SGK Toán 6 Tập 1 - Kết nối tri thức Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên Trang 38 – 42

Bài 10: Số nguyên tố

Làm quen với những "viên gạch nguyên tử" cơ bản nhất của toán học: số nguyên tố và hợp số; nắm vững phương pháp phân tích một hợp số ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây và sơ đồ cột; tìm hiểu thuật toán sàng Eratosthenes kỳ diệu từ thời cổ đại.

Khái niệm, thuật ngữ

Số nguyên tố.
Hợp số.
Thừa số nguyên tố, ước nguyên tố.

Kiến thức, kĩ năng

Nhận biết khái niệm số nguyên tố và hợp số.
Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố trong những trường hợp đơn giản.

Tình huống mở đầu: Bài toán cắm hoa hồng của bạn Mai

SGK Toán 6 - Trang 38

"Mẹ mua một bó hoa có $11$ bông hoa hồng. Bạn Mai giúp mẹ cắm các bông hoa này vào các lọ nhỏ sao cho số hoa trong mỗi lọ là như nhau. Mai nhận thấy không thể cắm đều số bông hoa này vào các lọ (mỗi lọ có nhiều hơn $1$ bông) cho dù số lọ hoa là $2; 3; 4; 5; \dots$
Nhưng nếu bỏ ra $1$ bông còn $10$ bông thì lại cắm đều được vào $2$ lọ, mỗi lọ có $5$ bông hoa.
Vậy, số $11$ và số $10$ có gì khác nhau, điều này có liên quan gì đến các ước của chúng?"

Giải mã câu hỏi của Mai: Số $11$ chỉ có đúng $2$ ước là $1$ và $11$ (không thể chia thành các nhóm có số phần tử bằng nhau lớn hơn 1) → đó là Số nguyên tố.
Còn số $10$ có tới $4$ ước là $\{1; 2; 5; 10\}$ (có thể chia thành $2$ lọ mỗi lọ $5$ bông, hoặc $5$ lọ mỗi lọ $2$ bông) → đó là Hợp số!

Số nguyên tố và Hợp số

a) Khám phá Bảng 2.1 (SGK trang 38)

Tìm các ước và đếm số lượng ước của các số từ $2$ đến $11$:

Số	Tập hợp các ước	Số lượng ước	Phân loại
$2$	$1; 2$	$2$ ước	Số nguyên tố
$3$	$1; 3$	$2$ ước	Số nguyên tố
$4$	$1; 2; 4$	$3$ ước	Hợp số
$5$	$1; 5$	$2$ ước	Số nguyên tố
$6$	$1; 2; 3; 6$	$4$ ước	Hợp số
$7$	$1; 7$	$2$ ước	Số nguyên tố
$8$	$1; 2; 4; 8$	$4$ ước	Hợp số
$9$	$1; 3; 9$	$3$ ước	Hợp số
$10$	$1; 2; 5; 10$	$4$ ước	Hợp số
$11$	$1; 11$	$2$ ước	Số nguyên tố

HĐ3 (SGK trang 38):

• Số $1$ chỉ có đúng $1$ ước duy nhất là chính nó ($1$).

• Số $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên khác $0$ ($0 : 2 = 0, 0 : 5 = 0, \dots$) nên số $0$ có vô số ước.

Định nghĩa Số nguyên tố và Hợp số (SGK trang 38):

SỐ NGUYÊN TỐ:

Là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là $1$ và chính nó.

Ví dụ: $2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; \dots$

HỢP SỐ:

Là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước (tức là có thêm ước khác $1$ và chính nó).

Ví dụ: $4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; \dots$

LƯU Ý VÀNG: Số $0$ và số $1$ KHÔNG PHẢI là số nguyên tố và cũng KHÔNG PHẢI là hợp số!

Mẹo Robot nhận biết nhanh Hợp số

Để khẳng định một số lớn hơn 1 là hợp số, ta thường sử dụng các dấu hiệu chia hết để chỉ ra số đó có ít nhất một ước khác $1$ và chính nó (không cần phải liệt kê hết tất cả các ước).

Ví dụ 1 & Luyện tập 2 (SGK trang 39)

• $1975$ tận cùng là $5 \implies 1975 \ \vdots \ 5$. Ngoài ước $1$ và $1975$ còn có ước là $5$ → Hợp số.

• $17$ chỉ có hai ước là $1$ và $17$ → Số nguyên tố.

• $1930$ tận cùng là $0 \implies 1930 \ \vdots \ 2$ → Hợp số.

• $23$ chỉ có hai ước là $1$ và $23$ → Số nguyên tố.

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

• Quy ước: Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố chính là bản thân số đó (ví dụ số nguyên tố $7$ phân tích ra là $7$).

• Thứ tự chuẩn: Khi viết kết quả, ta thường viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn và viết gọn các thừa số giống nhau dưới dạng luỹ thừa.

Tranh luận: Phân tích số nguyên tố 7 ra thừa số nguyên tố (SGK trang 40)

Bạn Tròn nói:

"Số $7$ không phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố."

Bạn Vuông nói:

"Phân tích ra thừa số nguyên tố của số $7$ là $7$."

✓ Bạn Vuông nói đúng theo quy ước!

Cách 1: Phân tích theo SƠ ĐỒ CÂY

Tách số cần phân tích thành tích của hai thừa số bất kì lớn hơn 1; tiếp tục tách các hợp số cho đến khi tất cả các nhánh đều là số nguyên tố:

Phân tích số 24:

$24 = 2 \times 12 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 3 \times (2 \times 2)$

$24 = 2^3 \cdot 3$

Dấu ?: Với số $18$: $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \cdot 3^2$.

Cách 2: Phân tích theo SƠ ĐỒ CỘT (Khuyên dùng)

Lần lượt chia số cho các ước nguyên tố nhỏ nhất (từ $2, 3, 5, 7, \dots$) cho đến khi nhận được thương là $1$:

Cột số 24:

$$\begin{array}{r|l} 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$$

$24 = 2^3 \cdot 3$

Cột số 70:

$$\begin{array}{r|l} 70 & 2 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$

$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

Luyện tập 3 (SGK trang 41): Phân tích ra thừa số nguyên tố

a) Số $36$:
$36 : 2 = 18; \ 18 : 2 = 9; \ 9 : 3 = 3; \ 3 : 3 = 1$.
⇒ $36 = 2^2 \cdot 3^2$.

b) Số $105$:
$105 : 3 = 35; \ 35 : 5 = 7; \ 7 : 7 = 1$.
⇒ $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Em có biết? Sàng Eratosthenes lọc số nguyên tố nhỏ hơn 50 (SGK trang 42)

Nhà toán học Hi Lạp cổ đại Eratosthenes (sinh năm 276 TCN) đã phát minh ra thuật toán "sàng" số nguyên tố cực kì thông minh:

Viết bảng các số từ $1$ đến $50$.
Gạch bỏ số $1$ (vì $1$ không là số nguyên tố).
Giữ lại số $2$, gạch bỏ tất cả các bội của $2$ lớn hơn $2$ ($4, 6, 8, \dots$).
Giữ lại số $3$, gạch bỏ tất cả các bội của $3$ lớn hơn $3$ ($6, 9, 12, \dots$).
Giữ lại số $5$, gạch bỏ tất cả các bội của $5$ lớn hơn $5$ ($10, 15, 20, \dots$).
Giữ lại số $7$, gạch bỏ tất cả các bội của $7$ lớn hơn $7$ ($14, 21, 28, 35, 42, 49$).

☆ Các số còn lại không bị gạch chính là toàn bộ $15$ số nguyên tố nhỏ hơn $50$:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Bảng tổng kết cốt lõi Bài 10

1. Số nguyên tố

Lớn hơn 1.
Chỉ có đúng 2 ước (1 và chính nó).
Số $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất.

2. Hợp số

Lớn hơn 1.
Có nhiều hơn 2 ước.
Thường dùng dấu hiệu chia hết để nhận diện.

3. Phân tích thừa số NT

Mọi hợp số đều phân tích được.
Sơ đồ cây hoặc Sơ đồ cột.
Viết gọn bằng luỹ thừa.

Phân tích số $70$ ra thừa số nguyên tố:

Lời giải chi tiết:

Thực hiện phân tích số $70$ theo sơ đồ cột:
• $70 : 2 = 35$
• $35 : 5 = 7$
• $7 : 7 = 1$
Các thừa số nguyên tố nhận được là $2, 5, 7$.
Vậy kết quả phân tích là: **$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$**.