SGK Toán 6 Tập 1 - Kết nối tri thức Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên Trang 22 – 24

Bài 6: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Nắm vững khái niệm luỹ thừa bậc $n$, cơ số và số mũ; quy tắc nhân hai luỹ thừa cùng cơ số $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số $a^m : a^n = a^{m-n}$ ($a \ne 0, m \ge n$); số chính phương và biểu diễn số tự nhiên dưới dạng tổng các luỹ thừa của $10$.

Truyền thuyết bàn cờ vua Ấn Độ

Bài toán mở đầu (SGK trang 22)

"Truyền thuyết Ấn Độ kể rằng, người phát minh ra bàn cờ vua đã chọn phần thưởng là số thóc rải trên $64$ ô của bàn cờ vua như sau: ô thứ nhất để $1$ hạt thóc, ô thứ hai để $2$ hạt, ô thứ ba để $4$ hạt, ô thứ tư để $8$ hạt,... Cứ như thế, số hạt ở ô sau gấp đôi số hạt ở ô trước. Liệu nhà vua có đủ thóc để thưởng cho nhà phát minh đó hay không?"

• Ô thứ 1: $1$ hạt thóc.

• Ô thứ 2: $2$ hạt thóc.

• Ô thứ 3: $2 \cdot 2 = 4$ hạt thóc.

• Ô thứ 4: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ hạt thóc.

• Ô thứ 8 (HĐ1): Cần thực hiện phép nhân có $7$ thừa số $2$ ($2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7 = 128$ hạt).

Tổng số thóc trên $64$ ô là $2^{64} - 1 \approx 18{,}4$ tỉ tỉ hạt (nặng tới 369 tỉ tấn thóc). Toàn bộ kho thóc của nhà vua không thể nào đủ để ban thưởng!

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

a) Định nghĩa luỹ thừa

Luỹ thừa bậc $n$ của một số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ thừa số}} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$$ $a^n$ đọc là "$a$ mũ $n$" hoặc "$a$ luỹ thừa $n$" hoặc "luỹ thừa bậc $n$ của $a$".

Sơ đồ cấu tạo luỹ thừa

Các chú ý đặc biệt:

• $a^1 = a$ (Số mũ $1$ thường được quy ước không cần ghi).

• $a^2$ còn được gọi là bình phương (hay bình phương của $a$).

• $a^3$ còn được gọi là lập phương (hay lập phương của $a$).

• Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên luỹ thừa.

b) Số chính phương (SGK trang 23)

Các số $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...$ là bình phương của một số tự nhiên, được gọi là các số chính phương.

Mô hình chấm tròn số chính phương

Ví dụ 1 (SGK trang 23)

• a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$. Cơ số là $3$, số mũ là $5$.

• b) Tính $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

Luyện tập 1: Bảng bình phương từ $1$ đến $10$

$a$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$a^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

Vận dụng (SGK trang 23)

1. Ô thứ $7$ của bàn cờ có số hạt thóc là: $2^{7-1} = 2^6 = 64$ (hạt thóc).

2. Viết mỗi số thành tổng các luỹ thừa của 10:

• $23\,197 = 2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10 + 7$.

• $203\,184 = 2 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 4$.

Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số

a) Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Ví dụ 2:

$5^6 \cdot 5^3 = 5^{6+3} = 5^9$.
$10^5 \cdot 10^4 \cdot 10^2 = 10^{5+4+2} = 10^{11}$.

Luyện tập 2:

a) $5^3 \cdot 5^7 = 5^{3+7} = 5^{10}$.
b) $2^4 \cdot 2^5 \cdot 2^9 = 2^{4+5+9} = 2^{18}$.
c) $10^2 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \cdot 10^8 = 10^{2+4+6+8} = 10^{20}$.

b) Chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số (khác $0$), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ số mũ của số chia:

$$a^m : a^n = a^{m-n} \quad (a \ne 0, m \ge n)$$

Quy ước toán học quan trọng: Ta quy ước: $a^0 = 1$ (với $a \ne 0$).
Ví dụ: $5^0 = 1$, $100^0 = 1$, $1\,091^0 = 1$.

Ví dụ 3:

$2^6 : 2^3 = 2^{6-3} = 2^3$.
$10^7 : 10^4 = 10^{7-4} = 10^3$.

Luyện tập 3:

a) $7^6 : 7^4 = 7^{6-4} = 7^2 = 49$.
b) $1\,091^{100} : 1\,091^{100} = 1\,091^0 = 1$.

Em có biết: Trường độ trong Âm nhạc & Luỹ thừa của 2

Trong âm nhạc, người ta ghi các bản nhạc bằng các nốt nhạc. Mối quan hệ về trường độ (độ ngân dài) giữa các nốt nhạc tuân theo luỹ thừa của $2$:

$1\text{ tròn} = 2^1\text{ trắng} = 2^2\text{ đen} = 2^3\text{ móc đơn} = 2^4\text{ móc kép}$.

$1\text{ trắng} = 2^1\text{ đen} = 2^2\text{ móc đơn} = 2^3\text{ móc kép} = 2^4\text{ móc ba}$.

Bảng tổng kết ghi nhớ kiến thức cốt lõi

1. Khái niệm Luỹ thừa

$a^n = a \cdot a \dots a$ ($n$ thừa số $a$)
$a$ là cơ số, $n$ là số mũ
$a^1 = a$; $a^2$: bình phương; $a^3$: lập phương
Số chính phương: $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,...$

2. Công thức Luỹ thừa

Nhân: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Chia: $a^m : a^n = a^{m-n}$ ($a \ne 0, m \ge n$)
Quy ước: $a^0 = 1$ ($a \ne 0$)
Luỹ thừa của 10: $10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ số } 0}$

Viết tích sau dưới dạng một luỹ thừa: $$9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$$

Lời giải chi tiết:

Tích gồm $5$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $9$. Theo định nghĩa luỹ thừa: $$9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 9^5$$