Vì cạnh $ vuông góc với cả hai đáy $ và $ nên:

• \perp AB \Rightarrow \widehat{A} = 90^\circ$
• \perp CD \Rightarrow \widehat{D} = 90^\circ$

Do \parallel CD$, hai góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến $ nên chúng bù nhau:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

Mặt khác, theo đề bài ta có $\widehat{B} = 2\widehat{C}$. Thay vào biểu thức trên, ta được:

$$2\widehat{C} + \widehat{C} = 180^\circ \iff 3\widehat{C} = 180^\circ \iff \widehat{C} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$$

Từ đó suy ra số đo góc $:

$$\widehat{B} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$

Kết luận: Các góc của hình thang là $\widehat{A} = 90^\circ$, $\widehat{D} = 90^\circ$, $\widehat{B} = 120^\circ$, $\widehat{C} = 60^\circ$.

*Giải thích: Do cát tuyến $ cắt cả $ và $ tạo ra cặp góc đồng vị cùng bằng $90^\circ$ (hoặc cặp góc so le trong cùng bằng $90^\circ$) nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta có \parallel b$.

Theo giả thiết, đường thẳng $ vuông góc với hai đường thẳng song song $ và $ tại $ và $:

• Góc so le trong tại đỉnh $ có số đo: $\widehat{bAc} = 90^\circ$.
• Góc so le trong tại đỉnh $ có số đo: $\widehat{bBd} = 90^\circ$.

Vì $ là tia phân giác của góc vuông tại $ nên góc tạo bởi tia $ và đoạn thẳng $ là:

$$\widehat{xAB} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$

Vì $ là tia phân giác của góc vuông tại $ nên góc tạo bởi tia $ và đoạn thẳng $ là:

$$\widehat{yBA} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$

Hai góc $\widehat{xAB}$ và $\widehat{yBA}$ ở vị trí so le trong đối với đường thẳng cát tuyến $ và có số đo bằng nhau ($\widehat{xAB} = \widehat{yBA} = 45^\circ$).

Do đó, theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta suy ra \parallel By$ (điều phải chứng minh).

a) Chứng minh \parallel b$:

Theo đề bài, hai đường thẳng phân biệt $ và $ cùng vuông góc với đường thẳng $ ( \perp c$ và \perp c$).
Áp dụng định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”, ta suy ra:
\parallel b$.

b) Chứng minh \parallel d$:

Theo đề bài, \perp c$ (tức \perp a$) và \perp a$.
Hai đường thẳng phân biệt $ và $ cùng vuông góc với đường thẳng $.
Áp dụng định lí trên, ta suy ra:
\parallel d$.

c) Chứng minh \perp d$:

Theo câu a, ta có \parallel b$.
Mà theo đề bài, đường thẳng $ vuông góc với $ ( \perp a$).
Áp dụng định lí tính chất: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia”, ta suy ra:
\perp d$.

a) Chứng minh \parallel BC$:

Quan sát Hình 3.49, đường thẳng $ cắt hai đường thẳng $ và $ tạo thành cặp góc so le trong:
$\widehat{dAC} = 50^\circ$ và $\widehat{ACB} = 50^\circ$.
Vì $\widehat{dAC} = \widehat{ACB} = 50^\circ$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên:
\parallel BC$.

b) Chứng minh \perp AH$:

Theo Hình 3.49, ta có \perp BC$.
Mặt khác, theo câu a ta có \parallel BC$.
Áp dụng định lí: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia”, ta suy ra:
\perp AH$.

c) Phân loại định lí dấu hiệu và tính chất:

• Kết luận ở câu a ( \parallel BC$) được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le trong bằng nhau thì chúng song song).
• Kết luận ở câu b ( \perp AH$) được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).