Ưu đãi 50% Tặng Sổ tay 9+ Toán Cấp 2!
100%
79 Bài →
Mup
MathUp .vn
Toán 6 Toán 7 Toán 8 Toán 9 9+
Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

4 người đã học
Slide Giáo Viên

Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Định lí Viète biểu diễn tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai; áp dụng nhẩm nghiệm phương trình bậc hai; tìm hai số khi biết tổng và tích; phân tích đa thức thành nhân tử và giải quyết các bài toán thực tiễn.

Toán 9 • Chương VI: Hàm số và Phương trình bậc hai

Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Khám phá mối quan hệ kì diệu giữa các nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai; phương pháp nhẩm nghiệm thần tốc và bài toán thực tế tìm hai số khi biết tổng và tích.

Định lí Viète và ứng dụng

Tình huống mở đầu (SGK trang 21)

Bác An có $40\text{ m}$ hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $96\text{ m}^2$ để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Xem phân tích mở đầu

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x\text{ (m)}$ và $y\text{ (m)}$ ($x > y > 0$).

Chu vi mảnh vườn là $40\text{ m}$ nên nửa chu vi là: $x + y = 40 : 2 = 20\text{ (m)}$.

Diện tích mảnh vườn là $96\text{ m}^2$ nên: $x \cdot y = 96\text{ (m}^2\text{)}$.

Đây chính là bài toán: Tìm hai số khi biết tổng $S = 20$ và tích $P = 96$ của chúng! Định lí Viète sẽ giúp ta giải quyết bài toán này một cách nhanh chóng.

1

Định lí Viète

Khám phá định lí Viète

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$). Giả sử $\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$.

HĐ1: Nhắc lại công thức tính hai nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình trên.

HĐ2: Từ kết quả HĐ1, hãy tính $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$.

Xem lời giải HĐ1 & HĐ2

HĐ1: Hai nghiệm của phương trình là: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

HĐ2: Ta có:

  • $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$.
  • $x_1 x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.
Định lí Viète

Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) thì:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[2mm] x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$$

(Định lí mang tên nhà toán học người Pháp François Viète, 1540 – 1603).

Ví dụ 1 (SGK trang 21)

Không giải phương trình, hãy tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) $2x^2 + 11x + 7 = 0$;
b) $4x^2 - 12x + 9 = 0$.
Xem lời giải Ví dụ 1

a) Phương trình $2x^2 + 11x + 7 = 0$ có $a = 2, b = 11, c = 7$.

Ta có: $\Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 121 - 56 = 65 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{2}$; $x_1 x_2 = \dfrac{7}{2}$.

b) Phương trình $4x^2 - 12x + 9 = 0$ có $a = 4, b' = -6, c = 9$.

Ta có: $\Delta' = (-6)^2 - 4 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau (nghiệm kép) $x_1 = x_2$.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-12}{4} = 3$; $x_1 x_2 = \dfrac{9}{4}$.

Luyện tập 1 (SGK trang 22)

Không giải phương trình, hãy tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) $2x^2 - 7x + 3 = 0$;
b) $25x^2 - 20x + 4 = 0$;
c) $2\sqrt{2}x^2 - 4 = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 1

a) $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 > 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}$. Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \dfrac{3}{2}$.

b) $\Delta' = (-10)^2 - 25 \cdot 4 = 100 - 100 = 0$. Phương trình có nghiệm kép.

Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-20}{25} = \dfrac{4}{5}$. Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \dfrac{4}{25}$.

c) Phương trình khuyết $b$ ($b = 0$). Ta có $\Delta = 0^2 - 4(2\sqrt{2})(-4) = 32\sqrt{2} > 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\dfrac{0}{2\sqrt{2}} = 0$. Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \dfrac{-4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.

Tranh luận (SGK trang 22)

Tròn nói: "Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ đều bằng 1." Ý kiến của em thế nào?

Xem lời giải Tranh luận

Ý kiến của Tròn là sai.

Ta xét biệt thức của phương trình $x^2 - x + 1 = 0$:

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$

Do $\Delta < 0$ nên phương trình vô nghiệm. Vì phương trình không có nghiệm nào nên không tồn tại tổng và tích hai nghiệm!

Chú ý quan trọng: Chỉ áp dụng định lí Viète khi phương trình bậc hai có nghiệm, tức là $\Delta \ge 0$.

2

Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm

Hai trường hợp đặc biệt để nhẩm nghiệm nhanh

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$):

Trường hợp 1: $a + b + c = 0$

Phương trình có một nghiệm là $x_1 = 1$, còn nghiệm kia là:

$$x_2 = \dfrac{c}{a}$$
Trường hợp 2: $a - b + c = 0$

Phương trình có một nghiệm là $x_1 = -1$, còn nghiệm kia là:

$$x_2 = -\dfrac{c}{a}$$

Ví dụ 2 (SGK trang 23)

Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 6x + 5 = 0$;
b) $5x^2 + 14x + 9 = 0$.

Xem lời giải

a) Ta có $a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0$. Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1; x_2 = 5$.

b) Ta có $a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0$. Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1; x_2 = -\dfrac{9}{5}$.

Ví dụ 3 (SGK trang 23)

Giải phương trình $x^2 - 7x + 12 = 0$, biết phương trình có một nghiệm là $x_1 = 3$.

Xem lời giải

Gọi $x_2$ là nghiệm còn lại. Theo định lí Viète:

$$x_1 x_2 = 12 \implies x_2 = \dfrac{12}{x_1} = \dfrac{12}{3} = 4$$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1 = 3, x_2 = 4$.

Luyện tập 2 (SGK trang 23)

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $3x^2 - 11x + 8 = 0$;
b) $4x^2 + 15x + 11 = 0$;
c) $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$ (biết có một nghiệm $x = -\sqrt{2}$).
Xem lời giải Luyện tập 2

a) $a + b + c = 3 + (-11) + 8 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8}{3}$.

b) $a - b + c = 4 - 15 + 11 = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{11}{4}$.

c) Theo định lí Viète: $x_1 x_2 = 2 \implies x_2 = \dfrac{2}{x_1} = \dfrac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$. Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$.

3

Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Định lí về hai số biết tổng $S$ và tích $P$

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

$$x^2 - Sx + P = 0$$

Điều kiện để có hai số đó là: $S^2 - 4P \ge 0$.

Luyện tập 3 (SGK trang 24)

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng $-11$, tích của chúng bằng $28$.

Xem lời giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: $x^2 - (-11)x + 28 = 0 \iff x^2 + 11x + 28 = 0$.

$\Delta = 11^2 - 4 \cdot 28 = 121 - 112 = 9 > 0 \implies \sqrt{\Delta} = 3$.

$x_1 = \dfrac{-11 + 3}{2} = -4; \quad x_2 = \dfrac{-11 - 3}{2} = -7$.

Vậy hai số cần tìm là $-4$ và $-7$.

Vận dụng (Giải tình huống mở đầu)

Mảnh vườn có chu vi $40\text{ m}$ và diện tích $96\text{ m}^2$. Tính kích thước mảnh vườn.

Xem lời giải

Nửa chu vi vườn là $40 : 2 = 20\text{ (m)}$. Tổng là $S = 20$, tích là $P = 96$.

Hai kích thước là nghiệm của: $x^2 - 20x + 96 = 0$.

$\Delta' = (-10)^2 - 96 = 4 > 0 \implies x_1 = 10 + 2 = 12; x_2 = 10 - 2 = 8$.

Vậy chiều dài mảnh vườn là $12\text{ m}$, chiều rộng là $8\text{ m}$.

4

Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử (SGK 6.26)

Định lí khai triển nhân tử:

Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì tam thức bậc hai phân tích được thành:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$
Bài trước Bài tiếp