Toán Lớp 6 Chương VI: Phân số 103 lượt xem

Lý thuyết Bài 26: Phép nhân và phép chia phân số

Quy tắc nhân và chia hai phân số; Tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân; Định nghĩa phân số nghịch đảo; Bài tập SGK 6.27 - 6.33 trang 19 - 21.

SGK Toán 6 Tập 2 (Trang 19 - 21)

BÀI 26: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN SỐ

Khái niệm, thuật ngữ

Phép nhân
Phép chia
Phân số nghịch đảo

Kiến thức, kĩ năng

Nhận biết phân số nghịch đảo của một phân số khác $0$.
Thực hiện phép nhân, chia phân số.
Vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong tính toán.

TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (SGK TRANG 19)

Mẹ Minh dành $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$ tiền lương hằng tháng để chi tiêu trong gia đình.

$\mathbf{\dfrac{1}{5}}$ số tiền chi tiêu đó là tiền ăn bán trú cho Minh.

Hỏi tiền ăn bán trú cho Minh bằng bao nhiêu phần tiền lương hằng tháng của mẹ?

Chúng ta cùng tìm hiểu cách tính trong bài học này nhé!

Quỹ lương & Tiền bán trú

PHÉP NHÂN HAI PHÂN SỐ

HĐ1 Nhắc lại quy tắc nhân hai phân số (tử và mẫu đều dương), rồi tính:

Phép tính 1:

$$\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{8 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \dfrac{24}{21} = \mathbf{\dfrac{8}{7}}$$

• Nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn (chia cả tử và mẫu cho $3$).

Phép tính 2:

$$\dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{5}{8} = \dfrac{4 \cdot 5}{6 \cdot 8} = \dfrac{20}{48} = \mathbf{\dfrac{5}{12}}$$

• Nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn (chia cả tử và mẫu cho $4$).

Quy tắc trên vẫn đúng với các phân số có tử và mẫu là các số nguyên.

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Ví dụ 1 Thực hiện phép nhân phân số (SGK Trang 19):

a) $\mathbf{\dfrac{-4}{7} \cdot \dfrac{3}{5}}$:

$$\dfrac{-4}{7} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{(-4) \cdot 3}{7 \cdot 5} = \mathbf{\dfrac{-12}{35}}$$

b) $\mathbf{(-5) \cdot \dfrac{6}{13}}$:

$$(-5) \cdot \dfrac{6}{13} = \dfrac{-5}{1} \cdot \dfrac{6}{13} = \dfrac{(-5) \cdot 6}{1 \cdot 13} = \mathbf{\dfrac{-30}{13}}$$

Nhận xét (SGK Trang 19):

Muốn nhân một số nguyên với một phân số, ta nhân số nguyên đó với tử của phân số và giữ nguyên mẫu:

$$m \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{m \cdot a}{b}$$

Ví dụ 2 Giải quyết bài toán mở đầu (SGK Trang 19)

Trở lại bài toán mở đầu, số tiền ăn bán trú cho Minh bằng:

$$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = \mathbf{\dfrac{2}{15}} \text{ (tiền lương hằng tháng của mẹ)}$$

Luyện tập 1 Tính (SGK Trang 19):

a) $\mathbf{\dfrac{-2}{5} \cdot \dfrac{5}{4}}$:

$$\dfrac{-2}{5} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{(-2) \cdot 5}{5 \cdot 4} = \dfrac{-10}{20} = \mathbf{\dfrac{-1}{2}}$$

b) $\mathbf{\dfrac{-7}{10} \cdot \dfrac{-9}{11}}$:

$$\dfrac{-7}{10} \cdot \dfrac{-9}{11} = \dfrac{(-7) \cdot (-9)}{10 \cdot 11} = \mathbf{\dfrac{63}{110}}$$

Vận dụng 1 Tính diện tích hình tam giác (SGK Trang 20)

Tính diện tích hình tam giác biết một cạnh dài $\mathbf{\dfrac{9}{5}\text{ cm}}$, chiều cao ứng với cạnh đó bằng $\mathbf{\dfrac{7}{3}\text{ cm}}$.

• Diện tích hình tam giác là:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{1 \cdot 9 \cdot 7}{2 \cdot 5 \cdot 3}$$

$$= \dfrac{63}{30} = \mathbf{\dfrac{21}{10}} \text{ (cm}^2\text{)}$$

$\implies$ Đáp số: Diện tích tam giác là $\dfrac{21}{10}\text{ cm}^2$ (hay $2{,}1\text{ cm}^2$).

TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN

Tương tự phép nhân số nguyên, phép nhân phân số cũng có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

1. Giao hoán

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{a}{b}$$

2. Kết hợp

$$\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{p}{q} = \dfrac{a}{b} \cdot \left(\dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{p}{q}\right)$$

3. Phân phối

$$\dfrac{a}{b} \cdot \left(\dfrac{c}{d} + \dfrac{p}{q}\right) = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{p}{q}$$

Bạn Pi nhắc nhở: Quy tắc nhân với số 1

$$\dfrac{a}{b} \cdot 1 = 1 \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$$

Ví dụ 3 Tính một cách hợp lí (SGK Trang 20):

a) $\mathbf{\dfrac{-3}{29} \cdot \dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{-29}{3}}$:

$$= \dfrac{-3}{29} \cdot \dfrac{-29}{3} \cdot \dfrac{9}{14}$$

(Tính chất giao hoán)

$$= \left(\dfrac{-3}{29} \cdot \dfrac{-29}{3}\right) \cdot \dfrac{9}{14}$$

(Tính chất kết hợp)

$$= 1 \cdot \dfrac{9}{14} = \mathbf{\dfrac{9}{14}}$$

(Nhân với số 1)

b) $\mathbf{\dfrac{7}{23} \cdot \dfrac{24}{11} + \dfrac{7}{23} \cdot \dfrac{-2}{11}}$:

$$= \dfrac{7}{23} \cdot \left(\dfrac{24}{11} + \dfrac{-2}{11}\right)$$

(Tính chất phân phối của phép nhân)

$$= \dfrac{7}{23} \cdot \dfrac{24 + (-2)}{11} = \dfrac{7}{23} \cdot \dfrac{22}{11}$$

$$= \dfrac{7}{23} \cdot 2 = \mathbf{\dfrac{14}{23}}$$

Luyện tập 2 Tính một cách hợp lí (SGK Trang 20):

a) $\mathbf{\dfrac{6}{13} \cdot \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{-26}{3} \cdot \dfrac{-7}{8}}$:

$$= \left[\dfrac{6}{13} \cdot \left(\dfrac{-26}{3}\right)\right] \cdot \left[\dfrac{8}{7} \cdot \left(\dfrac{-7}{8}\right)\right]$$

$$= (-4) \cdot (-1) = \mathbf{4}$$

b) $\mathbf{\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{3}{13} - \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{16}{13}}$:

$$= \dfrac{6}{5} \cdot \left(\dfrac{3}{13} - \dfrac{16}{13}\right)$$

$$= \dfrac{6}{5} \cdot \left(\dfrac{-13}{13}\right) = \dfrac{6}{5} \cdot (-1) = \mathbf{-\dfrac{6}{5}}$$

PHÉP CHIA PHÂN SỐ

Phân số nghịch đảo

HĐ2 Tính các tích sau:

$$\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{5 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \mathbf{1}$$

$$\dfrac{-5}{7} \cdot \dfrac{7}{-5} = \dfrac{(-5) \cdot 7}{7 \cdot (-5)} = \mathbf{1}$$

Hai phân số $\mathbf{\dfrac{5}{4}}$ và $\mathbf{\dfrac{4}{5}}$ có tích bằng $1$. Ta gọi $\mathbf{\dfrac{4}{5}}$ là phân số nghịch đảo của phân số $\mathbf{\dfrac{5}{4}}$; $\mathbf{\dfrac{5}{4}}$ cũng là phân số nghịch đảo của $\mathbf{\dfrac{4}{5}}$.

$\implies \dfrac{4}{5}$ và $\dfrac{5}{4}$ là hai phân số nghịch đảo của nhau.

Tương tự như vậy:
• Phân số nghịch đảo của số nguyên $4$ là $\mathbf{\dfrac{1}{4}}$.
• Phân số nghịch đảo của số nguyên $-2$ là $\mathbf{\dfrac{1}{-2}}$ (hay $\mathbf{\dfrac{-1}{2}}$).

Bạn Vuông nhận xét:

Hai phân số $\mathbf{\dfrac{4}{5}}$ và $\mathbf{\dfrac{5}{4}}$ là hai phân số nghịch đảo của nhau.

Câu hỏi (?) SGK Trang 20:

Em hãy tìm phân số nghịch đảo của $11$ và $\dfrac{7}{-5}$:

• Nghịch đảo của $11$ là: $\mathbf{\dfrac{1}{11}}$
• Nghịch đảo của $\dfrac{7}{-5}$ là: $\mathbf{\dfrac{-5}{7}}$ (hay $-\dfrac{5}{7}$)

Phép chia phân số

HĐ3 Nhắc lại quy tắc chia hai phân số (tử và mẫu đều dương), rồi tính:

$$\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{15}{8}}$$

Quy tắc trên vẫn đúng với các phân số có tử và mẫu là các số nguyên.

Muốn chia một phân số cho một phân số khác $0$, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia:

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} \qquad (c, d \neq 0)$$

Bạn Pi nhắc nhở:

Phân số nghịch đảo của phân số $\dfrac{c}{d}$ là $\mathbf{\dfrac{d}{c}}$ $(c, d \neq 0)$.

Ví dụ 4 Thực hiện phép chia phân số (SGK Trang 21):

a) $\mathbf{\dfrac{-3}{5} : \dfrac{3}{4}}$:

$$\dfrac{-3}{5} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{5} \cdot \dfrac{4}{3}$$

$$= \dfrac{(-3) \cdot 4}{5 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{-4}{5}}$$

b) $\mathbf{\dfrac{2}{3} : 2}$:

$$\dfrac{2}{3} : 2 = \dfrac{2}{3} : \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$$

$$= \dfrac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$$

Luyện tập 3 Tính (SGK Trang 21):

a) $\mathbf{\dfrac{-8}{9} : \dfrac{4}{3}}$:

$$\dfrac{-8}{9} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{-8}{9} \cdot \dfrac{3}{4}$$

$$= \dfrac{(-8) \cdot 3}{9 \cdot 4} = \mathbf{\dfrac{-2}{3}}$$

b) $\mathbf{(-2) : \dfrac{2}{5}}$:

$$(-2) : \dfrac{2}{5} = \dfrac{-2}{1} \cdot \dfrac{5}{2}$$

$$= \dfrac{(-2) \cdot 5}{2} = \mathbf{-5}$$

Vận dụng 2 Công thức làm bánh của bạn An (SGK Trang 21)

Theo một công thức làm bánh, An cần $\mathbf{\dfrac{3}{4}}$ cốc đường để làm $9$ cái bánh. Nếu An chỉ muốn làm $6$ cái bánh thì cần bao nhiêu cốc đường?

• Bước 1: Để làm $1$ cái bánh cần số cốc đường là:

$$\dfrac{3}{4} : 9 = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{9} = \mathbf{\dfrac{1}{12}} \text{ (cốc đường)}$$

• Bước 2: Để làm $6$ cái bánh, bạn An cần số cốc đường là:

$$\dfrac{1}{12} \cdot 6 = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \text{ (cốc đường)}$$

Đáp số: An cần $\dfrac{1}{2}$ cốc đường (nửa cốc đường) để làm $6$ cái bánh.

BÀI TẬP (SGK TRANG 21)

Bài 6.27 Thay dấu "?" bằng số thích hợp:

Đại lượng	Cột 1	Cột 2	Cột 3
$\mathbf{a}$	$\dfrac{9}{25}$	$12$	$\dfrac{-5}{6}$
$\mathbf{b}$	$1$	$\dfrac{-9}{8}$	$3$
$\mathbf{a \cdot b}$	$\mathbf{\dfrac{9}{25}}$	$\mathbf{\dfrac{-27}{2}}$	$\mathbf{\dfrac{-5}{2}}$
$\mathbf{a : b}$	$\mathbf{\dfrac{9}{25}}$	$\mathbf{\dfrac{-32}{3}}$	$\mathbf{\dfrac{-5}{18}}$

Chi tiết các bước tính cho từng cột:

Cột 1 $\left(a = \dfrac{9}{25},\, b = 1\right)$

• Phép nhân:

$$a \cdot b = \dfrac{9}{25} \cdot 1 = \mathbf{\dfrac{9}{25}}$$

• Phép chia:

$$a : b = \dfrac{9}{25} : 1 = \mathbf{\dfrac{9}{25}}$$

Cột 2 $\left(a = 12,\, b = \dfrac{-9}{8}\right)$

• Phép nhân:

$$a \cdot b = 12 \cdot \left(\dfrac{-9}{8}\right) = \dfrac{12 \cdot (-9)}{8} = \dfrac{3 \cdot (-9)}{2} = \mathbf{\dfrac{-27}{2}}$$

• Phép chia:

$$a : b = 12 : \left(\dfrac{-9}{8}\right) = 12 \cdot \left(\dfrac{-8}{9}\right) = \dfrac{12 \cdot (-8)}{9} = \dfrac{4 \cdot (-8)}{3} = \mathbf{\dfrac{-32}{3}}$$

Cột 3 $\left(a = \dfrac{-5}{6},\, b = 3\right)$

• Phép nhân:

$$a \cdot b = \dfrac{-5}{6} \cdot 3 = \dfrac{(-5) \cdot 3}{6} = \mathbf{\dfrac{-5}{2}}$$

• Phép chia:

$$a : b = \dfrac{-5}{6} : 3 = \dfrac{-5}{6} \cdot \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{-5}{18}}$$

Bài 6.28 Tính giá trị biểu thức:

a) $\mathbf{\dfrac{7}{8} + \dfrac{7}{8} : \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2}}$:

• Thực hiện nhân chia trước, cộng trừ sau:

$$\begin{aligned} \dfrac{7}{8} + \dfrac{7}{8} : \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} &= \dfrac{7}{8} + \left(\dfrac{7}{8} \cdot 8\right) - \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{7}{8} + 7 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{8} + \dfrac{56}{8} - \dfrac{4}{8} = \mathbf{\dfrac{59}{8}} \end{aligned}$$

b) $\mathbf{\dfrac{6}{11} + \dfrac{11}{3} \cdot \dfrac{3}{22}}$:

• Rút gọn phép nhân rồi thực hiện phép cộng:

$$\begin{aligned} \dfrac{6}{11} + \dfrac{11}{3} \cdot \dfrac{3}{22} &= \dfrac{6}{11} + \dfrac{11 \cdot 3}{3 \cdot 22} \\ &= \dfrac{6}{11} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{12}{22} + \dfrac{11}{22} = \mathbf{\dfrac{23}{22}} \end{aligned}$$

Bài 6.29 Tính một cách hợp lí:

a) $\mathbf{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{13} - \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{14}{13}}$:

• Đặt thừa số chung $\dfrac{3}{4}$ ra ngoài:

$$\begin{aligned} \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{13} - \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{14}{13} &= \dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{13} - \dfrac{14}{13}\right) \\ &= \dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{-13}{13}\right) = \dfrac{3}{4} \cdot (-1) = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \end{aligned}$$

b) $\mathbf{\dfrac{5}{13} \cdot \left(\dfrac{-3}{10}\right) \cdot \left(\dfrac{-13}{5}\right)}$:

• Nhóm hai phân số nghịch đảo đối nhau:

$$\begin{aligned} \dfrac{5}{13} \cdot \left(\dfrac{-3}{10}\right) \cdot \left(\dfrac{-13}{5}\right) &= \left[\dfrac{5}{13} \cdot \left(\dfrac{-13}{5}\right)\right] \cdot \left(\dfrac{-3}{10}\right) \\ &= (-1) \cdot \left(\dfrac{-3}{10}\right) = \mathbf{\dfrac{3}{10}} \end{aligned}$$

Bài 6.30 Quãng đường từ nhà Nam đến trường:

Mỗi buổi sáng, Nam thường đi xe đạp từ nhà đến trường với vận tốc $15\text{ km/h}$ và hết $20$ phút. Hỏi quãng đường từ nhà Nam đến trường dài bao nhiêu kilômét?

• Đổi đơn vị thời gian: $20\text{ phút} = \dfrac{20}{60}\text{ giờ} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\text{ (giờ)}$.

• Quãng đường từ nhà Nam đến trường là:

$$s = v \cdot t = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = \mathbf{5} \text{ (km)}$$

Đáp số: Quãng đường từ nhà Nam đến trường dài $5\text{ km}$.

Bài 6.31 Tìm chiều rộng hình chữ nhật:

Một hình chữ nhật có chiều dài là $\mathbf{\dfrac{7}{2}\text{ cm}}$, diện tích là $\mathbf{\dfrac{21}{10}\text{ cm}^2}$. Tìm chiều rộng của hình chữ nhật.

• Chiều rộng của hình chữ nhật bằng diện tích chia cho chiều dài:

$$\text{Chiều rộng} = \dfrac{21}{10} : \dfrac{7}{2} = \dfrac{21}{10} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{21 \cdot 2}{10 \cdot 7} = \mathbf{\dfrac{3}{5}} \text{ (cm)}$$

Đáp số: Chiều rộng của hình chữ nhật là $\dfrac{3}{5}\text{ cm}$ (hay $0{,}6\text{ cm}$).

Bài 6.32 Tìm $x$, biết:

a) $\mathbf{x \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{9}}$:

• Tìm thừa số chưa biết:

$$x = \dfrac{7}{9} : \dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{2}{7} = \mathbf{\dfrac{2}{9}}$$

b) $\mathbf{x : \dfrac{8}{5} = \dfrac{5}{2}}$:

• Tìm số bị chia:

$$x = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{8}{5} = \dfrac{5 \cdot 8}{2 \cdot 5} = \dfrac{40}{10} = \mathbf{4}$$

Bài 6.33 Sở thích học tập của học sinh lớp 6A:

Lớp 6A có $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$ số học sinh thích môn Toán. Trong số các học sinh thích môn Toán, có $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$ số học sinh thích môn Ngữ văn. Hỏi có bao nhiêu phần số học sinh lớp 6A thích cả hai môn Toán và Ngữ văn?

• Số phần học sinh lớp 6A thích cả hai môn Toán và Ngữ văn là:

$$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{1}{6}} \text{ (số học sinh cả lớp)}$$

Đáp số: Có $\dfrac{1}{6}$ số học sinh lớp 6A thích cả hai môn Toán và Ngữ văn.

Làm bài tập củng cố của bài này →