Luyện tập chung trang 56
Ôn tập củng cố biến cố chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên, xác suất của biến cố đồng khả năng, giải toán trò chơi vòng quay và gieo xúc xắc SGK Toán 7.
- Phân loại biến cố: chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên.
- Xác suất của biến cố chắc chắn ($P = 1$) và không thể ($P = 0$).
- Quy tắc xác suất của $k$ biến cố đồng khả năng ($P = \frac{1}{k}$).
- Nhận diện và tính chính xác xác suất trong các mô hình trò chơi thực tế (vòng quay, gieo xúc xắc, rút thẻ, bốc bóng).
- Lập luận chứng minh các biến cố đồng khả năng dựa trên tính đối xứng và số lượng kết quả.
Sơ đồ tổng kết: Phân loại biến cố và thang đo xác suất
Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm $6$ phần bằng nhau, mỗi phần là một hình quạt tròn có ghi một trong các số $1; 2; 3; 4; 5; 6$ như Hình 8.3, được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bạn Nam quay tấm bìa.
Hình 8.3: Vòng quay may mắn chia 6 ô và 3 khu vực giải thưởng OAB, OBC, OCA
a) Tìm xác suất của các biến cố sau:
- $A$: "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số bé hơn 7";
- $B$: "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 0";
- $C$: "Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 2".
b) Điểm số thưởng theo khu vực:
Biết rằng nếu mũi tên dừng ở hình quạt ghi số $1$ hoặc $2$ thì Nam nhận được $100$ điểm; dừng ở hình quạt ghi số $3$ hoặc $4$ thì Nam nhận được $200$ điểm; dừng ở hình quạt ghi số $5$ hoặc $6$ thì Nam nhận được $300$ điểm. Xét các biến cố sau:
- $E$: "Nam nhận được 100 điểm";
- $F$: "Nam nhận được 200 điểm";
- $G$: "Nam nhận được 300 điểm".
• Các biến cố $E, F, G$ có đồng khả năng không? Vì sao?
• Tìm xác suất của các biến cố $E, F, G$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ SGK
Giải câu a:
- Các số ghi trên tấm bìa là $1; 2; 3; 4; 5; 6$, tất cả đều bé hơn $7$. Do đó biến cố $A$ là biến cố chắc chắn, có xác suất bằng $1$: $$P(A) = 1.$$
- Trên tấm bìa không có ô nào ghi số $0$. Do đó biến cố $B$ là biến cố không thể, có xác suất bằng $0$: $$P(B) = 0.$$
- Vì $6$ hình quạt có diện tích bằng nhau nên khả năng mũi tên dừng ở mỗi ô là như nhau ($6$ biến cố đồng khả năng). Luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong $6$ biến cố này nên: $$P(C) = \frac{1}{6}.$$
Giải câu b:
- Biến cố $E$ xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt $OAB$ (gồm ô 1 và 2).
- Biến cố $F$ xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt $OBC$ (gồm ô 3 và 4).
- Biến cố $G$ xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt $OCA$ (gồm ô 5 và 6).
- Vì ba hình quạt $OAB, OBC, OCA$ có diện tích bằng nhau (mỗi góc ở tâm đều bằng $120^\circ$) nên ba biến cố $E, F, G$ là đồng khả năng.
- Mũi tên chỉ có thể dừng ở một trong ba hình quạt trên, tức là luôn xảy ra duy nhất một trong ba biến cố $E, F, G$. Do đó xác suất của chúng bằng nhau và bằng: $$P(E) = P(F) = P(G) = \frac{1}{3}.$$
Một túi đựng các tấm thẻ được ghi số $9; 12; 15; 18; 21; 24$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên) thay vào dấu "?" trong các câu sau:
• Biến cố $A$: "Rút được thẻ ghi số là số chẵn" là biến cố [ ? ].
• Biến cố $B$: "Rút được thẻ ghi số chia hết cho 3" là biến cố [ ? ].
• Biến cố $C$: "Rút được thẻ ghi số chia hết cho 10" là biến cố [ ? ].
Xem lời giải chi tiết
• Trong túi có cả thẻ ghi số chẵn ($12; 18; 24$) và thẻ ghi số lẻ ($9; 15; 21$), ta không thể biết trước kết quả. Vậy biến cố $A$ là biến cố ngẫu nhiên.
• Tất cả các số $9; 12; 15; 18; 21; 24$ đều chia hết cho 3. Vì vậy dù rút được tấm thẻ nào thì số ghi trên thẻ đó cũng luôn chia hết cho 3. Biến cố $B$ là biến cố chắc chắn.
• Các số ghi trên thẻ đều có chữ số tận cùng khác 0 nên không có số nào chia hết cho 10. Ta không bao giờ rút được thẻ chia hết cho 10. Biến cố $C$ là biến cố không thể.
Vuông và Tròn mỗi người gieo một con xúc xắc. Tìm xác suất để:
a) Hiệu giữa số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6.
b) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều bé hơn 7.
Xem lời giải chi tiết
a) Số chấm lớn nhất trên một con xúc xắc là $6$, số chấm nhỏ nhất là $1$. Hiệu số chấm lớn nhất có thể đạt được là: $$6 - 1 = 5 < 6.$$ Do đó không thể xảy ra trường hợp hiệu số chấm bằng 6. Đây là biến cố không thể nên xác suất bằng $0$.
b) Mỗi con xúc xắc có các mặt từ $1$ đến $6$ chấm, tất cả các số này đều bé hơn $7$. Vì vậy số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc chắc chắn luôn bé hơn $7$. Đây là biến cố chắc chắn nên xác suất bằng $1$.
Trong một chiếc hộp có 15 quả cầu màu xanh, 15 quả cầu màu đỏ có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ trong hộp. Xét hai biến cố sau:
$A$: "Lấy được quả cầu màu đỏ" và $B$: "Lấy được quả cầu màu xanh".
a) Hai biến cố $A$ và $B$ có đồng khả năng không? Vì sao?
b) Tìm xác suất của biến cố $A$ và biến cố $B$.
Xem lời giải chi tiết
a) Vì số quả cầu đỏ bằng số quả cầu xanh (cùng bằng $15$ quả) và việc lấy quả cầu là ngẫu nhiên nên khả năng lấy được quả màu đỏ và màu xanh là như nhau. Do đó, hai biến cố $A$ và $B$ là đồng khả năng.
b) Khi lấy một quả cầu thì chỉ có thể xảy ra hoặc biến cố $A$ hoặc biến cố $B$. Vì $A$ và $B$ đồng khả năng nên xác suất của chúng bằng nhau và bằng: $$P(A) = P(B) = \frac{1}{2} \text{ (hay } 50\% \text{)}.$$
Chọn ngẫu nhiên một số trong bốn số $11; 12; 13$ và $14$. Tìm xác suất để:
a) Chọn được số chia hết cho 5.
b) Chọn được số có hai chữ số.
c) Chọn được số nguyên tố.
d) Chọn được số chia hết cho 6.
Xem lời giải chi tiết
Có 4 kết quả đồng khả năng khi chọn một số: $11; 12; 13; 14$.
a) Trong bốn số đã cho, không có số nào chia hết cho 5. Biến cố "Chọn được số chia hết cho 5" là biến cố không thể, nên xác suất bằng $0$.
b) Cả bốn số $11; 12; 13; 14$ đều là số có hai chữ số. Biến cố "Chọn được số có hai chữ số" là biến cố chắc chắn, nên xác suất bằng $1$.
c) Trong bốn số đã cho, có hai số nguyên tố là $11$ và $13$. Do đó có 2 kết quả thuận lợi trong 4 kết quả đồng khả năng. Xác suất chọn được số nguyên tố là: $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$
d) Trong bốn số đã cho, chỉ có một số chia hết cho 6 là số $12$. Do đó có 1 kết quả thuận lợi trong 4 kết quả đồng khả năng. Xác suất chọn được số chia hết cho 6 là $\frac{1}{4}$.