Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba (Toán Lớp 9)

Khởi động bài học (SGK Trang 60)

Căn bậc hai của một số thực (dương) có một vai trò quan trọng trong đời sống và toán học. Căn bậc hai của số thực $a$ không âm là các số thực $x$ thoả mãn điều kiện $x^2 = a$. Trong bài học này, các em sẽ được làm quen với khái niệm căn bậc ba, một khái niệm tương tự căn bậc hai nhưng mở rộng cho mọi số thực!

Phân biệt Căn bậc hai và Căn bậc ba

Hình 3.14: Bảng so sánh bản chất toán học: Căn bậc hai (chỉ với $a \ge 0$) và Căn bậc ba (với mọi $a \in \mathbb{R}$)

Căn bậc ba

Định nghĩa căn bậc ba của một số thực và phương pháp tính bằng MTCT

Hoạt động (SGK Trang 60): Thể tích khối lập phương và bài toán ngược

Kí hiệu $V$ là thể tích của hình lập phương với cạnh $x$ ($V = x^3$). Hãy tìm cạnh $x$ khi biết $V = 8$, $V = 27$, $V = 64$.

Xem lời giải chi tiết

Công thức thể tích hình lập phương: $V = x^3$.

Với $V = 8 = 2^3 \implies x = 2$.
Với $V = 27 = 3^3 \implies x = 3$.
Với $V = 64 = 4^3 \implies x = 4$.

Các giá trị cần điền lần lượt là $x = 3$ và $x = 4$.

Định nghĩa Căn bậc ba của một số thực (SGK Trang 60)

Căn bậc ba của số thực $a$ là số thực $x$ thoả mãn:

$$x^3 = a$$

• Tính duy nhất: Mỗi số thực $a$ (dương, âm hay bằng 0) đều có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$.

• Dấu của căn bậc ba: Căn bậc ba của số dương là số dương, căn bậc ba của số âm là số âm, $\sqrt[3]{0} = 0$.

• Đẳng thức cơ bản: Với mọi số thực $a$: $(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$.

Ví dụ 1 (SGK Trang 60): Nhận biết căn bậc ba

a) Chứng tỏ rằng $\sqrt[3]{64} = 4$; b) Tính $\sqrt[3]{0}$ và $\sqrt[3]{-27}$.

Xem lời giải chi tiết

a) Vì $4^3 = 64$ nên theo định nghĩa căn bậc ba, $\sqrt[3]{64} = 4$.
b) Ta có $0^3 = 0 \implies \sqrt[3]{0} = 0$.
Vì $(-3)^3 = -27 \implies \sqrt[3]{-27} = -3$.

Luyện tập 1 (SGK Trang 61): Tính căn bậc ba đúng

Tính giá trị đúng của các căn bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{125}$; b) $\sqrt[3]{0{,}008}$; c) $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}}$.

Xem lời giải chi tiết

a) Vì $5^3 = 125$ nên $\sqrt[3]{125} = 5$.
b) Vì $(0{,}2)^3 = 0{,}008$ nên $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$.
c) Vì $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{-8}{27}$ nên $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}} = -\dfrac{2}{3}$.

Tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay (MTCT)

Để tính căn bậc ba trên máy tính cầm tay, ta dùng tổ hợp phím SHIFT + √ (phím căn bậc ba $\sqrt[3]{\phantom{x}}$).

Ví dụ 2 (SGK Trang 61):

Tính $\sqrt[3]{3{,}25}$ rồi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Bấm: SHIFT √ 3.25 = $\implies \sqrt[3]{3{,}25} \approx 1{,}48$.

Luyện tập 2 (SGK Trang 61):

Tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác $0{,}005$.

Màn hình hiện $3{,}55689... \implies \sqrt[3]{45} \approx 3{,}56$.

Thử thách nhỏ (SGK Trang 61): Xếp các khối lập phương đơn vị

Có thể xếp $125$ khối lập phương đơn vị (có cạnh bằng $1\text{ cm}$) thành một khối lập phương lớn được không nhỉ?

Xem lời giải chi tiết

Trả lời: Có thể xếp được.

Giải thích: Vì $125 = 5^3$ nên ta có thể xếp $125$ khối lập phương đơn vị thành một khối lập phương lớn gồm $5$ lớp, mỗi lớp gồm $5 \times 5 = 25$ khối đơn vị.

Khối lập phương lớn có cạnh bằng $5\text{ cm}$ và thể tích $V = 5^3 = 125\text{ cm}^3$.

Hình 3.13: Thử thách nhỏ: Khối lập phương ghép từ đúng $125 = 5^3$ khối lập phương nhỏ $1\text{ cm}$

Hình 3.15: Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ xác định và liên tục trên toàn bộ trục số thực $\mathbb{R}$

Căn thức bậc ba

Định nghĩa căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$, tính giá trị và rút gọn biểu thức

Định nghĩa Căn thức bậc ba (SGK Trang 61)

Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\sqrt[3]{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số.

• Đẳng thức cơ bản: $(\sqrt[3]{A})^3 = \sqrt[3]{A^3} = A$.

• Tính giá trị: Để tính giá trị của $\sqrt[3]{A}$ tại giá trị cho trước của biến, ta thay giá trị đó vào trong căn thức rồi thực hiện phép tính số học.

Ví dụ 3 (SGK Trang 62): Tính giá trị của căn thức bậc ba

Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{2x + 5}$ tại:

a) $x = 60$; b) $x = -6{,}5$.

Xem lời giải chi tiết

a) Thay $x = 60$ vào căn thức:
$$\sqrt[3]{2 \cdot 60 + 5} = \sqrt[3]{120 + 5} = \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$$
b) Thay $x = -6{,}5$ vào căn thức:
$$\sqrt[3]{2 \cdot (-6{,}5) + 5} = \sqrt[3]{-13 + 5} = \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$$

Ví dụ 4 (SGK Trang 62): Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc ba

Rút gọn biểu thức: $-x + 5 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}$.

Xem lời giải chi tiết

Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$.

Do đó:

$$-x + 5 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} = -x + 5 + \sqrt[3]{(x + 1)^3} = -x + 5 + (x + 1) = 6$$

Biểu thức rút gọn có giá trị không đổi bằng $6$ với mọi $x$.

Luyện tập 3 (SGK Trang 62): Thực hành tính và rút gọn

a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5x - 1}$ tại $x = 0$ và tại $x = -1{,}4$.

b) Rút gọn biểu thức: $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}$.

Xem lời giải chi tiết

a) Tính giá trị căn thức:

Tại $x = 0$: $\sqrt[3]{5 \cdot 0 - 1} = \sqrt[3]{-1} = -1$.
Tại $x = -1{,}4$: $\sqrt[3]{5 \cdot (-1{,}4) - 1} = \sqrt[3]{-7 - 1} = \sqrt[3]{-8} = -2$.

b) Rút gọn biểu thức:

Nhận xét: $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$.

Suy ra: $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} = \sqrt[3]{(x - 1)^3} = x - 1$.

Ứng dụng thực tế: Chế tạo thùng tôn hình lập phương (Bài 3.25 Trang 62)

Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng $730\text{ dm}^3$. Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu decimét.

Xem lời giải chi tiết

• Gọi độ dài cạnh thùng tôn hình lập phương là $x\text{ (dm)}$ ($x > 0$).

• Thể tích thùng là: $V = x^3 = 730\text{ dm}^3 \implies x = \sqrt[3]{730}$.

• Vì $9^3 = 729 \approx 730$ nên ta ước lượng chiều dài cạnh thùng là: khoảng $9\text{ dm}$ (hay $90\text{ cm}$).

* Bằng máy tính cầm tay: $\sqrt[3]{730} \approx 9{,}00411\text{ dm}$, rất gần với số nguyên $9$.

Hình 3.12: Bài 3.25: Thùng tôn hình lập phương thể tích $V = 730\text{ dm}^3$, cạnh $x = \sqrt[3]{730} \approx 9\text{ dm}$

Bài 3.23a (SGK Trang 62): Tính căn bậc ba của 216: $$\sqrt[3]{216}$$ Giá trị là:

Lời giải chi tiết:

Vì $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ nên $\sqrt[3]{216} = 6$.