SGK Toán 6 Tập 1 - Kết nối tri thức Chương III: Ước chung, Bội chung và Số nguyên Trang 49 – 53

Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Khám phá khái niệm bội chung và bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số tự nhiên; làm chủ quy tắc 3 bước tìm BCNN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố, cách tìm tập hợp bội chung từ BCNN và ứng dụng quy đồng mẫu các phân số để thực hiện phép cộng, trừ phân số.

Khái niệm, thuật ngữ

Bội chung — Kí hiệu: $\text{BC}(a, b)$.
Bội chung nhỏ nhất — Kí hiệu: $\text{BCNN}(a, b)$.

Kiến thức, kĩ năng

Tìm bội chung, bội chung nhỏ nhất của hai hoặc ba số tự nhiên.
Sử dụng bội chung nhỏ nhất để quy đồng mẫu các phân số và cộng, trừ phân số.

Bài toán mở đầu: Bạn Mai mua đĩa giấy và cốc giấy chuẩn bị tiệc sinh nhật

SGK Toán 6 - Trang 49

"Mai cần mua đĩa giấy, cốc giấy để chuẩn bị cho một bữa tiệc sinh nhật. Đĩa và cốc được đóng thành từng gói với số lượng mỗi loại khác nhau: gói $4$ cái đĩa và gói $6$ cái cốc. Cửa hàng chỉ bán từng gói mà không bán lẻ.
Mai muốn mua số đĩa và số cốc bằng nhau thì phải mua ít nhất bao nhiêu gói mỗi loại?"

Phân tích bài toán: Để mua cùng số lượng $n$ cái mỗi loại ($n \ne 0$) thì $n$ phải vừa chia hết cho $4$, vừa chia hết cho $6$, tức là $n \in \text{BC}(4, 6)$. Để mua ít nhất thì $n = \text{BCNN}(4, 6) = 12$ cái mỗi loại $\implies$ mua $12 : 4 = 3$ gói đĩa và $12 : 6 = 2$ gói cốc!

Minh hoạ số gói đĩa và gói cốc ít nhất cần mua

Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a) Khám phá Hoạt động 1, 2, 3 (SGK trang 49)

HĐ1 Tìm các tập hợp $\text{B}(6)$ và $\text{B}(9)$:

$\text{B}(6) = \{\mathbf{0}; \ 6; \ 12; \ \mathbf{18}; \ 24; \ 30; \ \mathbf{36}; \ 42; \ \dots\}$

$\text{B}(9) = \{\mathbf{0}; \ 9; \ \mathbf{18}; \ 27; \ \mathbf{36}; \ 45; \ 54; \ \dots\}$

HĐ2 Gọi $\text{BC}(6, 9)$ là tập hợp các số vừa là bội của $6$, vừa là bội của $9$:

$\text{BC}(6, 9) = \{0; \ 18; \ 36; \ 54; \ \dots\}$

HĐ3 Số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp $\text{BC}(6, 9)$: Số $18$ (ta gọi $18$ là bội chung nhỏ nhất của $6$ và $9$, kí hiệu $\text{BCNN}(6, 9) = 18$).

Biểu đồ Venn tập hợp BC(6, 9)

Định nghĩa & Kí hiệu (SGK trang 49):

BỘI CHUNG — Kí hiệu: $\text{BC}(a, b)$

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

• $x \in \text{BC}(a, b) \iff x \ \vdots \ a$ và $x \ \vdots \ b$.
• $x \in \text{BC}(a, b, c) \iff x \ \vdots \ a, \ x \ \vdots \ b$ và $x \ \vdots \ c$.

BỘI CHUNG NHỎ NHẤT — Kí hiệu: $\text{BCNN}(a, b)$

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung của các số đó.

• Phân biệt: $\text{BC}(a, b)$ là một tập hợp (chứa $0$); còn $\text{BCNN}(a, b)$ là một số tự nhiên khác $0$!
• Chú ý: Ta chỉ xét bội chung của các số khác $0$.

Ví dụ 1 Tìm $\text{BC}(4, 6)$ và $\text{BCNN}(4, 6)$ (SGK trang 49)

• $\text{B}(4) = \{\mathbf{0}; \ 4; \ 8; \ \mathbf{12}; \ 16; \ 20; \ \mathbf{24}; \ 28; \ \dots\}$

• $\text{B}(6) = \{\mathbf{0}; \ 6; \ \mathbf{12}; \ 18; \ \mathbf{24}; \ 30; \ \dots\}$

⇒ $\text{BC}(4, 6) = \{0; \ 12; \ 24; \ \dots\}$ và $\text{BCNN}(4, 6) = 12$.

Ví dụ 2 Lời giải Bài toán mở đầu (SGK trang 50)

Để mua cùng số lượng $n$ cái mỗi loại thì $n \in \text{BC}(4, 6)$. Để mua ít nhất thì $n = \text{BCNN}(4, 6) = 12$.
Vậy bạn Mai phải mua ít nhất $12$ cái mỗi loại, tức là mua $12 : 4 = 3$ gói đĩa và $12 : 6 = 2$ gói cốc.

Tìm BCNN trong trường hợp đặc biệt: $\text{BCNN}(7, 21)$ bằng bao nhiêu? (SGK trang 50)

Bạn Tròn liệt kê bội:

"$\text{B}(7) = \{0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; \dots\}$;
$\text{B}(21) = \{0; 21; 42; 63; \dots\}$.
Nên $\text{BC}(7, 21) = \{0; 21; 42; \dots\}$, do đó $\text{BCNN}(7, 21) = 21$."

Bạn Vuông nhận xét nhanh:

"Em có cách khác ngắn hơn! Vì $21 \ \vdots \ 7$ nên $\text{BCNN}(7, 21) = 21$ ngay!"

✓ Anh Pi khen: Tròn và Vuông đều làm rất tốt!

Nhận xét quan trọng (SGK trang 50):

• Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì $\text{BCNN}$ của các số đã cho chính là số lớn nhất đó: Nếu $a \ \vdots \ b$ thì $\text{BCNN}(a, b) = a$. (Câu hỏi ?: Vì $36 \ \vdots \ 9$ nên $\text{BCNN}(36, 9) = 36$).

• Mọi số tự nhiên đều là bội của $1$. Do đó với mọi số tự nhiên $a$ và $b$ (khác $0$), ta có: $\text{BCNN}(a, 1) = a$ và $\text{BCNN}(a, b, 1) = \text{BCNN}(a, b)$.

Luyện tập 1 Tìm BCNN (SGK trang 50)

a) Tìm $\text{BCNN}(6, 8)$:
Ta có $\text{B}(6) = \{0; 6; 12; 18; \mathbf{24}; 30; \dots\}$ và $\text{B}(8) = \{0; 8; 16; \mathbf{24}; 32; \dots\} \implies \mathbf{\text{BCNN}(6, 8) = 24}$.

b) Tìm $\text{BCNN}(8, 9, 72)$:
Vì $72 \ \vdots \ 8$ và $72 \ \vdots \ 9$ (số lớn nhất $72$ là bội của cả $8$ và $9$) nên $\mathbf{\text{BCNN}(8, 9, 72) = 72}$.

Vận dụng Lịch bảo dưỡng định kì hai máy A và B (SGK trang 50)

Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là $6$ tháng và đối với máy B là $9$ tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng $5$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng?

• Số tháng ít nhất để hai máy lại cùng được bảo dưỡng là $\text{BCNN}(6, 9)$.

⇒ Vì $\text{BCNN}(6, 9) = 18$ nên sau ít nhất $18$ tháng nữa (vào tháng $11$ năm sau) hai máy lại cùng được bảo dưỡng!

Cách tìm bội chung nhỏ nhất và tìm bội chung từ BCNN

a) Tìm BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố (SGK trang 50 – 51)

Quy tắc 3 bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1: Phân tích

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn TS chung & riêng

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích mũ lớn nhất

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là $\text{BCNN}$ cần tìm.

Minh hoạ: Tìm $\text{BCNN}(75, 90)$

$75 = 3 \cdot 5^2; \ 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

TS chung: $3, 5$; TS riêng: $2$

$\text{BCNN}(75, 90) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$

Câu hỏi (?): Tìm $\text{BCNN}(9, 15)$

Biết $9 = 3^2$ và $15 = 3 \cdot 5$

TS chung: $3$; TS riêng: $5$

$\text{BCNN}(9, 15) = 3^2 \cdot 5 = 45$

Ví dụ 3: Tìm $\text{BCNN}(18, 24, 40)$

$18 = 2 \cdot 3^2; \ 24 = 2^3 \cdot 3; \ 40 = 2^3 \cdot 5$

TS chung: $2$; TS riêng: $3, 5$

$\text{BCNN}(18, 24, 40) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$

b) Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất (SGK trang 51 – 52)

Quy tắc tìm BC thông qua BCNN:

Vì mọi bội chung của các số đã cho đều là bội của $\text{BCNN}$ của các số đó, nên để tìm bội chung của các số đã cho, ta thực hiện:

Bước 1: Tìm $\text{BCNN}$ của các số Bước 2: Tìm các bội của $\text{BCNN}$ đó: $\text{BC}(a, b) = \text{B}(\text{BCNN}(a, b))$

Câu hỏi (?), Ví dụ 4 & Luyện tập 2 (SGK trang 51 – 52)

• Câu hỏi (?): Biết $\text{BCNN}(8, 6) = 24$, suy ra $\text{BC}(8, 6) = \text{B}(24) = \{0; 24; 48; 72; 96; 120; \dots\}$. Các bội chung nhỏ hơn $100$ của $8$ và $6$ là: $0; \ 24; \ 48; \ 72; \ 96$.

• Ví dụ 4: Có $\text{BCNN}(18, 24, 40) = 360 \implies \text{BC}(18, 24, 40) = \{0; 360; 720; 1\,080; \dots\}$. Vậy bội chung nhỏ hơn $900$ của $18, 24, 40$ là: $0; \ 360; \ 720$.

• Luyện tập 2: Tìm $\text{BCNN}(15, 54)$ và các bội chung nhỏ hơn $1\,000$:
Ta có $15 = 3 \cdot 5; \ 54 = 2 \cdot 3^3 \implies \text{BCNN}(15, 54) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = \mathbf{270}$.
Các bội chung nhỏ hơn $1\,000$ của $15$ và $54$ là: $0; \ 270; \ 540; \ 810$.

Thử thách nhỏ: Bến xe Mỹ Đình (SGK trang 52)

Tần suất xuất bến: Xe 16 ($15$ phút/chuyến), Xe 34 ($9$ phút/chuyến), Xe 30 ($10$ phút/chuyến). Ba xe cùng xuất bến lúc $10$ giờ $35$ phút. Tìm các thời điểm tiếp theo trong ngày (đến $22$ giờ) ba xe lại xuất bến cùng lúc.

• Thời gian giữa hai lần liên tiếp ba xe cùng xuất bến là $\text{BCNN}(15, 9, 10)$.

• Ta có $15 = 3 \cdot 5; \ 9 = 3^2; \ 10 = 2 \cdot 5 \implies \text{BCNN}(15, 9, 10) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = \mathbf{90}$ (phút) $= 1$ giờ $30$ phút.

• Vậy cứ sau mỗi $1$ giờ $30$ phút, ba xe lại xuất bến cùng lúc. Các thời điểm tiếp theo từ $10$ giờ $35$ phút đến $22$ giờ là:
12 giờ 05 phút; 13 giờ 35 phút; 15 giờ 05 phút; 16 giờ 35 phút; 18 giờ 05 phút; 19 giờ 35 phút; 21 giờ 05 phút.

Quy đồng mẫu các phân số và cộng, trừ phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của các phân số (SGK trang 52)

Để quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số, ta phải tìm mẫu chung của các phân số đó. Thông thường, ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất ($\text{BCNN}$) của các mẫu:

Bước 1: Tìm mẫu chung
Chọn mẫu chung $\text{MC} = \text{BCNN}$ của các mẫu.

Bước 2: Tìm thừa số phụ
Chia mẫu chung cho từng mẫu để tìm thừa số phụ tương ứng.

Bước 3: Nhân tử và mẫu
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 5 & ? Quy đồng mẫu các phân số (SGK trang 52)

• Câu hỏi (?): Quy đồng $\dfrac{7}{9}$ và $\dfrac{4}{15}$:
Ta có $\text{BCNN}(9, 15) = 45$. Khi đó:
$$\dfrac{7}{9} = \dfrac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \dfrac{35}{45}; \quad \dfrac{4}{15} = \dfrac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \dfrac{12}{45}$$

• Ví dụ 5: Quy đồng $\dfrac{3}{8}; \ \dfrac{5}{9}$ và $\dfrac{1}{6}$:
Ta có $6 = 2 \cdot 3; \ 8 = 2^3; \ 9 = 3^2 \implies \text{BCNN}(6, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 = 72$.
$$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \dfrac{27}{72}; \quad \dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \dfrac{40}{72}; \quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \cdot 12}{6 \cdot 12} = \dfrac{12}{72}$$

Ví dụ 6 Cộng, trừ phân số khác mẫu (SGK trang 52 – 53)

• a) Tính $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$: Có $\text{BCNN}(4, 6) = 12$ nên:
$$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \dfrac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$$

• b) Tính $\dfrac{11}{12} - \dfrac{3}{8}$: Có $\text{BCNN}(8, 12) = 24$ nên:
$$\dfrac{11}{12} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} - \dfrac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{22}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{13}{24}$$

Luyện tập 3 Quy đồng mẫu và thực hiện phép tính (SGK trang 53)

1. Quy đồng mẫu các phân số:

• a) $\dfrac{5}{12}$ và $\dfrac{7}{15}$: $\text{BCNN}(12, 15) = 60$.
$\dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \dfrac{25}{60}$ và $\dfrac{7}{15} = \dfrac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \dfrac{28}{60}$.

• b) $\dfrac{2}{7}, \ \dfrac{4}{9}$ và $\dfrac{7}{12}$: $\text{BCNN}(7, 9, 12) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 252$.
$\dfrac{2}{7} = \dfrac{72}{252}; \quad \dfrac{4}{9} = \dfrac{112}{252}; \quad \dfrac{7}{12} = \dfrac{147}{252}$.

2. Thực hiện các phép tính:

• a) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{24}$: $\text{BCNN}(8, 24) = 24$.
$$\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{24} = \dfrac{9}{24} + \dfrac{5}{24} = \dfrac{14}{24} = \dfrac{7}{12}$$

• b) $\dfrac{7}{16} - \dfrac{5}{12}$: $\text{BCNN}(16, 12) = 48$.
$$\dfrac{7}{16} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{21}{48} - \dfrac{20}{48} = \dfrac{1}{48}$$

Hướng dẫn giải Bài tập SGK (Bài 2.36 – 2.44 trang 53)

Bài 2.36 (SGK trang 53): Tìm bội chung nhỏ hơn 200

• a) $5$ và $7$: $\text{BCNN}(5, 7) = 35 \implies$ Các bội chung nhỏ hơn $200$ là: $0; \ 35; \ 70; \ 105; \ 140; \ 175$.

• b) $3, 4$ và $10$: $\text{BCNN}(3, 4, 10) = 60 \implies$ Các bội chung nhỏ hơn $200$ là: $0; \ 60; \ 120; \ 180$.

Bài 2.37 & Bài 2.38 (SGK trang 53): Tìm BCNN

• 2.37a: $\text{BCNN}(2 \cdot 3^3, \ 3 \cdot 5) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = \mathbf{270}$.

• 2.37b: $\text{BCNN}(2 \cdot 5 \cdot 7^2, \ 3 \cdot 5^2 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^2 = \mathbf{7\,350}$.

• 2.38a: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5; \ 45 = 3^2 \cdot 5 \implies \text{BCNN}(30, 45) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = \mathbf{90}$.

• 2.38b: $18 = 2 \cdot 3^2; \ 27 = 3^3; \ 45 = 3^2 \cdot 5 \implies \text{BCNN}(18, 27, 45) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = \mathbf{270}$.

Bài 2.39 & Bài 2.40 (SGK trang 53)

• Bài 2.39: Số tự nhiên $a$ nhỏ nhất khác $0$ sao cho $a \ \vdots \ 28$ và $a \ \vdots \ 32$ là $a = \text{BCNN}(28, 32) = 2^5 \cdot 7 = \mathbf{224}$.

• Bài 2.40: Gọi số học sinh lớp 6A là $x$ ($30 \le x \le 40$). Vì xếp $3, 4, 9$ hàng đều vừa đủ nên $x \in \text{BC}(3, 4, 9)$. Có $\text{BCNN}(3, 4, 9) = 36 \implies x = \mathbf{36}$ học sinh.

Bài 2.41 & Bài 2.42 (SGK trang 53)

• Bài 2.41: Gọi số cây mỗi đội đã trồng là $x$ ($100 \le x \le 200$). Vì $x \ \vdots \ 8$ và $x \ \vdots \ 11$ nên $x \in \text{BC}(8, 11) = \text{B}(88) = \{0; 88; 176; 264; \dots\} \implies x = \mathbf{176}$ cây.

• Bài 2.42: Cứ $2$ ngày đi dạo, $7$ ngày tắm cho cún $\implies$ Sau ít nhất $\text{BCNN}(2, 7) = \mathbf{14}$ ngày nữa cún lại vừa được đi dạo, vừa được tắm.

Bài 2.43 (SGK trang 53): Quy đồng mẫu các phân số

• a) $\dfrac{9}{12}$ và $\dfrac{7}{15}$: $\text{BCNN}(12, 15) = 60 \implies \dfrac{9}{12} = \dfrac{45}{60}$ và $\dfrac{7}{15} = \dfrac{28}{60}$.

• b) $\dfrac{7}{10}, \ \dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{9}{14}$: $\text{BCNN}(10, 4, 14) = 140 \implies \dfrac{7}{10} = \dfrac{98}{140}; \ \dfrac{3}{4} = \dfrac{105}{140}; \ \dfrac{9}{14} = \dfrac{90}{140}$.

Bài 2.44 (SGK trang 53): Thực hiện phép tính

• a) $\dfrac{7}{11} + \dfrac{5}{7} = \dfrac{49}{77} + \dfrac{55}{77} = \mathbf{\dfrac{104}{77}}$.

• b) $\dfrac{7}{20} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{21}{60} - \dfrac{8}{60} = \mathbf{\dfrac{13}{60}}$ (với $\text{BCNN}(20, 15) = 60$).

Em có biết? Lịch Can Chi và chu kì 60 năm (SGK trang 53)

Nhiều nước phương Đông trong đó có Việt Nam gọi tên năm âm lịch bằng cách ghép $10$ Can theo thứ tự (Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỉ, Canh, Tân, Nhâm, Quý) với $12$ Chi (Tí, Sửu, Dần, Mão, Thìn, Tị, Ngọ, Mùi, Thân, Dậu, Tuất, Hợi). Đầu tiên Giáp được ghép với Tí thành năm Giáp Tí.

Can (10)	Giáp	Ất	Bính	Đinh	Mậu	Kỉ	Canh	Tân	Nhâm	Quý	Giáp	Ất	...
Chi (12)	Tí	Sửu	Dần	Mão	Thìn	Tị	Ngọ	Mùi	Thân	Dậu	Tuất	Hợi	...

Cứ $10$ năm Giáp lại được lặp lại; cứ $12$ năm Tí lại được lặp lại. Như vậy, cứ sau $\text{BCNN}(10, 12) = 60$ năm, năm Giáp Tí lại được lặp lại! Tên của tất cả các năm âm lịch khác cũng đều lặp lại đúng sau chu kì $60$ năm.

Tìm tất cả các bội chung nhỏ hơn $200$ của hai số $5$ và $7$:

Lời giải chi tiết:

Vì $5$ và $7$ là hai số nguyên tố khác nhau nên $\text{BCNN}(5, 7) = 5 \cdot 7 = 35$.
Suy ra $\text{BC}(5, 7) = \text{B}(35) = \{0; \ 35; \ 70; \ 105; \ 140; \ 175; \ 210; \ \dots\}$.
Vậy các bội chung nhỏ hơn $200$ của $5$ và $7$ là: **$0; \ 35; \ 70; \ 105; \ 140; \ 175$**.