Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn
Nắm vững định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn, cách giải các dạng đặc biệt khuyết b hoặc c, công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn theo Delta, ứng dụng giải toán thực tế.
Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước $28\text{ m} \times 16\text{ m}$, người ta dự định làm một bể bơi có lối đi xung quanh với bề rộng bằng nhau là $x\text{ (m)}$ ($0 < x < 8$). Hỏi bề rộng của lối đi là bao nhiêu mét để diện tích của bể bơi là $288\text{ m}^2$?
Xem phân tích tình huống mở đầu
Chiều dài của bể bơi là: $28 - 2x\text{ (m)}$.
Chiều rộng của bể bơi là: $16 - 2x\text{ (m)}$.
Diện tích bể bơi là: $(28 - 2x)(16 - 2x) = 4x^2 - 88x + 448\text{ (m}^2\text{)}$.
Theo đề bài ta có phương trình: $4x^2 - 88x + 448 = 288 \iff 4x^2 - 88x + 160 = 0 \iff x^2 - 22x + 40 = 0$.
Đây chính là một phương trình bậc hai một ẩn mà chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải chi tiết trong bài học này.
1. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Định nghĩa tổng quát
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: $$ax^2 + bx + c = 0$$ trong đó $x$ là ẩn số; $a, b, c$ là những số cho trước gọi là các hệ số và điều kiện bắt buộc là $a \ne 0$.
a) $2x^2 - 3x + 1 = 0$;
b) $x^2 - 3 = 0$;
c) $(\frac{1}{x})^2 + 3 \cdot \frac{1}{x} + 2 = 0$;
d) $-5x^2 = 0$.
Xem lời giải Ví dụ 1
a) Phương trình $2x^2 - 3x + 1 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 2, b = -3, c = 1$.
b) Phương trình $x^2 - 3 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 1, b = 0, c = -3$.
c) Phương trình không phải phương trình bậc hai vì ẩn $x$ nằm ở mẫu số.
d) Phương trình $-5x^2 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = -5, b = 0, c = 0$.
a) $x^2 + 5 = 0$; b) $2x^2 + 7x = 0$; c) $\frac{x^2 - 2x + 5}{x} = 0$; d) $0{,}5x^2 = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 1
- Câu a: Là PT bậc hai với $a = 1, b = 0, c = 5$.
- Câu b: Là PT bậc hai với $a = 2, b = 7, c = 0$.
- Câu c: Không phải là PT bậc hai do có chứa ẩn ở mẫu số.
- Câu d: Là PT bậc hai với $a = 0{,}5, b = 0, c = 0$.
Xem nhận xét câu Tranh luận
Ý kiến của bạn Tròn chưa chính xác vì phương trình dạng $ax^2 + bx + c = 0$ chỉ là phương trình bậc hai khi hệ số $a \ne 0$.
- Nếu $m \ne 0$: Phương trình là phương trình bậc hai với $a = m, b = 2, c = 1$.
- Nếu $m = 0$: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất $2x + 1 = 0$.
2. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
Dạng khuyết số hạng tự do ($c = 0$)
$ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\frac{b}{a}$.
Dạng khuyết số hạng bậc nhất ($b = 0$)
$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$. Nếu $-\frac{c}{a} \ge 0 \implies x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
a) $2x^2 + 6x = 0$; b) $5x^2 + 11x = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 2
a) $2x^2 + 6x = 0 \iff 2x(x + 3) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -3$.
b) $5x^2 + 11x = 0 \iff x(5x + 11) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\frac{11}{5}$.
a) $x^2 - 25 = 0$; b) $(x + 3)^2 = 5$.
Xem lời giải Luyện tập 3
a) $x^2 - 25 = 0 \iff x^2 = 25 \iff x = 5$ hoặc $x = -5$.
b) $(x + 3)^2 = 5 \iff x + 3 = \pm\sqrt{5} \iff x = -3 + \sqrt{5}$ hoặc $x = -3 - \sqrt{5}$.
3. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Công thức nghiệm theo biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$
Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$). Tính biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$:
- Nếu $\Delta > 0$: Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt:
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$$
- Nếu $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép:
$$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}.$$
- Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm.
Công thức nghiệm thu gọn (khi hệ số $b = 2b'$)
Tính biệt thức thu gọn $\Delta' = b'^2 - ac$:
- Nếu $\Delta' > 0$: $x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}; \quad x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$.
- Nếu $\Delta' = 0$: $x_1 = x_2 = -\frac{b'}{a}$.
- Nếu $\Delta' < 0$: Phương trình vô nghiệm.
Xem lời giải Vận dụng
Phương trình cần giải: $x^2 - 22x + 40 = 0$.
Ta có $a = 1, b' = -11, c = 40 \implies \Delta' = (-11)^2 - 1 \cdot 40 = 121 - 40 = 81 > 0$.
$\sqrt{\Delta'} = \sqrt{81} = 9$. Hai nghiệm của phương trình là:
$$x_1 = \frac{11 + 9}{1} = 20; \quad x_2 = \frac{11 - 9}{1} = 2.$$
Vì bề rộng đường đi phải thoả mãn điều kiện $0 < x < 8$ nên $x = 2$ thoả mãn, còn $x = 20$ bị loại.
Vậy bề rộng của lối đi xung quanh bể bơi là $2\text{ m}$.
Đưa phương trình $3x^2 + 2x - 1 = x^2 - x$ về dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Các hệ số $a, b, c$ lần lượt là:
Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái:
$$(3x^2 - x^2) + (2x + x) - 1 = 0 \iff 2x^2 + 3x - 1 = 0.$$
Vậy $a = 2, b = 3, c = -1$.
Đưa phương trình $(2x + 1)^2 = x^2 + 1$ về dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Các hệ số $a, b, c$ là:
Khai triển vế trái:
$$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 1 \iff 4x^2 - x^2 + 4x + 1 - 1 = 0 \iff 3x^2 + 4x = 0.$$
Vậy $a = 3, b = 4, c = 0$.
Nghiệm của phương trình $2x^2 + \frac{1}{3}x = 0$ là:
Đặt $x$ làm nhân tử chung:
$$x\left(2x + \frac{1}{3}\right) = 0 \iff x = 0 \text{ hoặc } 2x = -\frac{1}{3} \iff x = -\frac{1}{6}.$$
Tập nghiệm của phương trình $(3x + 2)^2 = 5$ là:
Khai căn hai vế:
$$(3x + 2)^2 = 5 \iff 3x + 2 = \pm\sqrt{5} \iff 3x = -2 \pm \sqrt{5} \iff x = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{3}.$$
Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $11x^2 + 13x - 1 = 0$ và xác định số nghiệm:
Hệ số: $a = 11, b = 13, c = -1$.
$$\Delta = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-1) = 169 + 44 = 213.$$
Vì $\Delta > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Số nghiệm của phương trình $9x^2 + 42x + 49 = 0$ là:
Ta có $a = 9, b' = 21, c = 49$.
$$\Delta' = (b')^2 - ac = 21^2 - 9 \cdot 49 = 441 - 441 = 0.$$
Do $\Delta' = 0$ nên phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\frac{b'}{a} = -\frac{21}{9} = -\frac{7}{3}$.
Tính biệt thức $\Delta'$ của phương trình $x^2 - 2x + 3 = 0$. Kết luận về số nghiệm là:
Hệ số: $a = 1, b' = -1, c = 3$.
$$\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot 3 = 1 - 3 = -2 < 0.$$
Vì $\Delta' < 0$ nên phương trình vô nghiệm.
Giải phương trình $x^2 - 2\sqrt{5}x + 2 = 0$. Nghiệm của phương trình là:
Ta có $a = 1, b' = -\sqrt{5}, c = 2$.
$$\Delta' = (-\sqrt{5})^2 - 1 \cdot 2 = 5 - 2 = 3 > 0.$$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x = \frac{-(-\sqrt{5}) \pm \sqrt{3}}{1} = \sqrt{5} \pm \sqrt{3}$.
Nghiệm của phương trình $4x^2 + 28x + 49 = 0$ là:
Nhận dạng hằng đẳng thức: $(2x + 7)^2 = 0 \iff 2x + 7 = 0 \iff x = -\frac{7}{2} = -3{,}5$.
Nghiệm của phương trình $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 = 0$ là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Sử dụng máy tính cầm tay, hai nghiệm làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai của phương trình $0{,}1x^2 + 2{,}5x - 0{,}2 = 0$ là:
Quy đồng nhân 10 hai vế: $x^2 + 25x - 2 = 0$.
$$\Delta = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 625 + 8 = 633.$$
$$x_1 = \frac{-25 + \sqrt{633}}{2} \approx 0{,}0797 \approx 0{,}08; \quad x_2 = \frac{-25 - \sqrt{633}}{2} \approx -25{,}0797 \approx -25{,}08.$$
Nghiệm của phương trình $0{,}01x^2 - 0{,}05x + 0{,}0625 = 0$ là:
Nhân 100 cả hai vế: $x^2 - 5x + 6{,}25 = 0$.
Nhận xét: $x^2 - 2 \cdot 2{,}5x + 2{,}5^2 = (x - 2{,}5)^2 = 0 \implies x = 2{,}5$.
Độ cao $h$ (mét) của một vật phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc đầu $v_0 = 19{,}6\text{ m/s}$ cho bởi $h = 19{,}6t - 4{,}9t^2$ ($t$ tính bằng giây). Sau bao lâu kể từ khi phóng thì vật rơi trở lại mặt đất?
Khi vật chạm đất thì độ cao $h = 0$:
$$19{,}6t - 4{,}9t^2 = 0 \iff 4{,}9t(4 - t) = 0.$$
Vì $t > 0$ (thời điểm sau khi phóng) nên $4 - t = 0 \iff t = 4\text{ (giây)}$.
Màn hình ti vi truyền thống có tỉ lệ chiều dài và chiều rộng là $4:3$. Nếu độ dài đường chéo là $37\text{ inch}$, diện tích của màn hình ti vi đó bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cùng có đường chéo $37\text{ inch}$, so sánh diện tích màn hình ti vi truyền thống ($4:3$) và màn hình ti vi LCD ($16:9$):
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài $6\text{ m}$ và diện tích bằng $280\text{ m}^2$. Kích thước chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là:
Gọi chiều rộng là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$), chiều dài là $x + 6\text{ (m)}$.
Theo đề bài ta có phương trình: $x(x + 6) = 280 \iff x^2 + 6x - 280 = 0$.
$$\Delta' = 3^2 - 1 \cdot (-280) = 9 + 280 = 289 = 17^2.$$
Nghiệm: $x = -3 + 17 = 14$ (thoả mãn) hoặc $x = -3 - 17 = -20$ (loại).
Vậy chiều rộng là $14\text{ m}$, chiều dài là $14 + 6 = 20\text{ m}$.
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Giáo viên MathUp.vn đang biên soạn thêm các bài toán tương tự & nâng cao cho bài học này.
Các bài tập mới nhất sẽ được cập nhật sớm nhất trong tuần này.