Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Trong tam giác vuông $ABC$ tại $A$:

$\sin B = \dfrac{b}{a} = \dfrac{18}{21} = \dfrac{6}{7} \approx 0{,}8571$.

Bấm MTCT: $\widehat{B} \approx 58^\circ 59' \approx 59^\circ$.

Áp dụng định lí Pythagore:

$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{21^2 - 18^2} = \sqrt{441 - 324} = \sqrt{117} \approx 10{,}82\text{ cm} \approx 11\text{ cm}$.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$\cos C = \dfrac{b}{a} \implies a = \dfrac{b}{\cos 30^\circ} = \dfrac{10}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$.

$\tan C = \dfrac{c}{b} \implies c = b \cdot \tan 30^\circ = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$.

Theo Định lí 2:

$\tan B = \dfrac{b}{c} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

Bấm MTCT: $\widehat{B} = \arctan(0{,}6) \approx 30^\circ 57' \approx 31^\circ$.

Ta có: $\cos \alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$.

Bấm máy tính: $\alpha = \arccos(0{,}8) \approx 36^\circ 52' \approx 37^\circ$.

Trong tam giác vuông tạo bởi mái dốc $AB$, chênh lệch chiều cao $0{,}9\text{ m}$ và sàn ngang $15\text{ m}$:

$\tan \alpha = \dfrac{0{,}9}{15} = 0{,}06$.

Bấm máy tính: $\alpha = \arctan(0{,}06) \approx 3^\circ 26' \approx 3^\circ$.

Hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xét một tam giác vuông tạo bởi nửa hai đường chéo có độ dài cạnh là $\sqrt{3}\text{ cm}$ và $1\text{ cm}$:

Gọi $\alpha$ là nửa góc nhọn: $\tan \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \implies \alpha = 30^\circ$.

Vậy góc nhọn của hình thoi là $2\alpha = 60^\circ$, góc tù là $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Theo Định lí 1: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối.

Góc đối của cạnh $MN$ là góc $P$, cạnh huyền là $NP$. Do đó: $MN = NP \cdot \sin P$.