Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học
Khám phá tập hợp số vô tỉ I, định nghĩa căn bậc hai số học, kĩ năng tính và làm tròn bằng máy tính cầm tay Casio, ứng dụng hình học thực tế.
Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học
Khám phá tập hợp số vô tỉ $\mathbb{I}$, định nghĩa căn bậc hai số học $\sqrt{a}$, cách tính bằng máy tính cầm tay và ứng dụng vào các bài toán hình học thực tế.
- Số vô tỉ
- Căn bậc hai số học
- Số thập phân vô hạn không tuần hoàn
- Nhận biết số vô tỉ.
- Nhận biết căn bậc hai số học của một số không âm.
- Tính giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số nguyên dương bằng máy tính cầm tay.
Bạn Tròn: "Tớ ghép được một hình vuông có diện tích bằng $2\text{ dm}^2$."
Bạn Vuông: "Không biết số nào biểu thị độ dài cạnh của hình vuông đó nhỉ?"
Để giải đáp trọn vẹn thắc mắc của bạn Vuông và bạn Tròn, chúng ta cùng thực hiện các hoạt động khám phá cắt ghép hình học dưới đây!
Số vô tỉ
- HĐ1: Cắt một hình vuông có cạnh bằng $2\text{ dm}$, rồi cắt nó thành bốn tam giác vuông bằng nhau dọc theo hai đường chéo của hình vuông (Hình 2.2a).
- HĐ2: Lấy hai trong bốn tam giác nhận được ở trên ghép thành một hình vuông (Hình 2.2b). Em hãy tính diện tích hình vuông nhận được.
- HĐ3: Dùng thước có vạch chia để đo độ dài cạnh hình vuông nhận được trong HĐ2. Độ dài cạnh hình vuông này bằng bao nhiêu decimét?
Hình 2.2: Cắt và ghép tam giác vuông tạo hình vuông diện tích $2\text{ dm}^2$
Xem lời giải chi tiết HĐ1, HĐ2, HĐ3
Lời giải HĐ2: Diện tích của hình vuông ban đầu (cạnh $2\text{ dm}$) là $2 \cdot 2 = 4\text{ dm}^2$. Bốn tam giác vuông bằng nhau nên mỗi tam giác có diện tích là:
$$4 : 4 = 1\text{ dm}^2$$Hình vuông mới được ghép từ hai tam giác vuông, do đó diện tích hình vuông nhận được là:
$$1 + 1 = 2\text{ dm}^2$$Lời giải HĐ3: Đặt thước đo cạnh hình vuông mới, ta thấy độ dài cạnh lớn hơn $1{,}4\text{ dm}$ một chút (khoảng $1{,}41\text{ dm}$).
Hình vuông trong Hình 2.2b có diện tích bằng $2\text{ dm}^2$. Nếu gọi độ dài cạnh hình vuông đó là $x\text{ (dm)}\, (x > 0)$ thì $x^2 = 2$.
Người ta đã chứng minh được rằng không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng $2$ và tính được những chữ số thập phân đầu tiên của $x$ là:
Đây không phải là số thập phân hữu hạn, cũng không phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đây là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ta gọi những số như thế là số vô tỉ.
Khung quy tắc:
- Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
- Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là $\mathbb{I}$.
- Người ta tính được tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng $3{,}14159265358\dots$ đây là một số vô tỉ (kí hiệu là $\pi$, đọc là "pi").
- Số $-0{,}10100100\dots$ (sau dấu phẩy viết liên tiếp các số $10; 100; 1\,000;\dots$) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên cũng là một số vô tỉ.
Người xưa đã tính đường kính thân cây theo quy tắc "quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị", tức là lấy chu vi thân cây chia làm $8$ phần bằng nhau (quân bát); bớt đi $3$ phần (phát tam) còn lại $5$ phần (tồn ngũ) rồi chia đôi kết quả (quân nhị). Hãy cho biết người xưa đã ước lượng số $\pi$ bằng bao nhiêu.
Xem lời giải chi tiết Vận dụng 1
Gọi chu vi thân cây là $C$ và đường kính thân cây là $d$.
Theo quy tắc cổ:
- "Quân bát": Chia chu vi làm 8 phần: $\frac{C}{8}$.
- "Phát tam, tồn ngũ": Bớt 3 phần, còn lại 5 phần: $\frac{5}{8}C$.
- "Quân nhị": Chia đôi phần còn lại để được đường kính: $$d = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5}{8}C\right) = \frac{5}{16}C$$
Từ đó suy ra hệ thức biểu diễn chu vi theo đường kính:
$$C = \frac{16}{5}d = 3{,}2 \cdot d$$Mặt khác, theo công thức hình học chuẩn ta có $C = \pi \cdot d$.
Do đó, người xưa đã ước lượng số $\pi$ bằng $3{,}2$ (hoặc phân số $\frac{16}{5}$).
Căn bậc hai số học
Bài toán tính độ dài $x$ của cạnh hình vuông có diện tích $a$ dẫn đến việc tìm số $x > 0$ sao cho $x^2 = a$. Số $x > 0$ thoả mãn điều kiện đó gọi là căn bậc hai số học của $a$.
Căn bậc hai số học của một số $a$ không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$, là số $x$ không âm sao cho $x^2 = a$.
Như vậy, cạnh hình vuông trong Hình 2.2b có độ dài bằng $\sqrt{2}\text{ dm}$.
Tính:
Giải:
a) Vì $10^2 = 100$ và $10 > 0$ nên $\sqrt{100} = 10$.
b) Vì $191 > 0$ nên $\sqrt{191^2} = 191$.
c) Tương tự, vì $21{,}5 > 0$ nên $\sqrt{21{,}5^2} = 21{,}5$.
Tính: a) $\sqrt{16}$; b) $\sqrt{81}$; c) $\sqrt{2\,021^2}$.
Xem lời giải chi tiết Luyện tập 1
a) Vì $4^2 = 16$ và $4 > 0$ nên $\sqrt{16} = 4$.
b) Vì $9^2 = 81$ và $9 > 0$ nên $\sqrt{81} = 9$.
c) Vì $2\,021 > 0$ nên $\sqrt{2\,021^2} = 2\,021$.
Sàn thi đấu bộ môn cử tạ có dạng một hình vuông, diện tích $144\text{ m}^2$. Em hãy tính chu vi của sàn thi đấu đó.
Xem lời giải chi tiết Vận dụng 2
Độ dài cạnh của sàn thi đấu hình vuông là:
$$\sqrt{144} = 12\text{ (m)}$$Chu vi của sàn thi đấu cử tạ là:
$$12 \cdot 4 = 48\text{ (m)}$$Vậy chu vi của sàn thi đấu là $48\text{ m}$.
Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay
Ta có thể sử dụng các loại máy tính cầm tay thích hợp (như Casio fx-580VN X) để tính căn bậc hai số học của một số không âm:
| Phép tính cần tính | Thứ tự ấn các phím trên Casio | Kết quả hiển thị trên màn hình |
|---|---|---|
| $\sqrt{2}$ | √ 2 = | $1{,}414213562$ |
| $\sqrt{1\,024}$ | √ 1 0 2 4 = | $32$ |
Chú ý: Màn hình máy tính cầm tay chỉ hiển thị được một số hữu hạn chữ số nên các kết quả là số thập phân vô hạn (tuần hoàn hay không tuần hoàn) đều được làm tròn, chẳng hạn: $$\sqrt{2} \approx 1{,}414213562$$ (kết quả bên trên được làm tròn đến chữ số thập phân thứ chín).
Đặc biệt: Căn bậc hai số học của một số tự nhiên không chính phương luôn là một số vô tỉ!
Sử dụng loại máy tính cầm tay thích hợp, tính $\sqrt{91}$ rồi làm tròn kết quả:
a) Đến chữ số thập phân thứ tư; b) Với độ chính xác $0{,}05$.
Giải:
Ấn các phím $[\sqrt{\phantom{x}}] [9] [1] [=]$, ta được kết quả hiển thị trên màn hình là: $9{,}539392014\dots$
a) Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư (chữ số thứ năm là $9 \ge 5$): $$\sqrt{91} \approx 9{,}5394$$
b) Để kết quả có độ chính xác là $0{,}05$, ta làm tròn số đến hàng phần mười. Chữ số hàng phần trăm là $3 < 5$, nên: $$\sqrt{91} \approx 9{,}5$$
Sử dụng máy tính cầm tay, tính các căn bậc hai số học sau (làm tròn kết quả với độ chính xác $0{,}005$, nếu cần):
Xem lời giải chi tiết Luyện tập 2
(Độ chính xác $0{,}005$ tương ứng với làm tròn đến hàng phần trăm)
- a) Bấm máy tính: $\sqrt{15} = 3{,}87298\dots$ Làm tròn đến hàng phần trăm được $3{,}87$.
- b) Bấm máy tính: $\sqrt{2{,}56} =$ đúng $1{,}6$.
- c) Bấm máy tính: $\sqrt{17\,256} = 131{,}36209\dots$ Làm tròn đến hàng phần trăm được $131{,}36$.
- d) Bấm máy tính: $\sqrt{793\,881} =$ đúng $891$.
Kim tự tháp Kheops là công trình kiến trúc nổi tiếng thế giới. Để xây dựng được công trình này, người ta phải sử dụng tới hơn $2{,}5\text{ triệu mét khối}$ đá. Biết rằng đáy của kim tự tháp Kheops có dạng một hình vuông với diện tích đáy lên tới $52\,198{,}16\text{ m}^2$ (Theo khoahoc.tv).
Tính độ dài cạnh đáy của kim tự tháp này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Kim tự tháp Kheops, Ai Cập
Xem lời giải chi tiết Vận dụng 3
Độ dài cạnh đáy của kim tự tháp Kheops là căn bậc hai số học của diện tích đáy:
$$\sqrt{52\,198{,}16}\text{ (m)}$$Sử dụng máy tính cầm tay, ta được:
$$\sqrt{52\,198{,}16} = 228{,}4691008\dots$$Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất (chữ số thứ hai là $6 \ge 5$):
$$228{,}4691008\dots \approx 228{,}5\text{ (m)}$$Vậy độ dài cạnh đáy của kim tự tháp Kheops xấp xỉ bằng $228{,}5\text{ m}$.
Bài tập SGK trang 32
Cho biết $153^2 = 23\,409$. Hãy tính $\sqrt{23\,409}$.
Xem lời giải chi tiết Bài 2.6
Vì $153 > 0$ và $153^2 = 23\,409$, nên theo đúng định nghĩa căn bậc hai số học ta có:
$$\sqrt{23\,409} = 153$$Từ các số là bình phương của $12$ số tự nhiên đầu tiên ($1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$), em hãy tìm căn bậc hai số học của các số sau:
Xem lời giải chi tiết Bài 2.7
a) Vì $3^2 = 9$ và $3 > 0$ nên $\sqrt{9} = 3$.
b) Vì $4^2 = 16$ và $4 > 0$ nên $\sqrt{16} = 4$.
c) Vì $9^2 = 81$ và $9 > 0$ nên $\sqrt{81} = 9$.
d) Vì $11^2 = 121$ và $11 > 0$ nên $\sqrt{121} = 11$.
Khi tìm căn bậc hai số học của một số tự nhiên ta thường phân tích số đó ra thừa số nguyên tố. Chẳng hạn:
Vì $324 = 2^2 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3^2)^2 = 18^2$ nên $\sqrt{324} = 18$.
Tính căn bậc hai số học của $129\,600$.
Xem lời giải chi tiết Bài 2.8
Phân tích số $129\,600$ ra thừa số nguyên tố:
$$129\,600 = 1\,296 \cdot 100 = (36^2) \cdot (10^2) = (2^4 \cdot 3^4) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2$$Biểu diễn dưới dạng bình phương của một số tự nhiên:
$$129\,600 = (2^3 \cdot 3^2 \cdot 5)^2 = (8 \cdot 9 \cdot 5)^2 = 360^2$$Vì $360 > 0$ và $360^2 = 129\,600$ nên: $$\sqrt{129\,600} = 360$$
Tính độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng:
Xem lời giải chi tiết Bài 2.9
a) Độ dài cạnh hình vuông có diện tích $81\text{ dm}^2$ là: $\sqrt{81} = \mathbf{9\text{ dm}}$.
b) Độ dài cạnh hình vuông có diện tích $3\,600\text{ m}^2$ là: $\sqrt{3\,600} = \mathbf{60\text{ m}}$.
c) Đổi $1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$. Độ dài cạnh hình vuông có diện tích $1\text{ ha}$ là: $\sqrt{10\,000} = \mathbf{100\text{ m}}$.
Sử dụng máy tính cầm tay tìm căn bậc hai số học của các số sau rồi làm tròn các kết quả với độ chính xác $0{,}005$:
a) $3$; b) $41$; c) $2\,021$.
Xem lời giải chi tiết Bài 2.10
(Độ chính xác $0{,}005$ tương ứng với làm tròn số đến hàng phần trăm)
- a) Bấm máy tính: $\sqrt{3} = 1{,}73205\dots$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.
- b) Bấm máy tính: $\sqrt{41} = 6{,}40312\dots$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $\sqrt{41} \approx 6{,}40$.
- c) Bấm máy tính: $\sqrt{2\,021} = 44{,}95553\dots$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $\sqrt{2\,021} \approx 44{,}96$.
Biết rằng bình phương độ dài đường chéo của một hình chữ nhật bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh của nó. Một hình chữ nhật có chiều dài là $8\text{ dm}$ và chiều rộng là $5\text{ dm}$.
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu decimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Hình 2.3: Mô phỏng hình chữ nhật $8\text{ dm} \times 5\text{ dm}$
Xem lời giải chi tiết Bài 2.11
Gọi độ dài đường chéo của hình chữ nhật là $d\text{ (dm)}\, (d > 0)$.
Theo đề bài ta có:
$$d^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$$Do đó, độ dài đường chéo là căn bậc hai số học của $89$:
$$d = \sqrt{89}\text{ (dm)}$$Sử dụng máy tính cầm tay, ta được:
$$\sqrt{89} = 9{,}43398\dots$$Làm tròn đến hàng phần mười (chữ số hàng phần trăm là $3 < 5$):
$$d \approx 9{,}4\text{ (dm)}$$Vậy độ dài đường chéo của hình chữ nhật xấp xỉ bằng $9{,}4\text{ dm}$.
Để lát một mảnh sân hình vuông có diện tích $100\text{ m}^2$, người ta cần dùng bao nhiêu viên gạch hình vuông có cạnh dài $50\text{ cm}$ (coi các mạch ghép là không đáng kể)?
Xem lời giải chi tiết Bài 2.12
• Đổi đơn vị cạnh viên gạch: $50\text{ cm} = 0{,}5\text{ m}$.
• Diện tích của một viên gạch hình vuông là:
$$S_{\text{gạch}} = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\text{ (m}^2)$$• Số viên gạch cần dùng để lát kín mảnh sân là:
$$100 : 0{,}25 = 400\text{ (viên gạch)}$$Vậy người ta cần dùng $400$ viên gạch để lát kín mảnh sân.
Theo định nghĩa chuẩn SGK, số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu bằng chữ cái in hoa $\mathbb{I}$ (viết tắt từ Irrational numbers).
Căn bậc hai số học của số $a$ không âm là số $x$ không âm ($x \ge 0$) sao cho $x^2 = a$.
Vì $9 > 0$ và $9^2 = 81$ nên căn bậc hai số học của $81$ là $\sqrt{81} = 9$.
$\sqrt{2} = 1{,}41421356\dots$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ. Các số còn lại là số hữu tỉ.
Vì $21{,}5 > 0$ nên $\sqrt{21{,}5^2} = 21{,}5$.
Độ dài cạnh hình vuông là căn bậc hai số học của diện tích: $a = \sqrt{3\,600} = 60\text{ m}$.
Vì $153 > 0$ và $153^2 = 23\,409$ nên $\sqrt{23\,409} = 153$.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 8 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!