Nối điểm $D$ với điểm $C$.

Bước 1: Chứng minh $DE < DC$:

Trong tam giác $ADE$, góc $\widehat{DEC}$ là góc ngoài tại đỉnh $E$, nên:

$$\widehat{DEC} = \widehat{A} + \widehat{ADE} > \widehat{A} > 90^\circ$$

Do đó trong tam giác $DEC$, góc $\widehat{DEC}$ là góc tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất nên $DC > DE$ (hay $DE < DC$). (1)

Bước 2: Chứng minh $DC < BC$:

Trong tam giác $ADC$, góc $\widehat{BDC}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$, nên:

$$\widehat{BDC} = \widehat{A} + \widehat{ACD} > \widehat{A} > 90^\circ$$

Do đó trong tam giác $BDC$, góc $\widehat{BDC}$ là góc tù, cạnh đối diện $BC$ là cạnh lớn nhất nên $BC > DC$ (hay $DC < BC$). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $DE < DC < BC \implies DE < BC$ (đpcm).

a) So sánh $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$:

Vì tam giác $ABD$ cân tại $B$ ($BD = BA$) nên $\widehat{BDA} = \widehat{BAD}$.

Góc $\widehat{ABC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABD$, nên:

$$\widehat{ABC} = \widehat{BDA} + \widehat{BAD} = 2\widehat{BDA} \implies \widehat{BDA} = \frac{1}{2}\widehat{ABC} \quad \text{(tức là } \widehat{ADE} = \frac{1}{2}\widehat{ABC}\text{)}$$

Tương tự, tam giác $ACE$ cân tại $C$ ($CE = CA$) nên $\widehat{CEA} = \widehat{CAE}$.

Góc $\widehat{ACB}$ là góc ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ACE$, nên:

$$\widehat{ACB} = 2\widehat{CEA} \implies \widehat{CEA} = \frac{1}{2}\widehat{ACB} \quad \text{(tức là } \widehat{AED} = \frac{1}{2}\widehat{ACB}\text{)}$$

Trong tam giác $ABC$, vì $AB > AC$ nên theo quan hệ giữa cạnh và góc đối diện: $\widehat{ACB} > \widehat{ABC}$.

Do đó: $\frac{1}{2}\widehat{ACB} > \frac{1}{2}\widehat{ABC} \implies \widehat{AED} > \widehat{ADE}$.

b) So sánh $AD$ và $AE$:

Xét tam giác $ADE$, cạnh đối diện với $\widehat{AED}$ là $AD$, cạnh đối diện với $\widehat{ADE}$ là $AE$.

Vì $\widehat{AED} > \widehat{ADE}$ nên theo định lí quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác $ADE$, ta có:

$$AD > AE$$

a) Chứng minh $AI < \frac{1}{2}(AB + AC)$:

Đoạn thẳng $AI$ là đường cao kẻ từ $A$ đến $BC$, nên $AI$ là đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

Các đoạn thẳng $AB, AC$ là các đường xiên kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

Đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên kẻ từ cùng một điểm, nên $AI < AB$ và $AI < AC$.

Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên:

$$AI + AI < AB + AC \implies 2AI < AB + AC \implies AI < \frac{1}{2}(AB + AC)\text{ (đpcm)}.$$

b) Chứng minh $AM < \frac{1}{2}(AB + AC)$:

Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA \implies AD = 2AM$.

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có: $AM = DM$, $\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (đối đỉnh), $BM = CM$ (do $M$ là trung điểm $BC$).

Do đó $\Delta ABM = \Delta DCM\text{ (c.g.c)} \implies CD = AB$.

Trong tam giác $ACD$, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$$AD < AC + CD \implies 2AM < AC + AB \implies AM < \frac{1}{2}(AB + AC)\text{ (đpcm)}.$$

Xét tam giác $ABE$:

Vì $C$ là trung điểm của $AE$ nên đoạn thẳng $BC$ là một đường trung tuyến của tam giác $ABE$.

Điểm $D$ nằm trên $BC$ và $BD = 2DC \implies BD = \frac{2}{3}BC$.

Theo tính chất trọng tâm của tam giác, điểm $D$ chính là trọng tâm của tam giác $ABE$.

Vì $D$ là trọng tâm của tam giác $ABE$ nên đường thẳng đi qua đỉnh $A$ và trọng tâm $D$ là đường trung tuyến của tam giác $ABE$.

Mặt khác, theo giả thiết $AD$ là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ (tức là góc $\widehat{BAE}$).

Tam giác $ABE$ có $AD$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên tam giác $ABE$ cân tại $A$ (đpcm).

Đổi đơn vị: $1{,}2\text{ m} = 120\text{ cm}$. Chu vi tam giác cần tạo thành bằng $120\text{ cm}$.

Cạnh dài $30\text{ cm}$ có thể là cạnh đáy hoặc cạnh bên của tam giác cân:

• Trường hợp 1: Cạnh có độ dài $30\text{ cm}$ là cạnh đáy:

  Độ dài mỗi cạnh bên là: $\frac{120 - 30}{2} = 45\text{ (cm)}$.

  Kiểm tra bất đẳng thức tam giác: $45 + 45 = 90 > 30$ (thỏa mãn điều kiện tạo thành tam giác).

  Cách đánh dấu: Từ một đầu sợi dây thép, đo $45\text{ cm}$ đánh dấu điểm thứ nhất; từ điểm thứ nhất đo tiếp $45\text{ cm}$ đánh dấu điểm thứ hai. Sợi dây được chia thành ba đoạn: $45\text{ cm}, 45\text{ cm}, 30\text{ cm}$.

• Trường hợp 2: Cạnh có độ dài $30\text{ cm}$ là cạnh bên:

  Khi đó hai cạnh bên có độ dài là $30\text{ cm}$ và $30\text{ cm}$.

  Độ dài cạnh đáy là: $120 - 30 - 30 = 60\text{ (cm)}$.

  Kiểm tra bất đẳng thức tam giác: $30 + 30 = 60 \ngtr 60$ (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác vì tổng hai cạnh không lớn hơn cạnh thứ ba).

  Do đó trường hợp này không tạo được tam giác.

Kết luận: Chỉ có DUY NHẤT một cách đánh dấu: chia sợi dây thành ba đoạn có độ dài lần lượt là $45\text{ cm}, 45\text{ cm}$ và $30\text{ cm}$.