Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ và $N$:

$MP = MA$ và $NP = NB$.

Do đó $MN = MP + NP = MA + NB$.

Tứ giác $AMNB$ là hình thang vuông ($AM \parallel BN$).

Đường thẳng $OQ$ vuông góc với $AB$ nên $OQ \parallel AM \parallel BN$.

Vì $O$ là trung điểm cạnh bên $AB$ nên $OQ$ là đường trung bình của hình thang, suy ra $Q$ là trung điểm của cạnh bên $MN$.

Ta so sánh khoảng cách từ tâm $O$ đến các điểm với bán kính $R = 4\text{ cm}$:

• Vì $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$ nên $OA < R$, suy ra điểm $A$ nằm trong $(O)$.
• Vì $OB = 4 = R$ nên điểm $B$ nằm trên $(O)$.

Do đó điểm $A$ nằm trong $(O)$ và điểm $B$ nằm trên $(O)$.

Vì $BD$ là đường kính nên $\widehat{BOD} = 180^\circ$:

• Góc ở tâm $\widehat{COD} = 180^\circ - \widehat{BOC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \implies \text{sđ }\overparen{DC} = 80^\circ$.
• Góc ở tâm $\widehat{AOD} = 180^\circ - \widehat{AOB} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \implies \text{sđ }\overparen{AD} = 140^\circ$.

Hai đường tròn $(A; R_1)$ và $(B; R_2)$ cắt nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tâm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

$R_1 - R_2 < AB < R_1 + R_2$.

Theo lý thuyết vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn:

• Đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách nhỏ hơn bán kính: $d_1 < R$.
• Đường thẳng tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách bằng bán kính: $d_2 = R$.

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền là điều kiện cần và đủ để tam giác vuông:

• $A \in (O) \iff OA = \dfrac{BC}{2} \iff \triangle ABC$ vuông tại $A$.

Vì $A \in (B; BO)$ nên $BA = BO = R$.

Vì $A \in (O)$ nên $OA = R$. Do đó tam giác $OAB$ có $OA = OB = AB = R$ nên là tam giác đều, suy ra $\widehat{B} = 60^\circ$.

Vì $A$ thuộc $(O)$ đường kính $BC$ nên $\widehat{A} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{C} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Bán kính đường tròn là $R = \dfrac{BC}{2} = 3\text{ cm}$.

Vì tam giác $OAB$ đều nên $\widehat{AOB} = 60^\circ \implies \widehat{AOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Độ dài cung nhỏ $AC$ là:

$$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{180} = 2\pi\text{ (cm)}.$$

Bán kính $R = 3\text{ cm}$, số đo cung $n = 120^\circ$.

Diện tích hình quạt tròn là:

$$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 1}{3} = 3\pi\text{ (cm}^2\text{)}.$$

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua tâm $O$ nên $OC = OA = 4\text{ cm} = R$, suy ra $C \in (O)$.

Tương tự, $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $OD = OB = 4\text{ cm} = R$, suy ra $D \in (O)$.

Do đó cả $C$ và $D$ đều nằm trên đường tròn $(O)$.

Cung nhỏ $AB$ có số đo $90^\circ$. Diện tích hình quạt tròn tương ứng là:

$$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 90}{360} = \dfrac{16\pi}{4} = 4\pi\text{ (cm}^2\text{)}.$$

Ta xét cặp $(B; 3\text{ cm})$ và $(C; 2\text{ cm})$:

Khoảng cách giữa hai tâm là $d = BC = 1\text{ cm}$.

Hiệu hai bán kính là $R_B - R_C = 3 - 2 = 1\text{ cm} = d$.

Vì $d = R_B - R_C$ nên hai đường tròn $(B)$ và $(C)$ tiếp xúc trong, không phải tiếp xúc ngoài. Do đó câu C là sai.