosthenes đã đo chu vi Trái Đất như thế nào?
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được chu vi của Trái Đất nhờ hai quan sát kì diệu:
1. Tại Syene (Xy-en): Trưa ngày Hạ chí (21/6), tia sáng mặt trời chiếu thẳng đứng xuống tận đáy một cái giếng sâu (không tạo bóng râm).
2. Tại Alexandria cách Syene $800\text{ km}$ theo kinh tuyến: Đúng trưa ngày Hạ chí, một ngọn tháp cao $25\text{ m}$ có bóng trên mặt đất dài $3{,}1\text{ m}$.
Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ chu vi Trái Đất như thế nào?
Xem lời giải chi tiết Bài 4.30 (Kì tích đo đạc cổ đại)
1. Tính góc lệch của tia sáng mặt trời tại Alexandria:
Tam giác vuông $HAB$ vuông tại $A$ tạo bởi ngọn tháp $AH = 25\text{ m}$ và bóng tháp $AB = 3{,}1\text{ m}$ trên mặt đất.
Góc lệch $\alpha = \widehat{AHB}$ giữa tia nắng và ngọn tháp thẳng đứng là:
$$\tan \alpha = \dfrac{AB}{AH} = \dfrac{3{,}1}{25} = 0{,}124$$
$$\alpha = \arctan(0{,}124) \approx 7{,}07^\circ \approx 7^\circ 4'$$
(Trong ghi chép lịch sử, Eratosthenes tính góc lệch xấp xỉ $7{,}2^\circ$, tức bằng $\dfrac{1}{50}$ của một vòng tròn $360^\circ$).
2. Mối liên hệ với góc ở tâm Trái Đất:
Vì Mặt Trời ở rất xa, các chùm tia sáng chiếu tới Trái Đất được coi là hoàn toàn song song.
Do đó, góc $\alpha$ giữa tia sáng và ngọn tháp tại Alexandria chính là góc ở tâm $\widehat{AOS} = \alpha$ chắn cung tròn $AS$ nối Alexandria và Syene (hai góc so le trong giữa các đường song song).
3. Tính chu vi Trái Đất:
Độ dài cung $AS = 800\text{ km}$ ứng với góc ở tâm $\alpha \approx 7{,}2^\circ$ (bằng $\dfrac{1}{50}$ đường tròn $360^\circ$).
Chu vi Trái Đất $C$ ước lượng là:
$$C = \dfrac{360^\circ}{\alpha} \cdot 800\text{ km} \approx 50 \cdot 800 = 40\,000\text{ (km)}$$
(Nếu lấy $\alpha \approx 7{,}07^\circ$ theo số liệu đề bài thì $C = \dfrac{360^\circ}{7{,}07^\circ} \cdot 800 \approx 40\,700\text{ km}$).
Khám phá thú vị: Chu vi Trái Đất qua hai cực đo đạc bằng vệ tinh hiện đại ngày nay là khoảng $40\,008\text{ km}$. Như vậy, chỉ bằng một cái que và kiến thức lượng giác tam giác vuông, hơn 2200 năm trước Eratosthenes đã tính chu vi Trái Đất với độ chính xác kinh ngạc (sai số chỉ khoảng $1\% - 2\%$)!
Trong tam giác vuông (Hình 4.32):
- • Cạnh kề góc $\alpha$ bằng $3$.
- • Cạnh huyền bằng $5$.
Theo định nghĩa côsin của góc nhọn:
$$\cos \alpha = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{3}{5}$$
Đáp án đúng là C.
Cạnh đối diện góc $\alpha$ là $4$, cạnh huyền là $5$.
Do đó:
$$\sin \alpha = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{4}{5}$$
Đáp án đúng là A.
Ta có cạnh đối diện góc $\alpha$ là $4$, cạnh kề là $3$.
- • $\tan \alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}} = \dfrac{4}{3}$
- • $\cot \alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{đối}} = \dfrac{3}{4}$
Đáp án đúng là B.
Tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có:
- • Cạnh huyền là $PN$.
- • Cạnh đối diện góc $\widehat{MNP}$ là cạnh $MP$.
Do đó:
$$\sin \widehat{MNP} = \dfrac{MP}{PN}$$
Đáp án đúng là B.
Cạnh kề với góc $\widehat{MNP}$ là cạnh $MN$, cạnh huyền là $PN$.
Do đó:
$$\cos \widehat{MNP} = \dfrac{MN}{PN}$$
Đáp án đúng là A.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
Cạnh đối góc $B$ là $AC$, cạnh kề góc $B$ là $AB$.
Theo định nghĩa tang của góc nhọn:
$$\tan B = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}} = \dfrac{AC}{AB}$$
Đáp án đúng là B.
Hai góc $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$ là hai góc phụ nhau.
Theo định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: sin của góc này bằng côsin của góc kia.
$$\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$$
Đáp án đúng là A.
Theo bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt:
$$\tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
Đáp án đúng là C.
Gọi góc nhọn nhỏ hơn là $\alpha$, góc nhọn lớn hơn là $2\alpha$.
Do tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90^\circ$:
$$\alpha + 2\alpha = 90^\circ \iff 3\alpha = 90^\circ \iff \alpha = 30^\circ$$
Góc nhọn lớn hơn là $2\alpha = 60^\circ$.
Mọi tam giác vuông này đều có ba góc bằng $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$, do đó chúng luôn đồng dạng với nhau (theo trường hợp góc - góc).
Đáp án đúng là B.
Góc nhọn lớn hơn có số đo là $60^\circ$.
Ta có:
- • $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- • $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
Đáp án đúng là B.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Ta có $\sin \alpha = \dfrac{AC}{BC}$, $\cos \alpha = \dfrac{AB}{BC}$.
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \dfrac{AC^2 + AB^2}{BC^2}$$
Theo định lí Pythagore: $AB^2 + AC^2 = BC^2$, do đó:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \dfrac{BC^2}{BC^2} = 1$$
Đáp án đúng là B.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 1 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!