Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất
Lý thuyết Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất
Nắm vững khái niệm ước chung và ước chung lớn nhất; thành thạo quy tắc 3 bước tìm ƯCLN bằng phân tích thừa số nguyên tố và cách tìm ƯC từ ƯCLN; nhận biết hai số nguyên tố cùng nhau và rút gọn phân số tối giản; tìm hiểu thuật toán Euclid và giải trọn bộ bài tập SGK 2.30 - 2.35 trang 44 - 48.
Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất
Khám phá khái niệm ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số tự nhiên; làm chủ quy tắc 3 bước tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố, cách tìm tập hợp ước chung từ ƯCLN và ứng dụng rút gọn về phân số tối giản.
- Ước chung; Ước chung lớn nhất.
- Hai số nguyên tố cùng nhau.
- Phân số tối giản.
- Xác định ước chung, ước chung lớn nhất của hai hoặc ba số tự nhiên đã cho.
- Nhận biết phân số tối giản và rút gọn phân số về phân số tối giản.
Bài toán mở đầu: Bác thợ mộc cắt gỗ làm kệ để đồ
SGK Toán 6 - Trang 44
"Một bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ hai tấm gỗ dài $18\text{ dm}$ và $30\text{ dm}$. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này thành các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào.
Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của mỗi thanh gỗ được cắt."
Ước chung và ước chung lớn nhất
a) Khám phá Hoạt động 1, 2, 3 (SGK trang 44)
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
• $x \in \text{ƯC}(a, b, c) \iff a \ \vdots \ x, \ b \ \vdots \ x$ và $c \ \vdots \ x$.
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
• Chú ý: Ta chỉ xét ước chung của các số khác $0$.
Độ dài lớn nhất (đơn vị $\text{dm}$) của mỗi thanh gỗ được cắt chính là ước chung lớn nhất của $18$ và $30$.
Vậy bác thợ mộc nên cắt các tấm gỗ thành các thanh gỗ dài $\text{ƯCLN}(18, 30) = 6\text{ dm}$.
$\text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$.
Vậy $\text{ƯCLN}(6, 18) = 6$."
Bố có $12$ quả bóng màu xanh và $15$ quả bóng màu đỏ. Bố muốn chia số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng xanh và bóng đỏ. Hỏi bố có thực hiện được điều đó hay không?
Lớp 6A và 6B gồm $40$ học sinh nữ và $36$ học sinh nam đi thu gom rác làm sạch bờ biển. Chia nhóm sao cho số nam và nữ trong các nhóm bằng nhau:
Cách tìm ước chung lớn nhất và tìm ước chung từ ƯCLN
a) Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố (SGK trang 45 – 46)
Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung (có mặt ở tất cả các số).
Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
Ba trung đội có $24$, $28$ và $36$ chiến sĩ xếp thành các hàng dọc đều nhau không lẻ hàng. Hỏi xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?
b) Tìm ước chung từ ước chung lớn nhất (SGK trang 46 – 47)
Vì mọi ước chung của các số đã cho đều là ước của $\text{ƯCLN}$ của các số đó, nên để tìm ước chung của các số, ta thực hiện:
$\text{ƯC}(75, 105) = \text{Ư}(15) = \{1; \ 3; \ 5; \ 15\}$.
$75 = 3 \cdot 5^2; \ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7; \ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
$\implies \text{ƯCLN}(75, 105, 120) = 3 \cdot 5 = 15$
$\implies \text{ƯC}(75, 105, 120) = \text{Ư}(15) = \{1; \ 3; \ 5; \ 15\}$.
Số tiền mua vé cô Lan thu được từng ngày: Thứ Hai $56$, Thứ Ba $28$, Thứ Tư $42$, Thứ Năm $98$ (nghìn đồng).
• Nếu vé $7$ nghìn: $224 : 7 = \mathbf{32}$ học sinh (thoả mãn $20 < 32 < 40$).
• Nếu vé $14$ nghìn: $224 : 14 = 16$ học sinh (loại vì $< 20$).
Rút gọn về phân số tối giản & Hai số nguyên tố cùng nhau
• Phân số $\dfrac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu $a$ và $b$ không có ước chung nào khác $1$, nghĩa là $\text{ƯCLN}(a, b) = 1$.
• Để đưa một phân số chưa tối giản $\dfrac{a}{b}$ về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho $\text{ƯCLN}(a, b)$:
• Nếu $\text{ƯCLN}(a, b) = 1$ thì hai số $a$ và $b$ được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.
• Phân số $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản khi và chỉ khi tử $a$ và mẫu $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
$\text{ƯCLN}(90, 27) = 9$.
$$\dfrac{90}{27} = \dfrac{90 : 9}{27 : 9} = \dfrac{10}{3}$$
$\text{ƯCLN}(50, 125) = 25$.
$$\dfrac{50}{125} = \dfrac{50 : 25}{125 : 25} = \dfrac{2}{5}$$
Nhà toán học vĩ đại thời cổ đại Euclid (Ơ-clít) — tác giả bộ sách Cơ sở — đã đưa ra thuật toán tìm $\text{ƯCLN}(a, b)$ cực kì hiệu quả dựa trên phép chia có dư: Nếu $a = bq + r$ thì $\text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(b, r)$.
- Chia số lớn cho số nhỏ được số dư đầu tiên $r_1$.
- Nếu $r_1 = 0$ thì số nhỏ chính là $\text{ƯCLN}$.
- Nếu $r_1 \ne 0$, lấy số chia trước chia cho số dư $r_1$, lặp lại cho đến khi số dư bằng $0$.
- Số dư cuối cùng khác $0$ chính là $\text{ƯCLN}$ cần tìm!
• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
• $45 = 3^2 \cdot 5$
Suy ra $\text{ƯCLN}(30, 45) = 3 \cdot 5 = 15$.
Do đó tập hợp ước chung là ước của $15$: **$\text{ƯC}(30, 45) = \text{Ư}(15) = \{1; \ 3; \ 5; \ 15\}$**.
• $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
• $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
Suy ra $\text{ƯCLN}(42, 70) = 2 \cdot 7 = 14$.
Do đó tập hợp ước chung là ước của $14$: **$\text{ƯC}(42, 70) = \text{Ư}(14) = \{1; \ 2; \ 7; \ 14\}$**.
• $40 = 2^3 \cdot 5$
• $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
Thừa số nguyên tố chung là $2$ và $5$, số mũ nhỏ nhất đều là $1$.
Vậy **$\text{ƯCLN}(40, 70) = 2 \cdot 5 = 10$**.
• $55 = 5 \cdot 11$
• $77 = 7 \cdot 11$
Thừa số nguyên tố chung duy nhất là $11$ với số mũ nhỏ nhất là $1$.
Vậy **$\text{ƯCLN}(55, 77) = 11$**.
• Các thừa số nguyên tố chung là $2$ và $5$.
• Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $1$; số mũ nhỏ nhất của $5$ là $1$.
Vậy **$\text{ƯCLN} = 2^1 \cdot 5^1 = 10$**.
• Thừa số nguyên tố chung duy nhất có mặt ở cả ba số là $2$ (thừa số $3$ không có mặt ở $2^4 \cdot 11$).
• Số mũ nhỏ nhất của $2$ trong ba số là $2$.
Vậy **$\text{ƯCLN} = 2^2 = 4$**.
• $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
• $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.
Vậy **$72 = 2^3 \cdot 3^2$ và $96 = 2^5 \cdot 3$**.
• Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $3$; của $3$ là $1$. Suy ra $\text{ƯCLN}(72, 96) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
• Tập hợp ước chung là các ước của $24$: **$\text{ƯC}(72, 96) = \text{Ư}(24) = \{1; \ 2; \ 3; \ 4; \ 6; \ 8; \ 12; \ 24\}$**.
Do đó phân số $\dfrac{50}{85}$ **chưa tối giản**.
Chia cả tử và mẫu cho $5$: $$\dfrac{50}{85} = \dfrac{50 : 5}{85 : 5} = \dfrac{10}{17}$$
Vậy phân số $\dfrac{23}{81}$ **đã là phân số tối giản**.
• **$8$ và $9$**: Cả $8 = 2^3$ và $9 = 3^2$ đều là hợp số, và chúng không có thừa số nguyên tố chung nào nên $\text{ƯCLN}(8, 9) = 1$ (tương tự với $4 = 2^2$ và $15 = 3 \cdot 5$).
• $7$ và $9$: Số $7$ là số nguyên tố, không phải hợp số.
• $8$ và $10$: Có $\text{ƯCLN}(8, 10) = 2 \ne 1$.
• $9$ và $15$: Có $\text{ƯCLN}(9, 15) = 3 \ne 1$.
Ta có $18 = 2 \cdot 3^2$ và $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \implies \text{ƯCLN}(18, 30) = 2 \cdot 3 = 6\text{ (dm)}$.
Mỗi anh em nhận được: $12 : 3 = 4$ quả bóng xanh và $15 : 3 = 5$ quả bóng đỏ.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Thừa số nguyên tố chung là $2$ và $3$.
Vậy **$\text{ƯCLN}(36, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12$**.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
• Với $\dfrac{50}{125}$: Ta có $\text{ƯCLN}(50, 125) = 25 \implies \dfrac{50 : 25}{125 : 25} = \dfrac{2}{5}$.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 3 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!