SGK Toán 6 Tập 1 - Kết nối tri thức Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên Trang 34 – 37

Bài 9: Dấu hiệu chia hết

Khám phá quy tắc nhận biết nhanh một số tự nhiên có chia hết cho $2, 5$ (thông qua chữ số tận cùng) và chia hết cho $9, 3$ (thông qua tổng các chữ số); vận dụng linh hoạt để giải các bài toán thực tiễn và tìm chữ số ẩn mà không cần thực hiện phép tính chia.

Khái niệm, thuật ngữ

Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5.
Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3.
Chữ số tận cùng, tổng các chữ số.

Kiến thức, kĩ năng

Vận dụng được dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 9; 3 để xác định một số đã cho có chia hết cho 2; 5; 9; 3 hay không.
Tìm chữ số thích hợp để tạo thành số chia hết cho 2; 5; 9; 3.

Tình huống mở đầu: Bí quyết tính nhẩm của Bạn Tròn

SGK Toán 6 - Trang 34

Robot hỏi

Thử thách tìm số dư

"Tìm số dư của phép chia $71\,001$ cho $9$."

Bạn Tròn đáp ngay

Tính nhẩm thần tốc

"Phép chia này không có dư vì $71\,001$ chia hết cho $9$."

Bạn Vuông thắc mắc

Hiếu kì tìm hiểu

"Sao bạn Tròn trả lời nhanh vậy nhỉ?"

Bí quyết của Bạn Tròn: Số $71\,001$ có tổng các chữ số là $7 + 1 + 0 + 0 + 1 = 9$. Vì $9 \ \vdots \ 9$ nên $71\,001 \ \vdots \ 9$. Nhờ nắm chắc Dấu hiệu chia hết, ta có thể biết ngay kết quả mà không cần đặt phép tính chia!

Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

a) Nhận xét và Khám phá (SGK trang 34)

Ta nhận thấy các số có chữ số tận cùng là $0$ luôn chia hết cho cả $2$ và $5$ vì chúng là bội của $10$:

$120 = 12 \cdot 10 = 12 \cdot 2 \cdot 5 \implies 120 \ \vdots \ 2 \text{ và } 120 \ \vdots \ 5$

$2010 = 201 \cdot 10 = 201 \cdot 2 \cdot 5 \implies 2010 \ \vdots \ 2 \text{ và } 2010 \ \vdots \ 5$

Xét số $n = \overline{23*}$ (* là chữ số tận cùng của $n$). Ta phân tích theo cấu tạo số: $n = 230 + *$.

• HĐ1: Số $230$ có tận cùng là $0$ nên $230$ chia hết cho cả $2$ và $5$.

• HĐ2: Vận dụng tính chất chia hết của một tổng ($n = 230 + *$):

Để $n \ \vdots \ 2$ thì cần $* \ \vdots \ 2 \implies * \in \{0; 2; 4; 6; 8\}$.
Để $n \ \vdots \ 5$ thì cần $* \ \vdots \ 5 \implies * \in \{0; 5\}$.

Dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 (SGK trang 34):

1. Dấu hiệu chia hết cho 2:

Các số có chữ số tận cùng là $0, 2, 4, 6, 8$ (các chữ số chẵn) thì chia hết cho $2$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $2$.

2. Dấu hiệu chia hết cho 5:

Các số có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ thì chia hết cho $5$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $5$.

Chú ý đặc biệt: Các số có chữ số tận cùng là $0$ thì chia hết cho cả $2$ và $5$.

Ví dụ 1 (SGK trang 34)

• $1930; 1954 \ \vdots \ 2$ (tận cùng chẵn $0; 4$).

• $1975; 2021 \ \not\vdots \ 2$ (tận cùng lẻ $5; 1$).

• $1930; 1945 \ \vdots \ 5$ (tận cùng $0; 5$).

• $1954; 1972 \ \not\vdots \ 5$ (tận cùng khác $0; 5$).

Ví dụ 2 (SGK trang 35)

a) $1985 + 2020 \ \not\vdots \ 2$
(vì $1985 \ \not\vdots \ 2$ còn $2020 \ \vdots \ 2$)

b) $1968 - 1930 \ \vdots \ 2$
(vì $1968 \ \vdots \ 2$ và $1930 \ \vdots \ 2$)

Luyện tập 1 (SGK trang 35)

• $1954 + 1975 \ \not\vdots \ 2$

• $2020 - 938 \ \vdots \ 2$

• $1945 + 2020 \ \vdots \ 5$

• $1954 - 1930 \ \not\vdots \ 5$

Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3

a) Dấu hiệu chia hết cho 9 (SGK trang 35)

Cho các số: $27; 82; 195; 234$.

Nhóm chia hết cho 9:
$27$ (tổng chữ số $2 + 7 = 9 \ \vdots \ 9$)
$234$ (tổng chữ số $2 + 3 + 4 = 9 \ \vdots \ 9$)

Nhóm không chia hết cho 9:
$82$ (tổng chữ số $8 + 2 = 10 \ \not\vdots \ 9$)
$195$ (tổng chữ số $1 + 9 + 5 = 15 \ \not\vdots \ 9$)

Quy tắc chia hết cho 9:

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho $9$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $9$.

Luyện tập 2 (SGK trang 35)

Thay dấu * bởi một chữ số để số $\overline{12*}$ chia hết cho $9$:

Tổng các chữ số: $1 + 2 + * = 3 + *$.
Để $(3 + *) \ \vdots \ 9$ thì $* = 6$.
Số tìm được là: $126$.

Vận dụng: Trồng dừa (SGK trang 36)

Bờ đất dài $108$ m, khoảng cách giữa 2 cây là $9$ m:

Tổng chữ số $108$ là $1 + 0 + 8 = 9 \ \vdots \ 9 \implies 108 \ \vdots \ 9$.
Số khoảng cách: $108 : 9 = 12$ (khoảng cách).
Số cây dừa cần trồng: $12 + 1 = 13$ (cây).

b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (SGK trang 36)

Cho các số: $42; 80; 191; 234$.

Nhóm chia hết cho 3:
$42$ (tổng chữ số $4 + 2 = 6 \ \vdots \ 3$)
$234$ (tổng chữ số $2 + 3 + 4 = 9 \ \vdots \ 3$)

Nhóm không chia hết cho 3:
$80$ (tổng chữ số $8 + 0 = 8 \ \not\vdots \ 3$)
$191$ (tổng chữ số $1 + 9 + 1 = 11 \ \not\vdots \ 3$)

Quy tắc chia hết cho 3:

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho $3$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3$.

Ví dụ 4 (SGK trang 36)

• $4683; 3576 \ \vdots \ 3$ (tổng các chữ số đều bằng $21 \ \vdots \ 3$).

• $4321; 1975 \ \not\vdots \ 3$ (tổng các chữ số lần lượt là $10$ và $22$ không chia hết cho $3$).

Luyện tập 3 (SGK trang 36)

Thay dấu * bởi một chữ số để số $\overline{12*5}$ chia hết cho $3$:

Tổng các chữ số: $1 + 2 + * + 5 = 8 + *$.
Để $(8 + *) \ \vdots \ 3$ thì $* \in \{1; 4; 7\}$.
Các số tìm được là: $1215; 1245; 1275$.

Thử thách nhỏ: Giúp bạn Hà đến siêu thị (SGK trang 36)

Hà chỉ có thể đi qua các ô chứa số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 và mỗi ô chỉ đi qua một lần.

Lộ trình hợp lệ đưa bạn Hà về đích:

Hà → 12 → 6 → 21 → 15 → 2020 → 72 → 123 → 136 → 1245 → Siêu thị

(Tất cả các số trên lộ trình này đều chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3: $12, 6, 2020, 72, 136 \ \vdots \ 2$ và $21, 15, 72, 123, 1245 \ \vdots \ 3$).

Em có biết? Vì sao tổng các chữ số quyết định tính chia hết cho 9 và 3? (SGK trang 37)

Xét số tự nhiên có ba chữ số $234$, ta biểu diễn theo cấu tạo số thập phân:

$$\begin{aligned} 234 &= 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 4 \\ &= 2 \cdot (99 + 1) + 3 \cdot (9 + 1) + 4 \\ &= 2 \cdot 99 + 2 + 3 \cdot 9 + 3 + 4 \\ &= (2 + 3 + 4) + (2 \cdot 99 + 3 \cdot 9). \end{aligned}$$

Vì biểu thức $(2 \cdot 99 + 3 \cdot 9)$ luôn chia hết cho cả $9$ và $3$, nên số $234$ chia hết cho $9$ (hoặc cho $3$) khi và chỉ khi tổng các chữ số $(2 + 3 + 4)$ chia hết cho $9$ (hoặc cho $3$).
Điều này đúng cho mọi số tự nhiên có số chữ số bất kì!

Bảng tổng kết 4 Dấu hiệu chia hết cơ bản

Nhóm dựa vào CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Chia hết cho 2: Tận cùng là $0, 2, 4, 6, 8$.
Chia hết cho 5: Tận cùng là $0$ hoặc $5$.
Chia hết cho cả 2 và 5: Tận cùng là $0$.

Nhóm dựa vào TỔNG CÁC CHỮ SỐ

Chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho $9$.
Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho $3$.
Mối quan hệ: Chia hết cho $9$ thì chắc chắn chia hết cho $3$.

Trong các số sau: $324; \ 248; \ 2020; \ 2025$, những số nào chia hết cho $2$?

Lời giải chi tiết:

Theo dấu hiệu chia hết cho $2$, các số có chữ số tận cùng là $0, 2, 4, 6, 8$ thì chia hết cho $2$.
Xét chữ số tận cùng của các số:
• $324$ tận cùng là $4$ (chẵn) ⇒ chia hết cho $2$.
• $248$ tận cùng là $8$ (chẵn) ⇒ chia hết cho $2$.
• $2020$ tận cùng là $0$ (chẵn) ⇒ chia hết cho $2$.
• $2025$ tận cùng là $5$ (lẻ) ⇒ không chia hết cho $2$.
Vậy các số chia hết cho $2$ là: **$324; \ 248; \ 2020$**.