Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Ta nhận thấy cả hai số hạng đều có nhân tử chung là $(x + 1)$. Đặt $(x + 1)$ làm nhân tử chung, ta có:

$$P(x) = (x + 1)[(2x - 1) + x] = (x + 1)(3x - 1)$$

Vậy $P(x) = (x + 1)(3x - 1)$.

Từ kết quả của Hoạt động 1, ta có phương trình:

$$(x + 1)(3x - 1) = 0$$

Một tích bằng $0$ khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng $0$:

• $x + 1 = 0 \iff x = -1$
• $3x - 1 = 0 \iff 3x = 1 \iff x = \dfrac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -1$ và $x = \dfrac{1}{3}$.

Ta có $(2x + 1)(3x - 1) = 0$ nên $2x + 1 = 0$ hoặc $3x - 1 = 0$.

• $2x + 1 = 0 \iff 2x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{2}$;
• $3x - 1 = 0 \iff 3x = 1 \iff x = \dfrac{1}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -\dfrac{1}{2}$ và $x = \dfrac{1}{3}$.

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

Ta giải hai phương trình sau:

• $x + 2 = 0 \iff x = -2$;
• $x - 1 = 0 \iff x = 1$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -2$ và $x = 1$.

a) Vì $x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1$ nên ĐKXĐ của phương trình $\dfrac{5x + 2}{x - 1} = 0$ là $x \ne 1$.

b) Ta có $x + 1 \ne 0$ khi $x \ne -1$ và $x - 2 \ne 0$ khi $x \ne 2$.

Do đó ĐKXĐ của phương trình $\dfrac{1}{x + 1} = 1 + \dfrac{1}{x - 2}$ là $x \ne -1$ và $x \ne 2$.

a) Mẫu thức $2x - 1 \ne 0 \iff 2x \ne 1 \iff x \ne \dfrac{1}{2}$.

Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne \dfrac{1}{2}$.

b) Các mẫu thức trong phương trình là $x - 1$ và $x$.

Để phương trình xác định thì: $\begin{cases} x - 1 \ne 0 \\ x \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne 1 \\ x \ne 0 \end{cases}$.

Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne 1$ và $x \ne 0$.

• a) ĐKXĐ: Mẫu thức là $x$ và $x - 3$. Điều kiện: $\begin{cases} x \ne 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne 0 \\ x \ne 3 \end{cases}$.
• b) Quy đồng và khử mẫu: Mẫu thức chung là $x(x - 3)$.

  $$\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 3)} = \dfrac{x(x + 9)}{x(x - 3)} \implies (x + 3)(x - 3) = x(x + 9)$$

• c) Giải phương trình:

  $$x^2 - 9 = x^2 + 9x \iff x^2 - x^2 - 9x = 9 \iff -9x = 9 \iff x = -1$$

• d) Kết luận: Giá trị $x = -1$ thoả mãn ĐKXĐ ($x \ne 0$ và $x \ne 3$).

  Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là $S = \{{-1\}}$.

Bước 1. Điều kiện xác định: $x \ne -1$ và $x \ne 2$.

Bước 2. Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được:

Bước 3. Giải phương trình (2a):

$$2x - 4 + x + 1 = 3 \iff 3x - 3 = 3 \iff 3x = 6 \iff x = 2$$

Bước 4. Đối chiếu với ĐKXĐ: Giá trị $x = 2$ không thoả mãn ĐKXĐ (do điều kiện $x \ne 2$).

Vậy phương trình (2) vô nghiệm (tập nghiệm $S = \varnothing$).

Ta nhận thấy $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Mặt khác, $x^2 + x + 1 = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Bước 1: ĐKXĐ: $x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1$.

Bước 2: Mẫu thức chung là $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Quy đồng và khử mẫu:

Bước 3: Giải phương trình:

$$x^2 - 3x + 1 = x^2 - x \iff x^2 - x^2 - 3x + x = -1 \iff -2x = -1 \iff x = \dfrac{1}{2}$$

Bước 4: Kiểm tra ĐKXĐ: Giá trị $x = \dfrac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện $x \ne 1$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{{\dfrac{1}{2}\right\}}$.