Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Thay $(2; 1)$ vào vế trái:

$$4(2) - 3(1) = 8 - 3 = 5 \ne 7.$$

Do đó cặp số $(2; 1)$ không phải là nghiệm.

Cặp số $(4; 3)$ thỏa mãn cả hai phương trình:

• $-2(4) + 5(3) = -8 + 15 = 7$ (thỏa mãn).
• $4(4) - 3(3) = 16 - 9 = 7$ (thỏa mãn).

Do đó $(4; 3)$ là nghiệm của hệ hai phương trình.

Từ phương trình thứ nhất: $y = 2x - 1$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$x - 2(2x - 1) = -1 \iff -3x + 2 = -1 \iff -3x = -3 \implies x = 1.$$

Suy ra $y = 2(1) - 1 = 1$. Nghiệm là $(1; 1)$.

Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho $0{,}5$ và phương trình thứ hai cho $1{,}2$ ta đều được: $x - y = 1$.

Hai phương trình trùng nhau nên hệ có vô số nghiệm dạng $(x; x - 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Từ phương trình thứ nhất: $x = -2 - 3y$. Thế vào phương trình hai:

$$5(-2 - 3y) - 4y = 28 \iff -19y = 38 \implies y = -2.$$

Suy ra $x = -2 - 3(-2) = 4$. Vậy nghiệm là $(4; -2)$.

Nhân (1) với 2 và (2) với 7:

$$\begin{cases} 10x + 14y = -2 \\ 21x + 14y = -35 \end{cases} \implies 11x = -33 \implies x = -3.$$

Thay vào (2): $3(-3) + 2y = -5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. Nghiệm là $(-3; 2)$.

Nhân phương trình thứ hai với $2{,}5$ ta được: $-2x + 3y = 2{,}5$.

Cộng với phương trình thứ nhất vế theo vế:

$$(2x - 3y) + (-2x + 3y) = 11 + 2{,}5 \iff 0x + 0y = 13{,}5 \text{ (vô lý)}.$$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm ($S = \emptyset$).

Nhân phương trình thứ hai với 10 ta được: $4x + 2y = 8$.

Trừ phương trình thứ nhất: $(4x + 2y) - (4x - 3y) = 8 - 6 \iff 5y = 2 \implies y = 0{,}4$.

Thay $y = 0{,}4$ vào: $4x = 6 + 3(0{,}4) = 7{,}2 \implies x = 1{,}8$. Nghiệm là $(1{,}8; 0{,}4)$.

Cân bằng số nguyên tử:

• Nguyên tử $\text{Al}$: $4 = 2y \implies y = 2$.
• Nguyên tử $\text{O}$: $2x = 3y \implies 2x = 3(2) = 6 \implies x = 3$.

Vậy $x = 3, y = 2$.

Thay toạ độ $A$ và $B$ vào phương trình:

$$\begin{cases} -2a + b = -1 \\ 2a + b = 3 \end{cases} \implies 2b = 2 \implies b = 1.$$

Suy ra $2a = 3 - 1 = 2 \implies a = 1$.

Nhân hai vế với 10: $\begin{cases} 5x + 6y = 4 \\ 4x - 9y = 17 \end{cases}$.

Nhân (1) với 3 và (2) với 2: $\begin{cases} 15x + 18y = 12 \\ 8x - 18y = 34 \end{cases} \implies 23x = 46 \implies x = 2$.

Thay $x = 2$ vào: $5(2) + 6y = 4 \implies 6y = -6 \implies y = -1$. Nghiệm: $(2; -1)$.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình cắt nhau, tương đương với điều kiện:

$$\dfrac{a}{a'} \ne \dfrac{b}{b'}.$$

Nhân phương trình thứ nhất với 2: $10x + 14y = -2$. Nhân phương trình thứ hai với 7: $21x + 14y = -35$.

Trừ hai vế cho nhau: $11x = -33 \implies x = -3$.

Thay vào phương trình thứ hai: $3(-3) + 2y = -5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$.

Vậy nghiệm là $(-3; 2)$. Chọn B.

Thay toạ độ các điểm vào biểu thức $4x - 3y$:

• Với $C(2; 3)$: $4(2) - 3(3) = 8 - 9 = -1$ (thỏa mãn).
• Với $D(-1; -1)$: $4(-1) - 3(-1) = -4 + 3 = -1$ (thỏa mãn).
• Với $A(1; 2)$: $4(1) - 3(2) = -2 \ne -1$ (không thỏa).
• Với $B(5; 6)$: $4(5) - 3(6) = 2 \ne -1$ (không thỏa).

Vậy đường thẳng đi qua $C$ và $D$. Chọn C.

Từ phương trình thứ hai: $y = 2x - 2$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$1{,}5x - 0{,}6(2x - 2) = 0{,}3 \iff 1{,}5x - 1{,}2x + 1{,}2 = 0{,}3 \iff 0{,}3x = -0{,}9 \implies x = -3.$$

Suy ra: $y = 2(-3) - 2 = -8$.

Vậy hệ có nghiệm là $(-3; -8)$. Chọn C.

Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho $0{,}3$, ta được: $2x + y = 6$.

Hệ trở thành: $\begin{cases} 2x + y = 6 \\ 2x + y = -6 \end{cases}$.

Vì vế trái bằng nhau nhưng vế phải khác nhau ($6 \ne -6$) nên hệ phương trình vô nghiệm (hai đường thẳng song song). Chọn B.

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với $5$: $2x + 5y = 5$.

Trừ từng vế cho phương trình thứ nhất $2x + 5y = 10$, ta được: $0x + 0y = -5$ (vô lý).

Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Chọn A.