Luyện tập chung Chương II (Toán Lớp 9)

Luyện tập chung: Phương trình quy về bậc nhất & Bất đẳng thức, bất phương trình

I. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN GHI NHỚ

1. Phương trình tích

- Dạng: $A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.
- Phương pháp: Chuyển toàn bộ các hạng tử về một vế, phân tích đa thức thành nhân tử rồi giải từng phương trình bậc nhất.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các mẫu thức khác 0.
- Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.
- Bước 3: Giải phương trình nhận được và đối chiếu điều kiện xác định để kết luận nghiệm.

3. Bất đẳng thức & Tính chất liên hệ

- Liên hệ với phép cộng: $a < b \implies a + c < b + c$.
- Liên hệ với phép nhân: Nếu $c > 0 \implies ac < bc$; nếu $c < 0 \implies ac > bc$ (đổi chiều bất đẳng thức).
- Tính chất bắc cầu: $a < b$ và $b < c \implies a < c$.

4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Dạng: $ax + b < 0$ ($a \ne 0$) hoặc các dạng $\le, >, \ge$.
- Quy tắc biến đổi: Chuyển vế đổi dấu và nhân/chia hai vế cho một số khác 0 (chú ý đổi chiều khi nhân/chia cho số âm).

II. PHÂN TÍCH CÁC VÍ DỤ MẪU TRANG 36 - 37

Ví dụ 1 (Trang 36 SGK): Giải phương trình $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^2 + x + 1} = \frac{x^2 + x}{x^3 - 1}$

Xem lời giải Ví dụ 1

Ta nhận thấy $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Vì $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên ĐKXĐ là $x \ne 1$.

Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:

$$\frac{(x^2 + x + 1) + 2(x - 1)}{x^3 - 1} = \frac{x^2 + x}{x^3 - 1} \implies x^2 + 3x - 1 = x^2 + x \iff 2x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}.$$

Giá trị $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{2}$.

Ví dụ 2 (Trang 36 SGK): Giải phương trình $\frac{x}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} = \frac{-2x - 6}{x^2 - 9}$

Xem lời giải Ví dụ 2

ĐKXĐ: $x \ne 3$ và $x \ne -3$. Mẫu thức chung là $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:

$$x(x - 3) - 2(x + 3) = -2x - 6 \implies x^2 - 5x - 6 = -2x - 6 \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0.$$

$\implies x = 0$ hoặc $x = 3$.

- Giá trị $x = 0$ thỏa mãn ĐKXĐ.
- Giá trị $x = 3$ không thỏa mãn ĐKXĐ (bị loại).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$.

Ví dụ 3 (Trang 37 SGK): Cho $a < b$. Chứng minh rằng: a) $2a + 1 < 2b + 2$; b) $-2a - 5 > -2b - 7$.

Xem lời giải Ví dụ 3

a) Từ $a < b$, nhân hai vế với $2 > 0$ ta được $2a < 2b$. Cộng cả hai vế với $1$: $2a + 1 < 2b + 1$.
Vì $1 < 2 \implies 2b + 1 < 2b + 2$. Theo tính chất bắc cầu: $2a + 1 < 2b + 2$.

b) Từ $a < b$, nhân hai vế với $-2 < 0$ ta đổi chiều: $-2a > -2b$. Cộng hai vế với $-5$: $-2a - 5 > -2b - 5$.
Vì $-5 > -7 \implies -2b - 5 > -2b - 7$. Theo tính chất bắc cầu: $-2a - 5 > -2b - 7$.

III. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP SGK TRANG 37

Bài 2.12 (Trang 37 SGK): Giải các phương trình sau:

a) $2(x + 1) = (5x - 1)(x + 1)$ b) $(-4x + 3)x = (2x + 5)x$

Xem lời giải Bài 2.12

a) $2(x + 1) - (5x - 1)(x + 1) = 0 \iff (x + 1)[2 - (5x - 1)] = 0 \iff (x + 1)(3 - 5x) = 0$.
$\implies x + 1 = 0 \iff x = -1$ hoặc $3 - 5x = 0 \iff x = \frac{3}{5}$.
Vậy tập nghiệm là $S = \{-1; \frac{3}{5}\}$.

b) $(-4x + 3)x - (2x + 5)x = 0 \iff x[(-4x + 3) - (2x + 5)] = 0 \iff x(-6x - 2) = 0$.
$\implies x = 0$ hoặc $-6x - 2 = 0 \iff x = -\frac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm là $S = \{0; -\frac{1}{3}\}$.

Bài 2.13 (Trang 37 SGK): Để loại bỏ $x\%$ một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là $C(x) = \frac{50x}{100 - x}$ (triệu đồng), với $0 \le x < 100$. Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?

Xem lời giải Bài 2.13

Theo đề bài, chi phí $C(x) = 450\text{ triệu đồng}$. Ta có phương trình:

$$\frac{50x}{100 - x} = 450 \implies 50x = 450(100 - x) \iff 50x = 45000 - 450x \iff 500x = 45000 \iff x = 90.$$

Giá trị $x = 90$ thỏa mãn điều kiện $0 \le x < 100$.

Vậy với $450\text{ triệu đồng}$, người ta có thể loại bỏ được $90\%$ lượng tảo độc trong hồ.

Bài 2.14 (Trang 37 SGK): Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x^2 - 2x + 4} = \frac{x - 4}{x^3 + 8}$ b) $\frac{2x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4} = \frac{x - 12}{x^2 - 16}$

Xem lời giải Bài 2.14

a) ĐKXĐ: $x \ne -2$ (vì $x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3 > 0$). MTC: $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Quy đồng khử mẫu:
$(x^2 - 2x + 4) - 2(x + 2) = x - 4 \iff x^2 - 4x = x - 4 \iff x^2 - 5x + 4 = 0 \iff (x - 1)(x - 4) = 0$.
$\implies x = 1$ hoặc $x = 4$ (cả hai đều thỏa mãn ĐKXĐ). Tập nghiệm: $S = \{1; 4\}$.

b) ĐKXĐ: $x \ne \pm 4$. MTC: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Quy đồng khử mẫu:
$2x(x + 4) + 3(x - 4) = x - 12 \iff 2x^2 + 8x + 3x - 12 = x - 12 \iff 2x^2 + 10x = 0 \iff 2x(x + 5) = 0$.
$\implies x = 0$ hoặc $x = -5$ (cả hai đều thỏa mãn ĐKXĐ). Tập nghiệm: $S = \{0; -5\}$.

Bài 2.15 (Trang 37 SGK): Cho $a > b$, chứng minh rằng: a) $4a + 4 > 4b + 3$; b) $1 - 3a < 3 - 3b$.

Xem lời giải Bài 2.15

a) Từ $a > b$, nhân hai vế với $4 > 0$ ta được $4a > 4b$. Cộng hai vế với $4$: $4a + 4 > 4b + 4$.
Lại có $4 > 3 \implies 4b + 4 > 4b + 3$. Áp dụng tính chất bắc cầu suy ra $4a + 4 > 4b + 3$.

b) Từ $a > b$, nhân hai vế với $-3 < 0$ ta đổi chiều: $-3a < -3b$. Cộng hai vế với $1$: $1 - 3a < 1 - 3b$.
Lại có $1 < 3 \implies 1 - 3b < 3 - 3b$. Áp dụng tính chất bắc cầu suy ra $1 - 3a < 3 - 3b$.

Nghiệm của phương trình $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^2 + x + 1} = \frac{x^2 + x}{x^3 - 1}$ là:

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x \ne 1$. Quy đồng mẫu thức hai vế: $(x^2 + x + 1) + 2(x - 1) = x^2 + x \iff x^2 + 3x - 1 = x^2 + x \iff 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ). Chọn A.