Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $O$ đến $AB$, ta có $OH = 2{,}5\text{ cm}$ và $OA = 5\text{ cm}$.

Trong tam giác vuông $OHA$:

$AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{18{,}75} = 2{,}5\sqrt{3}\text{ cm}$.

Vì đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây nên:

$AB = 2AH = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\text{ cm}$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, tam giác $OHA$ vuông tại $H$ có:

$\cos \widehat{AOH} = \frac{OH}{OA} = \frac{2{,}5}{5} = \frac{1}{2} \implies \widehat{AOH} = 60^\circ$.

Vì $OH$ là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ nên góc ở tâm $\widehat{AOB} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

Do đó số đo cung nhỏ $AB$ là $120^\circ$.

Độ dài của cung tròn bán kính $R = 5\text{ cm}$ với số đo $n = 120^\circ$ được tính bởi:

$l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 120}{180} = \frac{10\pi}{3}\text{ cm} \approx 10{,}47\text{ cm}$.

Diện tích hình quạt tròn bán kính $R = 5\text{ cm}$, góc ở tâm $n = 120^\circ$ là:

$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 120}{360} = \frac{25\pi}{3}\text{ cm}^2 \approx 26{,}18\text{ cm}^2$.

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Tam giác $OBD$ cân tại $O$ ($OB = OD = R$) và có $\widehat{B} = 60^\circ$ (do $\triangle ABC$ đều). Do đó $\triangle OBD$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{BOD} = 60^\circ \implies \text{sđ}\overparen{BD} = 60^\circ$.

Tương tự $\triangle OCE$ đều $\implies \text{sđ}\overparen{EC} = 60^\circ$.

Góc ở tâm $\widehat{DOE} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \implies \text{sđ}\overparen{DE} = 60^\circ$.

Vậy ba cung nhỏ bằng nhau và cùng bằng $60^\circ$.

Khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ nhỏ hơn bán kính ($d < R$) thì đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính: $OO' = R + R'$.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $MA = MB$, $MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$, $OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$. Hơn nữa $OM$ là đường trung trực của $AB$, tức là $OM \perp AB$ chứ không phải song song. Vậy D là khẳng định sai.

Theo nguyên lý vẽ chắp nối trơn trong SGK: Nếu một đoạn thẳng được chắp nối trơn với một cung tròn thì đoạn thẳng đó phải nằm trên tiếp tuyến của đường tròn chứa cung tròn đó tại điểm chắp nối.

Để $(O; R)$ cắt đường thẳng $a$ thì $R > 2\text{ cm}$.

Để $(O; R)$ cắt đường thẳng $b$ thì $R > 3\text{ cm}$.

Do đó để cắt cả hai đường thẳng thì $R > \max(2; 3) = 3\text{ cm}$.

Vì $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ nên $R = d_a = 2\text{ cm}$.

Khoảng cách từ $O$ đến $b$ là $d_b = 3\text{ cm} > 2\text{ cm} = R$.

Vì $d_b > R$ nên đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $b$ không giao nhau.

Vì hai kim đồng hồ cùng quay quanh một trục kim cố định nên tâm của hai đường tròn trùng nhau. Vì bán kính khác nhau nên chúng là hai đường tròn đồng tâm.

Ta có $d = 1{,}5\text{ cm}$, bán kính $R_1 = 3\text{ cm}$ và $R_3 = 1\text{ cm}$.

Hiệu hai bán kính là: $R_1 - R_3 = 3 - 1 = 2\text{ cm}$.

Vì $d = 1{,}5\text{ cm} < 2\text{ cm} = R_1 - R_3$ nên đường tròn $(T_1)$ đựng đường tròn $(T_3)$.

Ta có $d = 1{,}5\text{ cm}$, $R_2 = 2\text{ cm}$ và $R_3 = 1\text{ cm}$.

Hiệu hai bán kính: $|R_2 - R_3| = 2 - 1 = 1\text{ cm}$.

Tổng hai bán kính: $R_2 + R_3 = 2 + 1 = 3\text{ cm}$.

Vì $1\text{ cm} < 1{,}5\text{ cm} < 3\text{ cm}$ ($|R_2 - R_3| < d < R_2 + R_3$) nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.