Bài tập cuối chương III
Ôn tập và củng cố toàn diện kiến thức Chương III: căn bậc hai số học, hằng đẳng thức căn thức, căn bậc ba, biểu thức liên hợp và các bài toán ứng dụng thực tế.
I. HỆ THỐNG HOÁ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG III
1. Căn bậc hai & Căn bậc hai số học
- Với số $a > 0$: có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.
- Căn bậc hai số học của $a \ge 0$ là số không âm $\sqrt{a}$.
- Căn thức $\sqrt{A}$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.
2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ & Khai phương
- $\sqrt{A^2} = |A|$: Bằng $A$ nếu $A \ge 0$; bằng $-A$ nếu $A < 0$.
- $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ ($A \ge 0, B \ge 0$).
- $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ ($A \ge 0, B > 0$).
- Trục căn thức ở mẫu bằng biểu thức liên hợp.
3. Căn bậc ba của số thực
- Mọi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba: $(\sqrt[3]{a})^3 = a$.
- Hằng đẳng thức: $\sqrt[3]{A^3} = A$ (luôn luôn đúng với mọi dấu của $A$).
- Căn bậc ba của số âm là một số âm: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.
4. Ứng dụng vật lí & hình học
- Rơi tự do: $S = 4{,}9 t^2 \implies t = \sqrt{\frac{S}{4{,}9}}$.
- Nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn: $Q = I^2 R t \implies I = \sqrt{\frac{Q}{Rt}}$.
- Hình tròn diện tích $S$: bán kính $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$, đường kính $d = 2R$.
II. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN TRANG 65
$$A = \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{4(2 + \sqrt{3})^2} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$$
Xem lời giải Bài 3.37
Ta khai triển và rút gọn từng số hạng:
- Số hạng 1: $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2|$. Do $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$ nên $|\sqrt{3}-2| = 2 - \sqrt{3}$.
- Số hạng 2: $\sqrt{4(2+\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2(2+\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$.
- Số hạng 3: Trục căn thức ở mẫu bằng nhân lượng liên hợp $(2+\sqrt{3})$:
$$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4 - 3} = 2+\sqrt{3}.$$
Thay tất cả vào biểu thức $A$:
$$A = (2 - \sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = 4.$$
Vậy $A = 4$.
a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tính giá trị của $A$ tại $x = 14$.
Xem lời giải Bài 3.38
a) Rút gọn biểu thức $A$:
Mẫu số chung là $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = x - 4$. Ta có:
$$A = \frac{(\sqrt{x}+2)^2 - 4(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$
$$= \frac{(x + 4\sqrt{x} + 4) - (4\sqrt{x} - 8)}{x - 4} = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4 - 4\sqrt{x} + 8}{x - 4} = \frac{x + 12}{x - 4}.$$
b) Tính giá trị tại $x = 14$:
Giá trị $x = 14$ thoả mãn điều kiện $x \ge 0$ và $x \ne 4$. Thay vào $A$ đã rút gọn:
$$A = \frac{14 + 12}{14 - 4} = \frac{26}{10} = 2{,}6.$$
a) Điền giá trị thích hợp vào bảng: với $I = 1\text{ A}; 1{,}5\text{ A}; 2\text{ A}$.
b) Cường độ dòng điện là bao nhiêu Ampe để nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn đạt $800\text{ J}$?
Xem lời giải Bài 3.39
Biểu thức nhiệt lượng với $R = 10\ \Omega$ và $t = 5\text{ s}$ là: $Q = I^2 \cdot 10 \cdot 5 = 50 I^2$.
a) Tính $Q$ theo các giá trị của $I$:
- Khi $I = 1\text{ A} \implies Q = 50 \cdot 1^2 = 50\text{ (J)}$.
- Khi $I = 1{,}5\text{ A} \implies Q = 50 \cdot (1{,}5)^2 = 50 \cdot 2{,}25 = 112{,}5\text{ (J)}$.
- Khi $I = 2\text{ A} \implies Q = 50 \cdot 2^2 = 50 \cdot 4 = 200\text{ (J)}$.
b) Tìm $I$ khi $Q = 800\text{ J}$:
$$50 I^2 = 800 \iff I^2 = \frac{800}{50} = 16 \iff I = \sqrt{16} = 4\text{ (A)}$$ (vì cường độ dòng điện $I > 0$).
Vậy dòng điện cần có cường độ $4\text{ A}$.
Căn bậc hai của $4$ là:
Số dương $4$ có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{4} = 2$ và $-\sqrt{4} = -2$.
Căn bậc hai số học của $49$ là:
Căn bậc hai số học của số dương $49$ là số không âm $\sqrt{49} = 7$.
Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{(4 - \sqrt{17})^3}$ ta được:
Áp dụng hằng đẳng thức căn bậc ba $\sqrt[3]{A^3} = A$ với mọi biểu thức $A$:
$$\sqrt[3]{(4 - \sqrt{17})^3} = 4 - \sqrt{17}.$$
Độ dài đường kính (mét) của hình tròn có diện tích $4\text{ m}^2$ sau khi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai bằng:
Diện tích hình tròn $S = \pi R^2 = 4 \implies R = \sqrt{\frac{4}{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$.
Đường kính $d = 2R = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \approx \frac{4}{1{,}77245} \approx 2{,}25676 \approx 2{,}26\text{ (m)}$.
Một vật rơi tự do từ độ cao $396{,}9\text{ m}$. Biết quãng đường chuyển động $S$ (mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) bởi $S = 4{,}9 t^2$. Vật chạm đất sau:
Khi vật chạm đất thì quãng đường rơi $S = 396{,}9\text{ m}$:
$$4{,}9 t^2 = 396{,}9 \iff t^2 = \frac{396{,}9}{4{,}9} = 81.$$
Vì $t > 0 \implies t = \sqrt{81} = 9\text{ (giây)}$.
Không sử dụng MTCT, tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} + \sqrt{4(2+\sqrt{3})^2} - \frac{1}{2-\sqrt{3}}$.
Ta có:
- $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2| = 2-\sqrt{3}$.
- $\sqrt{4(2+\sqrt{3})^2} = 2(2+\sqrt{3}) = 4+2\sqrt{3}$.
- $\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$.
Thay vào: $A = (2-\sqrt{3}) + (4+2\sqrt{3}) - (2+\sqrt{3}) = 4$.
Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} - \frac{4}{\sqrt{x}+2}$ ($x \ge 0, x \ne 4$). Rút gọn biểu thức $A$ ta được kết quả:
Quy đồng mẫu số chung là $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = x - 4$:
$$A = \frac{(\sqrt{x}+2)^2 - 4(\sqrt{x}-2)}{x-4} = \frac{x+4\sqrt{x}+4 - 4\sqrt{x}+8}{x-4} = \frac{x+12}{x-4}.$$
Với biểu thức rút gọn $A = \frac{x+12}{x-4}$, giá trị của $A$ tại $x = 14$ là:
Thay $x = 14$ vào biểu thức:
$$A = \frac{14+12}{14-4} = \frac{26}{10} = 2{,}6.$$
Nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn tính theo công thức $Q = I^2 R t$. Với $R = 10\ \Omega$ và $t = 5\text{ giây}$, khi cường độ dòng điện $I = 1\text{ A}$ thì nhiệt lượng $Q$ bằng:
$$Q = 1^2 \cdot 10 \cdot 5 = 1 \cdot 50 = 50\text{ (J)}.$$
Biết công thức $Q = I^2 R t$ với $R = 10\ \Omega$, $t = 5\text{ giây}$. Khi cường độ dòng điện $I = 1{,}5\text{ A}$ thì nhiệt lượng toả ra là:
$$Q = (1{,}5)^2 \cdot 10 \cdot 5 = 2{,}25 \cdot 50 = 112{,}5\text{ (J)}.$$
Biết công thức toả nhiệt $Q = 50 I^2$. Khi dòng điện $I = 2\text{ A}$, nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn là:
$$Q = 50 \cdot 2^2 = 50 \cdot 4 = 200\text{ (J)}.$$
Với điện trở $R = 10\ \Omega$ và thời gian $t = 5\text{ giây}$, cường độ dòng điện $I$ bằng bao nhiêu Ampe để nhiệt lượng toả ra đạt $800\text{ J}$?
Ta có phương trình: $50 I^2 = 800 \iff I^2 = 16$.
Vì $I > 0 \implies I = \sqrt{16} = 4\text{ (A)}$.
Căn thức bậc hai $\sqrt{3 - 2x}$ xác định khi và chỉ khi:
Biểu thức dưới dấu căn không âm: $3 - 2x \ge 0 \iff -2x \ge -3 \iff x \le \frac{3}{2} = 1{,}5$.
Với $x < 3$, rút gọn biểu thức $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ ta được:
Ta có $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$.
Vì $x < 3 \implies x - 3 < 0$, do đó $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$.
Giá trị của biểu thức $M = \sqrt[3]{-125} + \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{-1}$ bằng:
Ta tính từng căn bậc ba:
- $\sqrt[3]{-125} = -5$.
- $\sqrt[3]{27} = 3$.
- $\sqrt[3]{-1} = -1$.
Vậy $M = (-5) + 3 - (-1) = -5 + 3 + 1 = -1$.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 1 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Nghiệm của phương trình $\sqrt{2x + 1} = 5$ là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!