Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

• Hình a (Hộp quà): Có dạng hình hộp chữ nhật.
• Hình b (Khối Rubik): Có dạng hình lập phương (6 mặt đều là các hình vuông bằng nhau).
• Hình c (Ngôi nhà gỗ): Phần thân nhà có dạng hình hộp chữ nhật, phần mái có dạng hình lăng trụ đứng tam giác.
• Ví dụ thực tế thêm: Bao diêm, viên gạch xây nhà, thùng carton, tủ lạnh (hình hộp chữ nhật); quân xúc xắc, hộp phấn vuông (hình lập phương).

• 8 đỉnh: $A, B, C, D, A', B', C', D'$.
• 12 cạnh:
  • 4 cạnh đáy dưới: $AB, BC, CD, DA$.
  • 4 cạnh đáy trên: $A'B', B'C', C'D', D'A'$.
  • 4 cạnh bên bằng nhau và song song: $AA', BB', CC', DD'$.
• 4 đường chéo: $A'C, B'D, C'A, D'B$. Chúng cùng cắt nhau tại một điểm.
• 6 mặt:
  • 2 mặt đáy: $ABCD$ và $A'B'C'D'$ (hai hình chữ nhật đối diện và bằng nhau).
  • 4 mặt bên: $ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D'$ (các hình chữ nhật).

• 8 đỉnh: $A, B, C, D, M, N, P, Q$.
• 12 cạnh bằng nhau: $AB = BC = CD = DA = MN = NP = PQ = QM = AM = BN = CP = DQ$.
• 4 đường chéo bằng nhau: $MC, NA, PB, QD$.
• 2 mặt đáy: Hình vuông $ABCD$ và hình vuông $MNPQ$.
• 4 mặt bên: Các hình vuông $ABNM, BCPN, CDQP, DAMQ$.

Giải HĐ5:

• Diện tích mặt (1): $S_1 = b \cdot c$
• Diện tích mặt (2): $S_2 = a \cdot c$
• Diện tích mặt (3): $S_3 = b \cdot c$
• Diện tích mặt (4): $S_4 = a \cdot c$

Tổng diện tích 4 mặt bên là: $$S_{xq} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = bc + ac + bc + ac = 2(a + b)c$$

Chu vi đáy là $C = 2(a + b)$. Chiều cao là $h = c$. Do đó tích của chu vi đáy và chiều cao chính bằng diện tích xung quanh: $$S_{xq} = C_{\text{đáy}} \cdot h = 2(a + b)c$$

a) Diện tích xung quanh của chiếc khay dạng hình hộp chữ nhật là:

$$S_{xq} = 2 \cdot (27 + 20) \cdot 10 = 2 \cdot 47 \cdot 10 = 940\text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Vì chiếc khay không có nắp nên diện tích nhựa để làm chiếc khay bằng tổng diện tích các mặt xung quanh cộng với diện tích một mặt đáy:

Diện tích mặt đáy của chiếc khay là: $S_đ = 27 \cdot 20 = 540\text{ (cm}^2\text{)}$.

Diện tích nhựa để làm chiếc khay là:

$$S = S_{xq} + S_đ = 940 + 540 = 1\ 480\text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích xung quanh của bốn mặt ngoài thành bể nước là:

$$S_{xq} = 2 \cdot (3 + 2) \cdot 1{,}5 = 2 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 15\text{ (m}^2\text{)}$$

Chi phí bác Tú phải trả cho thợ sơn là:

$$15 \cdot 20\ 000 = 300\ 000\text{ (đồng)}$$

Đáp số: $300\ 000\text{ đồng}$.

Thể tích hộp sữa hình hộp chữ nhật là:

$$V = 10 \cdot 10 \cdot 15 = 1\ 500\text{ (cm}^3\text{)}$$

(Lưu ý: $1\ 500\text{ cm}^3 = 1{,}5\text{ dm}^3 = 1{,}5\text{ lít}$).

Diện tích xung quanh của hình lập phương cạnh $a$ là:

$$S_{xq} = 4a^2 = 100 \implies a^2 = \frac{100}{4} = 25$$

Vì $a > 0$ nên $a = 5\text{ (cm)}$.

Thể tích của hình lập phương đó là:

$$V = a^3 = 5^3 = 125\text{ (cm}^3\text{)}$$

Đáp số: $125\text{ cm}^3$.

Thể tích lòng trong của chiếc thùng giữ nhiệt là:

$$V = 50 \cdot 30 \cdot 30 = 45\ 000\text{ (cm}^3\text{)}$$

Đổi đơn vị sang lít ($1\text{ lít} = 1\text{ dm}^3 = 1\ 000\text{ cm}^3$):

$$45\ 000\text{ cm}^3 = 45\text{ dm}^3 = 45\text{ (lít)}$$

Đáp số: $45\text{ lít}$.

Ta đếm số hình lập phương nhỏ theo từng tầng (từ trên xuống dưới):

• Tầng 3 (trên cùng): Có $1$ hình lập phương nhỏ.
• Tầng 2 (tầng giữa): Có $1$ hình ở dưới tầng 3 và $3$ hình chìa ra ngoài (trước, trái, phải). Tổng cộng tầng 2 có $1 + 3 = 4$ hình.
• Tầng 1 (tầng đáy): Có $4$ hình ở dưới các khối của tầng 2 và $5$ hình chìa ra phía trước và hai bên. Tổng cộng tầng 1 có $4 + 5 = 9$ hình (hoặc xếp theo bậc thang đối xứng gồm $5 + 3 + 1 = 9$ hình).

Tổng số hình lập phương nhỏ trong Hình 10.11 là: $$1 + 4 + 9 = 14\text{ (hình)}$$

(Nếu mô hình chỉ gồm các khối nhìn thấy được xếp dạng chữ thập 3 nhánh: Tầng 3 có 1, tầng 2 có 3 nhánh + 1 tâm = 4, tầng 1 có 5 nhánh + 4 = 9, tổng là 14 khối).

• 8 đỉnh: $A, B, C, D, E, F, G, H$.
• 12 cạnh:
  • 4 cạnh mặt đáy trên: $AB, BC, CD, DA$.
  • 4 cạnh mặt đáy dưới: $EF, FG, GH, HE$.
  • 4 cạnh bên: $AE, BF, CG, DH$.
• 4 đường chéo: $AG, BH, CE, DF$.
• 6 mặt:
  • 2 mặt đáy: $ABCD, EFGH$.
  • 4 mặt bên: $ABFE, BCGF, CDHG, DAEH$.

Hướng dẫn thực hành:

1. Chọn 3 kích thước: ví dụ chiều dài $a = 6\text{ cm}$, chiều rộng $b = 4\text{ cm}$, chiều cao $c = 3\text{ cm}$.
2. Vẽ dải gồm 4 hình chữ nhật liên tiếp có chiều cao $c = 3\text{ cm}$ và chiều rộng lần lượt là $b, a, b, a$ ($4\text{ cm}, 6\text{ cm}, 4\text{ cm}, 6\text{ cm}$).
3. Vẽ 2 mặt đáy kích thước $6\text{ cm} \times 4\text{ cm}$ gắn vào hai mép trên và dưới của hình chữ nhật có kích thước $a = 6\text{ cm}$.
4. Dùng kéo cắt theo viền ngoài, sau đó miết nhẹ các mép gấp theo đường nét kẻ và dùng băng dính cố định các mép giáp nhau để thu được hình hộp chữ nhật.

Thể tích của lòng thùng hàng dạng hình hộp chữ nhật là:

$$V = a \cdot b \cdot c = 5{,}6 \cdot 2 \cdot 2 = 22{,}4\text{ (m}^3\text{)}$$

Đáp số: $22{,}4\text{ m}^3$.

a) Đổi dung tích: $1\text{ lít} = 1\text{ dm}^3 = 1\ 000\text{ cm}^3$.

Gọi $b\text{ (cm)}$ là chiều rộng của hộp sữa ($b > 0$). Vì thể tích $V = a \cdot b \cdot c$ nên:

$$10 \cdot b \cdot 20 = 1\ 000 \implies 200 \cdot b = 1\ 000 \implies b = \frac{1\ 000}{200} = 5\text{ (cm)}$$

b) Vỏ hộp sữa có đầy đủ 6 mặt (gồm 4 mặt bên và 2 mặt đáy), do đó diện tích vật liệu bằng diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

$$S_{xq} = 2 \cdot (a + b) \cdot c = 2 \cdot (10 + 5) \cdot 20 = 2 \cdot 15 \cdot 20 = 600\text{ (cm}^2\text{)}$$

$$S_{\text{đáy}} = a \cdot b = 10 \cdot 5 = 50\text{ (cm}^2\text{)}$$

$$S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{\text{đáy}} = 600 + 2 \cdot 50 = 600 + 100 = 700\text{ (cm}^2\text{)}$$

Đáp số: a) $5\text{ cm}$; b) $700\text{ cm}^2$.

a) Lượng nước đổ vào bể lúc đầu là:

$$V_1 = 120 \cdot 20 = 2\ 400\text{ (lít)} = 2\ 400\text{ dm}^3 = 2{,}4\text{ (m}^3\text{)}$$

Vì lượng nước này tạo thành một khối nước hình hộp chữ nhật có đáy là đáy bể (chiều dài $2\text{ m}$, chiều rộng $b\text{ m}$) và chiều cao mực nước là $h_1 = 0{,}8\text{ m}$ nên:

$$V_1 = 2 \cdot b \cdot 0{,}8 = 2{,}4 \implies 1{,}6 \cdot b = 2{,}4 \implies b = \frac{2{,}4}{1{,}6} = 1{,}5\text{ (m)}$$

Vậy chiều rộng của bể nước là $1{,}5\text{ m}$.

b) Lượng nước đổ thêm vào bể là:

$$V_2 = 60 \cdot 20 = 1\ 200\text{ (lít)} = 1{,}2\text{ (m}^3\text{)}$$

Tổng dung tích của bể nước khi đầy là:

$$V = V_1 + V_2 = 2{,}4 + 1{,}2 = 3{,}6\text{ (m}^3\text{)}$$

Chiều cao của bể nước là:

$$h = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{3{,}6}{2 \cdot 1{,}5} = \frac{3{,}6}{3} = 1{,}2\text{ (m)}$$

Đáp số: a) $1{,}5\text{ m}$; b) $1{,}2\text{ m}$.