a) Ghép hình vuông mới và tính diện tích:

Ghép bốn tam giác vuông xung quanh hình vuông cạnh $1\text{ cm}$, ta nhận được một hình vuông mới như Hình 2.7 dưới đây:

b) Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật ban đầu:

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật ban đầu chính bằng độ dài cạnh của hình vuông mới tạo thành, do đó độ dài đường chéo bằng $\sqrt{5}\text{ cm}$.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: $$\sqrt{5} \approx 2{,}236067978\dots$$

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai: Chữ số hàng phần trăm là $3$, chữ số ngay sau nó (hàng phần nghìn) là $6 \ge 5$, do đó ta cộng thêm $1$ vào chữ số hàng phần trăm: $$\sqrt{5} \approx 2{,}24\text{ cm}$$

Kết luận: Độ dài đường chéo của hình chữ nhật xấp xỉ $2{,}24\text{ cm}$.

a) Phân loại phân số:

Ta đưa các phân số về dạng tối giản với mẫu dương rồi phân tích các mẫu số ra thừa số nguyên tố:

• $\frac{17}{80}$ có mẫu $80 = 2^4 \cdot 5$ (chỉ chứa ước nguyên tố $2$ và $5$) nên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: $\frac{17}{80} = 0{,}2125$.
• $\frac{611}{125}$ có mẫu $125 = 5^3$ (chỉ chứa ước nguyên tố $5$) nên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: $\frac{611}{125} = 4{,}888$.
• $\frac{9}{8}$ có mẫu $8 = 2^3$ (chỉ chứa ước nguyên tố $2$) nên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: $\frac{9}{8} = 1{,}125$.
• $\frac{133}{91} = \frac{133 : 7}{91 : 7} = \frac{19}{13}$. Mẫu số $13$ là số nguyên tố khác $2$ và $5$, do đó phân số $\frac{133}{91}$ không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn (nó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn $\frac{19}{13} = 1{,}(461538)$).

b) So sánh phân số $\frac{133}{91}$ với $\sqrt{2}$:

Ta có: $\frac{133}{91} = \frac{19}{13} \approx 1{,}461538\dots$

So sánh hai số thập phân $1{,}461538\dots$ và $1{,}414213\dots$: Ở hàng phần trăm, ta thấy $6 > 1$, do đó: $$1{,}461538\dots > 1{,}414213\dots \implies \frac{133}{91} > \sqrt{2}$$

a) Đặt tính chia hoặc bấm máy tính:

• $\frac{1}{9} = 1 : 9 = 0{,}1111\dots = 0{,}(1)$ (chu kì là $1$).
• $\frac{1}{99} = 1 : 99 = 0{,}010101\dots = 0{,}(01)$ (chu kì là $01$).

Nhận xét: Phân số dạng $\frac{1}{9\dots 9}$ có mẫu số gồm bao nhiêu chữ số $9$ thì dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn sẽ có chu kì gồm bấy nhiêu chữ số bắt đầu bằng các chữ số $0$ và kết thúc bởi chữ số $1$.

b) Dự đoán dạng thập phân của $\frac{1}{999}$:

Vì mẫu số có ba chữ số $9$, ta dự đoán chu kì gồm $3$ chữ số là $(001)$: $$\frac{1}{999} = 0{,}(001)$$ (Kiểm tra lại bằng phép chia: $1 : 999 = 0{,}001001001\dots = 0{,}(001)$, hoàn toàn chính xác!)

a) Xác định toạ độ hai điểm $A$ và $B$:

• Điểm $A$ nằm bên phải số $13$ và cách số $13$ đúng $4$ ô nhỏ, do đó điểm $A$ biểu diễn số thập phân: $13 + 4 \cdot 0{,}1 = 13{,}4$.
• Điểm $B$ nằm bên phải số $14$ và cách số $14$ đúng $2$ ô nhỏ, do đó điểm $B$ biểu diễn số thập phân: $14 + 2 \cdot 0{,}1 = 14{,}2$.

b) Xác định và làm tròn số thập phân biểu diễn bởi điểm $C$:

Điểm $C$ nằm bên phải số $14$ và cách số $14$ đúng $6$ ô nhỏ, do đó điểm $C$ biểu diễn số thập phân: $$14 + 6 \cdot 0{,}1 = 14{,}6$$

Để làm tròn với độ chính xác $d = 0{,}05$, theo quy tắc đã học: vì $0{,}01 < 0{,}05 < 0{,}1$, ta làm tròn số $14{,}6$ đến hàng phần mười.

Vì số $14{,}6$ đã được viết chính xác đến hàng phần mười nên kết quả làm tròn vẫn là $14{,}6$.

a) Giải bất đẳng thức $-7{,}02 < -7,{?}(1)$:

Với hai số âm: $A < B \iff -A > -B$, do đó: $$7{,}02 > 7,{?}(1) \iff 7{,}0200\dots > 7,{?}111\dots$$

So sánh chữ số ở hàng phần mười: Nếu $? = 0$, ta có $7{,}0200\dots > 7{,}0111\dots$ (đúng vì ở hàng phần trăm $2 > 1$). Nếu $? \ge 1$, ta có $7{,}0200\dots < 7{,}1\dots$ (sai). Vậy dấu "?" duy nhất thỏa mãn là chữ số $0$.

b) Giải bất đẳng thức $-15{,}3{?}021 < -15{,}3819$:

Tương tự, ta chuyển về so sánh hai số dương: $$15{,}3{?}021 > 15{,}3819$$

Phần nguyên là $15$ bằng nhau. Chữ số hàng phần mười là $3$ bằng nhau. Xét chữ số hàng phần trăm: Nếu $? > 8$, tức là $? = 9$, ta có $15{,}39021 > 15{,}3819$ (đúng). Nếu $? = 8$, ta so sánh tiếp hàng phần nghìn: $0 < 1 \implies 15{,}38021 < 15{,}3819$ (không thỏa mãn). Nếu $? < 8$, hiển nhiên $15{,}3{?}021 < 15{,}3819$ (không thỏa mãn). Vậy dấu "?" duy nhất thỏa mãn là chữ số $9$.