Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

• Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\), trong đó \(x < y\). Số dư trong phép chia \(y\) cho \(x\) là \(124\) nên \(x > 124\). Vậy điều kiện của hai ẩn là \(x, y \in \mathbb{N}\) và \(124 < x < y\).

• Tổng hai số bằng \(1\,006\) nên ta có phương trình: \(x + y = 1\,006 \quad (1)\).

• Khi chia \(y\) cho \(x\) ta được thương là \(2\), dư \(124\) nên ta có phương trình: \(y = 2x + 124 \quad (2)\).

• Do đó, ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} x + y = 1\,006 \quad (1) \\ y = 2x + 124 \quad (2) \end{cases}\)

• Giải hệ: Từ (2) thế \(y = 2x + 124\) vào (1), ta được:

Từ đó ta được: \(y = 2 \cdot 294 + 124 = 712\).

• Các giá trị \(x = 294\) và \(y = 712\) thoả mãn điều kiện của ẩn.

⇒ Vậy hai số cần tìm là \(294\) và \(712\).

• Đổi đơn vị thời gian: \(1\text{ giờ } 40\text{ phút} = 1 + \frac{40}{60} = \frac{5}{3}\text{ giờ}\); \(40\text{ phút} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\text{ giờ}\).

• Gọi \(x\text{ (km/h)}\) là vận tốc của xe tải và \(y\text{ (km/h)}\) là vận tốc của xe khách (\(x, y > 0\)).

• Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải \(15\text{ km}\) nên ta có phương trình: \(y - x = 15 \iff y = x + 15 \quad (1)\).

• Thời gian xe khách đi từ lúc xuất phát cho đến lúc gặp nhau là: \(\frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\text{ (giờ)}\).
Quãng đường xe khách đã đi được là: \(\frac{7}{3}y\text{ (km)}\).

• Thời gian xe tải đi cho đến khi gặp nhau là: \(\frac{2}{3}\text{ (giờ)}\).
Quãng đường xe tải đã đi được là: \(\frac{2}{3}x\text{ (km)}\).

• Tổng quãng đường hai xe đã đi bằng quãng đường TP.HCM – Cần Thơ (\(170\text{ km}\)):

• Thế (1) vào (2), ta được:

Từ đó: \(y = 45 + 15 = 60\) (thoả mãn).

⇒ Vậy vận tốc của xe tải là \(45\text{ km/h}\) và vận tốc của xe khách là \(60\text{ km/h}\).

• Gọi \(x\) là số ngày để đội I hoàn thành công việc nếu làm một mình; \(y\) là số ngày để đội II hoàn thành công việc nếu làm một mình. Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

• Trong một ngày, đội I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc) và đội II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

• Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x} = 1{,}5 \cdot \frac{1}{y}\) hay \(\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\frac{1}{y} \quad (1)\).

• Hai đội làm chung trong \(24\) ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội làm chung được \(\frac{1}{24}\) (công việc). Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \quad (2)\).

• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{3}{2}\frac{1}{y} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \end{cases}\)

• Đặt \(u = \frac{1}{x}\) và \(v = \frac{1}{y}\) (\(u, v > 0\)), hệ trở thành: \(\begin{cases} u = \frac{3}{2}v \quad (3) \\ u + v = \frac{1}{24} \quad (4) \end{cases}\)

• Thế (3) vào (4), ta được: \(\frac{3}{2}v + v = \frac{1}{24} \iff \frac{5}{2}v = \frac{1}{24} \iff v = \frac{1}{60}\).

• Do đó: \(u = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{40}\).

• Từ đó ta có: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{40} \implies x = 40\); \(\frac{1}{y} = \frac{1}{60} \implies y = 60\) (thoả mãn điều kiện).

⇒ Trả lời: Nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong \(40\) ngày, còn đội II làm xong trong \(60\) ngày.

• Đổi đơn vị thời gian sang phút: \(1\text{ giờ } 20\text{ phút} = 80\text{ phút}\).

• Gọi \(x\) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể (phút); \(y\) là thời gian vòi II chảy một mình đầy bể (phút) (\(x, y > 80\)).

• Trong \(1\text{ phút}\), vòi I chảy được \(\frac{1}{x}\) bể; vòi II chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.

• Cả hai vòi cùng chảy trong \(80\text{ phút}\) thì đầy bể: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80} \quad (1)\).

• Vòi I mở trong \(10\text{ phút}\) và vòi II mở trong \(12\text{ phút}\) thì được \(\frac{2}{15}\) bể nước: \(\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \quad (2)\).

• Đặt \(u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}\), ta có hệ: \(\begin{cases} u + v = \frac{1}{80} \\ 10u + 12v = \frac{2}{15} \end{cases}\)

• Nhân phương trình thứ nhất với 10: \(10u + 10v = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}\).

• Lấy phương trình thứ hai trừ đi: \(2v = \frac{2}{15} - \frac{1}{8} = \frac{16 - 15}{120} = \frac{1}{120} \implies v = \frac{1}{240}\).

• Thay vào tìm \(u\): \(u = \frac{1}{80} - \frac{1}{240} = \frac{2}{240} = \frac{1}{120}\).

• Do đó: \(x = 120\text{ (phút)}\) và \(y = 240\text{ (phút)}\) (thoả mãn điều kiện).

⇒ Vậy mở riêng từng vòi thì vòi I chảy đầy bể sau \(120\text{ phút}\) (\(2\text{ giờ}\)), còn vòi II chảy đầy bể sau \(240\text{ phút}\) (\(4\text{ giờ}\)).