Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

• a) Với bất đẳng thức $-3 < 5$: Vế trái là $-3$, vế phải là $5$. Đây là bất đẳng thức đúng vì số âm $-3$ luôn nhỏ hơn số dương $5$.

• b) Với bất đẳng thức $x^2 + 1 \ge 0$: Vế trái là $x^2 + 1$, vế phải là $0$. Do $x^2 \ge 0$ với mọi số thực $x$, nên $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x$. Do đó đây là bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của $x$.

• c) Với bất đẳng thức $2x - 3 \le 5$: Vế trái là $2x - 3$, vế phải là $5$. Tính đúng sai của bất đẳng thức phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ (ví dụ: với $x = 0$ ta có $-3 \le 5$ là đúng; với $x = 5$ ta có $7 \le 5$ là sai).

• a) Biển báo P.127c quy định tốc độ tối đa cho phép là $60\text{ km/h}$, nghĩa là tốc độ di chuyển $v$ không được vượt quá $60\text{ km/h}$. Do đó điều kiện là: $v \le 60$ (và $v > 0$).

• b) Biển báo R.306 quy định tốc độ tối thiểu cho phép là $60\text{ km/h}$, nghĩa là tốc độ di chuyển $v$ phải đạt từ $60\text{ km/h}$ trở lên. Do đó điều kiện là: $v \ge 60$.

Vì $a \ge b$ nên $a > b$ hoặc $a = b$. Tương tự vì $b \ge c$ nên $b > c$ hoặc $b = c$.

• Nếu $a = b$ thì từ $b \ge c$ suy ra ngay $a \ge c$.
• Nếu $b = c$ thì từ $a \ge b$ suy ra ngay $a \ge c$.
• Nếu $a > b$ và $b > c$, theo tính chất bắc cầu của quan hệ lớn hơn ta có $a > c \implies a \ge c$.

Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có $a \ge c$ (đpcm).

Theo đề bài ta có: $a > b$ và $b > c$.

Áp dụng tính chất bắc cầu của quan hệ lớn hơn trên tập số thực, ta có ngay: $a > c$.

Do đó, thứ tự điểm số của ba đội là: $a > b > c$.

Vậy đội A có điểm số cao nhất và đội C có điểm số thấp nhất.

• Ta có: $-3 < 2$ (vì $-3$ là số âm, $2$ là số dương).

• Khi cộng $4$ vào hai vế, ta được:

Vế trái: $(-3) + 4 = 1$

Vế phải: $2 + 4 = 6$

• So sánh: Vì $1 < 6$ nên ta có $(-3) + 4 < 2 + 4$.

• Nhận xét: Chiều của bất đẳng thức thu được ($<$) hoàn toàn cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu ($-3 < 2$).

• a) Vì $a < b$, cộng cùng số $5$ vào cả hai vế ta được: $a + 5 < b + 5$.

• b) Vì $a < b$, cộng cùng số $-3$ vào cả hai vế (hoặc trừ cùng số $3$) ta được: $a - 3 < b - 3$.

Ta có giả thiết: $x - 5 > y - 5$.

Cộng cùng số $5$ vào cả hai vế của bất đẳng thức, theo tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng ta được:

$(x - 5) + 5 > (y - 5) + 5 \implies x > y$.

Vậy $x > y$ (đpcm).

Xuất phát từ bất đẳng thức đã cho: $-2 < 3$.

• a) Nhân cả hai vế với số dương $2$:

Vế trái: $(-2) \cdot 2 = -4$

Vế phải: $3 \cdot 2 = 6$

Vì $-4 < 6$ nên $(-2) \cdot 2 < 3 \cdot 2$. Chiều của bất đẳng thức không đổi (cùng chiều).

• b) Nhân cả hai vế với số âm $-2$:

Vế trái: $(-2) \cdot (-2) = 4$

Vế phải: $3 \cdot (-2) = -6$

Vì $4 > -6$ nên $(-2) \cdot (-2) > 3 \cdot (-2)$. Chiều của bất đẳng thức đã bị đổi chiều (từ $<$ sang $>$).

• a) So sánh $3a$ và $3b$: Vì $a > b$ và $3 > 0$ (nhân với số dương), theo tính chất nhân ta giữ nguyên chiều: $3a > 3b$.

• b) So sánh $-5a$ và $-5b$: Vì $a > b$ và $-5 < 0$ (nhân với số âm), theo tính chất nhân ta phải đổi chiều bất đẳng thức: $-5a < -5b$.

• a) Chứng minh $4m - 1 \le 4n - 1$:

Từ $m \le n$, nhân cả hai vế với số dương $4 > 0$ ta được: $4m \le 4n$.

Cộng tiếp số $-1$ vào cả hai vế ta được: $4m - 1 \le 4n - 1$ (đpcm).

• b) Chứng minh $-2m + 3 \ge -2n + 3$:

Từ $m \le n$, nhân cả hai vế với số âm $-2 < 0$, bất đẳng thức phải đổi chiều: $-2m \ge -2n$.

Cộng tiếp số $3$ vào cả hai vế ta được: $-2m + 3 \ge -2n + 3$ (đpcm).

• a) Lập bất đẳng thức điều kiện kinh phí:

Chi phí cho $x$ học sinh bao gồm:

- Chi phí thuê xe cố định: $3\,000\,000$ đồng.

- Chi phí ăn uống, bảo hiểm cho $x$ học sinh: $120\,000x$ đồng.

Tổng chi phí chuyến đi là: $3\,000\,000 + 120\,000x$ (đồng).

Vì tổng kinh phí tối đa là $15\,000\,000$ đồng nên ta có bất đẳng thức:

$3\,000\,000 + 120\,000x \le 15\,000\,000$.

• b) Tìm số lượng học sinh tối đa:

Trừ cả hai vế của bất đẳng thức cho $3\,000\,000$:

$120\,000x \le 15\,000\,000 - 3\,000\,000 \implies 120\,000x \le 12\,000\,000$.

Chia cả hai vế cho số dương $120\,000 > 0$ (bất đẳng thức cùng chiều):

$x \le \frac{12\,000\,000}{120\,000} \implies x \le 100$.

Vì $x \in \mathbb{N}^*$ và $x \le 100$ nên giá trị lớn nhất của $x$ là $100$.

Kết luận: Nhà trường có thể tổ chức chuyến dã ngoại cho tối đa $100$ học sinh.