Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 28. Phép chia đa thức một biến

Quy tắc chia đơn thức, thuật toán đặt tính chia đa thức một biến và trường hợp chia có dư bám sát SGK Toán 7 Kết nối tri thức.

Khái niệm, thuật ngữ

• Phép chia hết
• Phép chia có dư
• Thương, dư (trong phép chia đa thức)

Kiến thức, kĩ năng

Thực hiện các phép tính chia hai đa thức một biến.
Nhận biết và vận dụng các tính chất của các phép tính về đa thức trong tính toán.

Tình huống mở đầu (Bài toán trang 39)

Bài toán: Tìm đa thức $P$ sao cho $A = B \cdot P$, trong đó:

$$A = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 \quad \text{và} \quad B = x^2 - 2$$

🧑 Tròn: "Mình nghĩ mãi mà chưa giải được bài toán này. Vuông có cách nào giải không?"

📐 Vuông: "Ừ nhỉ! Nếu $A$ và $B$ là hai số thì chỉ việc lấy $A$ chia cho $B$ là xong nhưng $A$ và $B$ lại là hai đa thức."

🦉 Thầy Pi: "Cũng thế thôi các em ạ. Trước hết các em phải tìm hiểu cách chia hai đa thức."

Làm quen với phép chia đa thức

Phép chia hết

1. Xét hai đơn thức $6x^4$ và $-2x^3$, ta thấy $6x^4 = (-2x^3) \cdot (-3x)$. Từ đó, tương tự như đối với các số, ta cũng có thể viết:

$$6x^4 : (-2x^3) = -3x, \quad \text{hay} \quad \frac{6x^4}{-2x^3} = -3x$$

và nói rằng đó là một phép chia hết.

2. Một cách tổng quát, cho hai đa thức $A$ và $B$ với $B \neq 0$. Nếu có một đa thức $Q$ sao cho $A = B \cdot Q$ thì ta có phép chia hết:

$$A : B = Q \quad \text{hay} \quad \frac{A}{B} = Q$$

trong đó: $A$ là đa thức bị chia; $B$ là đa thức chia; $Q$ là đa thức thương (gọi tắt là thương). Khi đó ta còn nói đa thức $A$ chia hết cho đa thức $B$.

Kí hiệu $B \neq 0$: có nghĩa là $B$ không phải là đa thức không.

3. Để thực hiện phép chia $6x^4$ cho $(-2x^3)$, ta làm như sau:

Chia hai hệ số: $6 : (-2) = -3$.
Chia hai luỹ thừa của biến: $x^4 : x^3 = x$.
Nhân hai kết quả trên, ta tìm được thương là $-3x$.

Khi nào thì $ax^m$ chia hết cho $bx^n$?

Hoạt động 1 (SGK trang 40)

Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:

a) $12x^3 : 4x$

b) $(-2x^4) : x^4$

c) $2x^5 : 5x^2$

* Chú ý: $12x^3 : 4x$ được hiểu là $12x^3 : (4x)$.

Xem lời giải HĐ1

a) $12x^3 : (4x) = (12 : 4) \cdot (x^3 : x) = 3x^2$.

b) $(-2x^4) : x^4 = (-2 : 1) \cdot (x^4 : x^4) = -2 \cdot 1 = -2$.

c) $2x^5 : 5x^2 = (2 : 5) \cdot (x^5 : x^2) = \frac{2}{5}x^3 = 0{,}4x^3$.

Hoạt động 2 (SGK trang 40)

Giả sử $x \neq 0$. Hãy cho biết:

a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai luỹ thừa của $x$ cũng là một luỹ thừa của $x$ với số mũ nguyên dương?

b) Thương hai luỹ thừa của $x$ cùng bậc bằng bao nhiêu?

Xem lời giải HĐ2

a) Để $x^m : x^n = x^{m - n}$ là luỹ thừa của $x$ với số mũ nguyên dương thì $m - n > 0 \implies m > n$.

b) Thương hai luỹ thừa cùng bậc của $x$ bằng $1$, vì $x^m : x^m = x^{m - m} = x^0 = 1$.

Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức (SGK trang 40)

Cho hai đơn thức $ax^m$ và $bx^n$ ($m, n \in \mathbb{N}$; $a, b \in \mathbb{R}$ và $b \neq 0$). Khi đó nếu $m \ge n$ thì phép chia $ax^m$ cho $bx^n$ là phép chia hết và ta có:

$$ax^m : bx^n = \frac{a}{b} x^{m - n} \quad (\text{quy ước: } x^0 = 1)$$

Luyện tập 1 SGK trang 40

Thực hiện các phép chia sau:

a) $3x^7 : \frac{1}{2} x^4$

b) $(-2x) : x$

c) $0{,}25x^5 : (-5x^2)$

Xem lời giải Luyện tập 1

a) $3x^7 : \left(\frac{1}{2} x^4\right) = \left(3 : \frac{1}{2}\right) \cdot (x^7 : x^4) = 6x^3$.

b) $(-2x) : x = (-2 : 1) \cdot (x : x) = -2 \cdot 1 = -2$.

c) $0{,}25x^5 : (-5x^2) = [0{,}25 : (-5)] \cdot (x^5 : x^2) = -0{,}05x^3 = -\frac{1}{20}x^3$.

Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Để chia đa thức $A = 2x^4 - 13x^3 + 15x^2 + 11x - 3$ cho đa thức $B = x^2 - 4x - 3$, ta thực hiện đặt tính chia qua 5 bước:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của $A$ chia cho hạng tử bậc cao nhất của $B$: $2x^4 : x^2 = 2x^2$.

Bước 2: Lấy $A$ trừ đi tích $B \cdot (2x^2)$, ta được dư thứ nhất là $-5x^3 + 21x^2 + 11x - 3$.

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của $B$: $(-5x^3) : x^2 = -5x$.

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích $B \cdot (-5x)$, ta được dư thứ hai là $x^2 - 4x - 3$.

Bước 5: Lấy $x^2 : x^2 = 1$. Lấy dư thứ hai trừ đi $B \cdot 1$ được dư cuối cùng bằng 0. Quá trình chia kết thúc! Thương là $2x^2 - 5x + 1$.

Sơ đồ 5 bước đặt tính chia đa thức cột dọc (SGK trang 40-41)

Kiểm tra lại: Ta có phép chia hết $A : B = 2x^2 - 5x + 1$, nghĩa là xảy ra đẳng thức:

$$A = B \cdot (2x^2 - 5x + 1)$$

Chú ý (SGK trang 41): Chia đa thức cho một đơn thức

Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể không cần đặt tính chia. Cách làm như trong ví dụ sau:

$$(-6x^5 + 7x^4 - 6x^3) : 3x^3 = (-6x^5 : 3x^3) + (7x^4 : 3x^3) + (-6x^3 : 3x^3) = -2x^2 + \frac{7}{3}x - 2$$

Luyện tập 2 SGK trang 41

Thực hiện phép chia:

a) $(-x^6 + 5x^4 - 2x^3) : 0{,}5x^2$

b) $(9x^2 - 4) : (3x + 2)$ (Gợi ý: Viết $9x^2 + 0x - 4$)

Xem lời giải Luyện tập 2

a) Chia đa thức cho đơn thức:

$$(-x^6 + 5x^4 - 2x^3) : 0{,}5x^2 = (-x^6 : 0{,}5x^2) + (5x^4 : 0{,}5x^2) + (-2x^3 : 0{,}5x^2)$$

$$= -2x^4 + 10x^2 - 4x$$

b) Đặt tính chia $(9x^2 + 0x - 4) : (3x + 2)$:

Lấy $9x^2 : 3x = 3x$. Trừ đi $(3x + 2) \cdot 3x = 9x^2 + 6x$ được dư thứ nhất: $-6x - 4$.
Lấy $(-6x) : 3x = -2$. Trừ đi $(3x + 2) \cdot (-2) = -6x - 4$ được dư $0$.

$$\implies (9x^2 - 4) : (3x + 2) = 3x - 2$$

Vận dụng Giải bài toán trong tình huống mở đầu (SGK trang 41)

Tìm đa thức $P$ sao cho $A = B \cdot P$ với $A = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2$ và $B = x^2 - 2$.

Xem lời giải Vận dụng

Vì $A = B \cdot P \implies P = A : B = (2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2) : (x^2 - 2)$.

Đặt tính chia:

$2x^4 : x^2 = 2x^2$. Lấy $A - (x^2 - 2) \cdot 2x^2 = A - (2x^4 - 4x^2) = -3x^3 + x^2 + 6x - 2$.
$(-3x^3) : x^2 = -3x$. Trừ đi $(x^2 - 2) \cdot (-3x) = -3x^3 + 6x$, còn lại $x^2 - 2$.
$(x^2) : x^2 = 1$. Trừ đi $(x^2 - 2) \cdot 1 = x^2 - 2$, dư $0$.

Vậy đa thức cần tìm là $P = 2x^2 - 3x + 1$.

Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức $D = 5x^3 - 3x^2 - x + 7$ cho đa thức $E = x^2 + 1$ được minh họa qua sơ đồ cột dọc:

Sơ đồ đặt tính chia có dư và lưu ý dòng khuyết hạng tử (SGK trang 42)

Hoạt động 3

Mô tả lại các bước thực hiện trong phép chia đa thức $D$ cho $E$.

Xem trả lời

Lấy $5x^3 : x^2 = 5x$. Nhân $5x(x^2 + 1) = 5x^3 + 5x$, trừ đi được dư 1: $-3x^2 - 6x + 7$. Lấy $(-3x^2) : x^2 = -3$. Nhân $-3(x^2 + 1) = -3x^2 - 3$, trừ đi được dư 2: $-6x + 10$.

Hoạt động 4

Dư $G = -6x + 10$ có bậc 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Xem trả lời

Không thể tiếp tục phép chia vì bậc của đa thức dư $G$ là 1, nhỏ hơn bậc của đa thức chia $E$ (bậc 2).

Hoạt động 5

Hãy kiểm tra lại đẳng thức: $D = E \cdot (5x - 3) + G$.

Xem trả lời

$(x^2 + 1)(5x - 3) + (-6x + 10) = 5x^3 - 3x^2 + 5x - 3 - 6x + 10 = 5x^3 - 3x^2 - x + 7 = D$. Đẳng thức đúng!

Định lí tổng quát về phép chia đa thức (SGK trang 42)

Khi chia đa thức $A$ cho đa thức $B$ ($B \neq 0$):

Đa thức dư $R$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $B$.
Nếu thương là đa thức $Q$, dư là đa thức $R$ thì ta có đẳng thức:

$$A = B \cdot Q + R \quad (\text{với } R = 0 \text{ hoặc } \deg(R) < \deg(B))$$

Luyện tập 3 SGK trang 42

Tìm dư $R$ và thương $Q$ trong phép chia đa thức $A = 3x^4 - 6x - 5$ cho đa thức $B = x^2 + 3x - 1$ rồi viết $A$ dưới dạng $A = B \cdot Q + R$.

Xem lời giải Luyện tập 3

Viết $A = 3x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 6x - 5$. Đặt tính chia cho $B = x^2 + 3x - 1$:

$3x^4 : x^2 = 3x^2$. Lấy $A - (x^2 + 3x - 1) \cdot 3x^2 = -9x^3 + 3x^2 - 6x - 5$.
$(-9x^3) : x^2 = -9x$. Trừ đi $(x^2 + 3x - 1) \cdot (-9x) = 30x^2 - 15x - 5$.
$30x^2 : x^2 = 30$. Trừ đi $(x^2 + 3x - 1) \cdot 30 = -105x + 25$.

Vì bậc của $(-105x + 25)$ bằng 1 nhỏ hơn bậc 2 của $B$, nên phép chia kết thúc.

Thương $Q = 3x^2 - 9x + 30$; Dư $R = -105x + 25$.

Biểu diễn: $$3x^4 - 6x - 5 = (x^2 + 3x - 1)(3x^2 - 9x + 30) + (-105x + 25)$$

Thử thách nhỏ (SGK trang 42)

Tròn: Đố Vuông tìm được dư trong phép chia $x^3 - 3x^2 + x - 1$ cho $x^2 - 3x$.
Vuông: Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là $x - 1$.
Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Xem giải thích thử thách nhỏ

Vuông làm nhanh vì Vuông nhận thấy:

$$x^3 - 3x^2 + x - 1 = (x^3 - 3x^2) + (x - 1) = x(x^2 - 3x) + (x - 1)$$

Vì đa thức dư $(x - 1)$ có bậc là 1, nhỏ hơn bậc của đa thức chia $(x^2 - 3x)$ là 2, nên theo định nghĩa phép chia có dư, số dư chính là $x - 1$ (và thương là $x$).

Bài tập cuối bài (SGK trang 43)

Bài 7.30 (SGK trang 43): Tính

a) $8x^5 : 4x^3$

b) $120x^7 : (-24x^5)$

c) $\frac{3}{4}(-x)^3 : \frac{1}{8}x$

d) $-3{,}72x^4 : (-4x^2)$

Xem lời giải Bài 7.30

a) $8x^5 : 4x^3 = (8 : 4)(x^5 : x^3) = 2x^2$.

b) $120x^7 : (-24x^5) = [120 : (-24)](x^7 : x^5) = -5x^2$.

c) $\frac{3}{4}(-x)^3 : \frac{1}{8}x = -\frac{3}{4}x^3 : \frac{1}{8}x = \left(-\frac{3}{4} : \frac{1}{8}\right)(x^3 : x) = -6x^2$.

d) $-3{,}72x^4 : (-4x^2) = [-3{,}72 : (-4)](x^4 : x^2) = 0{,}93x^2$.

Bài 7.31 (SGK trang 43): Thực hiện các phép chia đa thức sau

a) $(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x)$

b) $(-2x^5 - 4x^3 + 3x^2) : 2x^2$

Xem lời giải Bài 7.31

a) $(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x) = [-5x^3 : (-5x)] + [15x^2 : (-5x)] + [18x : (-5x)] = x^2 - 3x - \frac{18}{5} = x^2 - 3x - 3{,}6$.

b) $(-2x^5 - 4x^3 + 3x^2) : 2x^2 = (-2x^5 : 2x^2) + (-4x^3 : 2x^2) + (3x^2 : 2x^2) = -x^3 - 2x + \frac{3}{2}$.

Bài 7.32 (SGK trang 43): Thực hiện các phép chia đa thức bằng cách đặt tính chia

a) $(6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) : (3x - 1)$

b) $(4x^4 + 14x^3 - 21x - 9) : (2x^2 - 3)$

Xem lời giải Bài 7.32

a) Đặt tính chia $(6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) : (3x - 1)$:

$6x^3 : 3x = 2x^2$. Nhân $2x^2(3x - 1) = 6x^3 - 2x^2$. Trừ đi còn lại: $-9x + 3$.
$(-9x) : 3x = -3$. Nhân $-3(3x - 1) = -9x + 3$. Trừ đi được $0$.

Kết quả: $(6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) : (3x - 1) = 2x^2 - 3$.

b) Đặt tính chia $(4x^4 + 14x^3 + 0x^2 - 21x - 9) : (2x^2 - 3)$:

$4x^4 : 2x^2 = 2x^2$. Trừ đi $(2x^2 - 3) \cdot 2x^2 = 4x^4 - 6x^2$, còn $14x^3 + 6x^2 - 21x - 9$.
$14x^3 : 2x^2 = 7x$. Trừ đi $(2x^2 - 3) \cdot 7x = 14x^3 - 21x$, còn $6x^2 - 9$.
$6x^2 : 2x^2 = 3$. Trừ đi $(2x^2 - 3) \cdot 3 = 6x^2 - 9$, dư $0$.

Kết quả: $(4x^4 + 14x^3 - 21x - 9) : (2x^2 - 3) = 2x^2 + 7x + 3$.

Bài 7.33 (SGK trang 43)

Thực hiện phép chia $0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 - 2x^2$ cho $0{,}25x^n$ trong mỗi trường hợp:

a) $n = 2$

b) $n = 3$

Xem lời giải Bài 7.33

a) Với $n = 2$, số chia là $0{,}25x^2$. Vì các số mũ $5, 3, 2 \ge 2$ nên đây là phép chia hết:

$$(0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 - 2x^2) : 0{,}25x^2 = 2x^3 + 12{,}8x - 8$$

b) Với $n = 3$, số chia là $0{,}25x^3$. Hạng tử $-2x^2$ có bậc 2 nhỏ hơn bậc 3 của số chia nên không chia hết cho $0{,}25x^3$. Phép chia này có thương là $2x^2 + 12{,}8$ và dư là $-2x^2$.

Bài 7.34 (SGK trang 43)

Trong mỗi trường hợp, tìm thương $Q(x)$ và dư $R(x)$ rồi biểu diễn $F(x) = G(x) \cdot Q(x) + R(x)$:

a) $F(x) = 6x^4 - 3x^3 + 15x^2 + 2x - 1$; $G(x) = 3x^2$

b) $F(x) = 12x^4 + 10x^3 - x - 3$; $G(x) = 3x^2 + x + 1$

Xem lời giải Bài 7.34

a) Phép chia cho đơn thức $3x^2$:

Nhóm các hạng tử có số mũ $\ge 2$: $(6x^4 - 3x^3 + 15x^2) : 3x^2 = 2x^2 - x + 5$. Còn phần $2x - 1$ có bậc 1 < bậc 2 của $3x^2$.

Thương $Q(x) = 2x^2 - x + 5$; Dư $R(x) = 2x - 1$.

Biểu diễn: $$6x^4 - 3x^3 + 15x^2 + 2x - 1 = 3x^2(2x^2 - x + 5) + (2x - 1)$$

b) Đặt tính chia cho $3x^2 + x + 1$:

$12x^4 : 3x^2 = 4x^2$. Lấy $F(x) - (3x^2 + x + 1) \cdot 4x^2 = 6x^3 - 4x^2 - x - 3$.
$6x^3 : 3x^2 = 2x$. Trừ đi $(3x^2 + x + 1) \cdot 2x = -6x^2 - 3x - 3$.
$(-6x^2) : 3x^2 = -2$. Trừ đi $(3x^2 + x + 1) \cdot (-2) = -x - 1$.

Vì bậc của $(-x - 1)$ là 1 < bậc 2 của $G(x)$ nên phép chia dừng lại.

Thương $Q(x) = 4x^2 + 2x - 2$; Dư $R(x) = -x - 1$.

Biểu diễn: $$12x^4 + 10x^3 - x - 3 = (3x^2 + x + 1)(4x^2 + 2x - 2) + (-x - 1)$$

Bài 7.35 (SGK trang 43)

Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức $21x - 4$ cho $3x^2$. Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Xem lời giải Bài 7.35

Ta có thể giúp bạn Tâm như sau:

Đa thức bị chia $A = 21x - 4$ có bậc bằng 1. Đa thức chia $B = 3x^2$ có bậc bằng 2.

Vì bậc của đa thức bị chia nhỏ hơn bậc của đa thức chia ($1 < 2$), nên phép chia này không thực hiện được phép chia có thương khác 0.

Kết luận: Đa thức thương là $Q = 0$ và đa thức dư là $R = 21x - 4$.

Khi đó ta có đẳng thức: $$21x - 4 = 3x^2 \cdot 0 + (21x - 4)$$

Bài 28: Phép chia đa thức một biến