a) Hai tam giác $ABC$ và $ABD$ có:

• $\widehat{ABC} = \widehat{ABD}$ (theo giả thiết);
• $AB$ là cạnh chung;
• $\widehat{BAC} = \widehat{BAD}$ (theo giả thiết).

Vậy $\triangle ABC = \triangle ABD\text{ (g.c.g)}$.

b) Vì $\triangle ABC = \triangle ABD$ (theo chứng minh trên) nên $BC = BD$, $AC = AD$ và $\widehat{BCA} = \widehat{BDA}$.

Do $M, N$ lần lượt thuộc $CA, DA$ nên $\widehat{BCM} = \widehat{BCA}$, $\widehat{BDN} = \widehat{BDA}$. Vì vậy $\widehat{BCM} = \widehat{BDN}$.

Mặt khác, vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AD$ nên:

$$CM = \frac{AC}{2} = \frac{AD}{2} = DN$$

Vậy hai tam giác $BCM$ và $BDN$ có:

• $BC = BD$ (chứng minh trên);
• $\widehat{BCM} = \widehat{BDN}$ (chứng minh trên);
• $CM = DN$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle BCM = \triangle BDN\text{ (c.g.c)}$.

Vì $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $d$ vuông góc với $AB$ tại $O$, và $O$ là trung điểm của $AB$ ($OA = OB$).

a) Xét hai tam giác vuông $MAO$ và $MBO$ (vuông tại $O$), ta có:

• $OM$ là cạnh chung;
• $AM = BM$ (vì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$).

Do đó $\triangle MAO = \triangle MBO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
(Hoặc có thể chứng minh theo trường hợp hai cạnh góc vuông: $OA = OB, OM$ chung).

b) Xét hai tam giác $MAN$ và $MBN$, ta có:

• $MA = MB$ (vì $M$ thuộc đường trung trực của $AB$);
• $NA = NB$ (vì $N$ thuộc đường trung trực của $AB$);
• $MN$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle MAN = \triangle MBN\text{ (c.c.c)}$. Suy ra $\widehat{MAN} = \widehat{MBN}$ (hai góc tương ứng).

c) Xét hai tam giác vuông $AOM$ và $AON$ (vuông tại $O$), ta có:

• $OM = ON$ (theo giả thiết);
• $OA$ là cạnh góc vuông chung.

Do đó $\triangle AOM = \triangle AON$ (hai cạnh góc vuông). Suy ra $AM = AN$ (hai cạnh tương ứng). Từ đó suy ra tam giác $AMN$ cân tại $A$.

Bước 1: Tính các góc $x$ và $y$.

• Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$:
  $$y = \widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{CAB} - \widehat{ACB} = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$$
• Trong tam giác $ABD$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:
  $$x = \widehat{DAB} = 180^\circ - \widehat{ADB} - \widehat{ABD} = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$$

Bước 2: Chứng minh $\triangle ABC = \triangle ABD$.

Xét hai tam giác $ABC$ và $ABD$, ta có:

• $\widehat{CAB} = \widehat{DAB} = 45^\circ$;
• $AB$ là cạnh chung;
• $\widehat{ABC} = \widehat{ABD} = 60^\circ$.

Do đó $\triangle ABC = \triangle ABD\text{ (g.c.g)}$.

Bước 3: Tìm độ dài $a$ và $b$.

Vì $\triangle ABC = \triangle ABD$ nên các cạnh tương ứng bằng nhau:

• $a = BC = BD = 3{,}3\text{ cm}$;
• $b = AD = AC = 4\text{ cm}$.

Kết luận: $x = 45^\circ, y = 60^\circ, a = 3{,}3\text{ cm}, b = 4\text{ cm}$.

a) Chứng minh $\triangle OAN = \triangle OBM$:

Xét hai tam giác $OAN$ và $OBM$, ta có:

• $OA = OB$ (theo giả thiết);
• $\widehat{O}$ là góc chung ($\widehat{xOy}$ chung);
• $ON = OM$ (theo giả thiết).

Do đó $\triangle OAN = \triangle OBM\text{ (c.g.c)}$.

b) Chứng minh $\triangle AMN = \triangle BNM$:

Vì $\triangle OAN = \triangle OBM$ (chứng minh câu a) nên:

• $AN = BM$ (hai cạnh tương ứng);
• $\widehat{OAN} = \widehat{OBM}$, hay $\widehat{MAN} = \widehat{NBM}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác, do $M$ nằm giữa $O$ và $A$, $N$ nằm giữa $O$ và $B$ nên:

$$AM = OA - OM = OB - ON = BN$$

Xét hai tam giác $AMN$ và $BNM$, ta có:

• $AM = BN$ (chứng minh trên);
• $AN = BM$ (chứng minh trên);
• $MN$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle AMN = \triangle BNM\text{ (c.c.c)}$.

a) Chứng minh $AC = BD$:

Xét hai tam giác $OAC$ và $OBD$, ta có:

• $OA = OB$ (theo giả thiết);
• $\widehat{AOC} = \widehat{BOD}$ (hai góc đối đỉnh);
• $OC = OD$ (theo giả thiết).

Do đó $\triangle OAC = \triangle OBD\text{ (c.g.c)}$.

Suy ra $AC = BD$ (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh $\triangle ACD = \triangle BDC$:

Ta có $A, O, D$ thẳng hàng và $B, O, C$ thẳng hàng, nên:

Xét hai tam giác $ACD$ và $BDC$, ta có:

• $AC = BD$ (chứng minh ở câu a);
• $CD$ là cạnh chung;
• $AD = BC$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle ACD = \triangle BDC\text{ (c.c.c)}$.

Cách 1 (Sử dụng đường trung trực / Tam giác bằng nhau):

• Vì tam giác $MBC$ vuông tại $M$ nên $CM \perp AB$ tại $M$.
• Lại có $A$ thuộc tia đối của $MB$ và $MA = MB$, nên $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.
• Do đó, đường thẳng $CM$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm $M$, tức là $CM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
• Vì $C$ thuộc đường trung trực của $AB$ nên $CA = CB$.
• Suy ra tam giác $ABC$ cân tại $C$.
• Tam giác cân $ABC$ có một góc bằng $60^\circ$ ($\widehat{B} = 60^\circ$) nên tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Cách 2 (Sử dụng hai tam giác vuông bằng nhau):

Xét hai tam giác vuông $\triangle CMA$ và $\triangle CMB$ (vuông tại $M$):

• $CM$ là cạnh góc vuông chung;
• $MA = MB$ (theo giả thiết).

Do đó $\triangle CMA = \triangle CMB$ (hai cạnh góc vuông). Suy ra $CA = CB$ (hai cạnh tương ứng).

Tam giác $ABC$ có $CA = CB$ nên là tam giác cân tại $C$. Lại có $\widehat{B} = 60^\circ$, vậy tam giác $ABC$ là tam giác đều.