Bài tập cuối chương VII
Ôn tập và hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương VII: Biểu thức đại số, đa thức một biến, các phép toán và bài tập thực tế 7.42-7.46 SGK trang 46.
Bài tập cuối chương VII
Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về biểu thức đại số, đa thức một biến, các phép tính và ứng dụng thực tiễn (SGK Toán 7 trang 46).
Sơ đồ hệ thống hóa kiến thức Chương VII
Bốn trụ cột cốt lõi: Khái niệm & Bậc - Bốn phép toán - Nghiệm đa thức - Mô hình hóa thực tiễn
Đa thức thu gọn có dạng $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ ($a_n \neq 0$). Bậc là số mũ cao nhất $n$. Hệ số cao nhất là $a_n$, hệ số tự do là $a_0$.
Phép cộng và trừ theo cột dọc hoặc nhóm hạng tử đồng dạng. Phép nhân áp dụng tính chất phân phối. Phép chia: $A = B \cdot Q + R$ (với $R = 0$ hoặc $\deg(R) < \deg(B)$).
Số $x_0$ là nghiệm của $P(x) \iff P(x_0) = 0$. Một đa thức bậc $n$ có tối đa $n$ nghiệm. Đa thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ có $a + b + c = 0$ luôn có một nghiệm $x = 1$.
Biểu diễn các đại lượng thực tế dưới dạng đa thức (tiền cước taxi, quãng đường, diện tích, thể tích) và tính toán giá trị tại các điểm xác định.
Giải chi tiết toàn bộ bài tập cuối chương VII (SGK trang 46)
Một hãng taxi quy định giá cước như sau: $0{,}5\text{ km}$ đầu tiên giá $8\,000$ đồng; tiếp theo cứ mỗi kilômét giá $11\,000$ đồng. Giả sử một người thuê xe đi $x$ (kilômét).
a) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị số tiền mà người đó phải trả là một đa thức. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.
b) Giá trị của đa thức tại $x = 9$ nói lên điều gì?
Xem lời giải chi tiết Bài 7.42
a) Thiết lập biểu thức số tiền phải trả:
Khi quãng đường đi $x > 0{,}5\text{ km}$, quãng đường tiếp theo ngoài $0{,}5\text{ km}$ đầu là: $x - 0{,}5$ (km).
Số tiền phải trả cho quãng đường tiếp theo là: $11\,000(x - 0{,}5)$ (đồng).
Tổng số tiền người đó phải trả là:
$$T(x) = 8\,000 + 11\,000(x - 0{,}5) = 8\,000 + 11\,000x - 5\,500 = 11\,000x + 2\,500 \text{ (đồng)}$$
Vì $T(x) = 11\,000x + 2\,500$ là một biểu thức dạng $ax + b$, nên nó là một đa thức một biến $x$.
- Bậc của đa thức: bậc 1.
- Hệ số cao nhất: $11\,000$.
- Hệ số tự do: $2\,500$.
b) Ý nghĩa giá trị tại $x = 9$:
Thay $x = 9$ vào đa thức $T(x)$, ta được:
$$T(9) = 11\,000 \cdot 9 + 2\,500 = 99\,000 + 2\,500 = 101\,500 \text{ (đồng)}$$
Ý nghĩa: Số tiền người đó phải trả cho hãng taxi khi đi quãng đường $9\text{ km}$ là $101\,500$ đồng.
Cho đa thức bậc hai $F(x) = ax^2 + bx + c$, trong đó $a, b$ và $c$ là những số với $a \neq 0$.
a) Cho biết $a + b + c = 0$. Giải thích tại sao $x = 1$ là một nghiệm của $F(x)$.
b) Áp dụng, hãy tìm một nghiệm của đa thức bậc hai $2x^2 - 5x + 3$.
Xem lời giải chi tiết Bài 7.43
a) Giải thích $x = 1$ là một nghiệm:
Ta tính giá trị của đa thức $F(x)$ tại $x = 1$:
$$F(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$$
Theo giả thiết, $a + b + c = 0$, do đó $F(1) = 0$.
Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, giá trị làm cho đa thức bằng 0 chính là nghiệm. Vậy $x = 1$ là một nghiệm của $F(x)$.
b) Áp dụng tìm nghiệm của $2x^2 - 5x + 3$:
Đa thức có các hệ số: $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$.
Tổng các hệ số: $a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0$.
Áp dụng kết quả ở câu a, ta thấy ngay $x = 1$ là một nghiệm của đa thức.
* Mở rộng: Nghiệm còn lại là $x = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1{,}5$.
Cho đa thức $A = x^4 + x^3 - 2x - 2$.
a) Tìm đa thức $B$ sao cho $A + B = x^3 + 3x + 1$.
b) Tìm đa thức $C$ sao cho $A - C = x^5$.
c) Tìm đa thức $D$, biết rằng $D = (2x^2 - 3) \cdot A$.
d) Tìm đa thức $P$ sao cho $A = (x + 1) \cdot P$.
e) Có hay không một đa thức $Q$ sao cho $A = (x^2 + 1) \cdot Q$?
Xem lời giải chi tiết Bài 7.44
a) Tìm $B$:
$$B = (x^3 + 3x + 1) - A = (x^3 + 3x + 1) - (x^4 + x^3 - 2x - 2)$$
$$\implies B = -x^4 + 5x + 3$$
b) Tìm $C$:
$$C = A - x^5 = (x^4 + x^3 - 2x - 2) - x^5$$
$$\implies C = -x^5 + x^4 + x^3 - 2x - 2$$
c) Nhân đa thức $D = (2x^2 - 3) \cdot A$:
$$D = 2x^2(x^4 + x^3 - 2x - 2) - 3(x^4 + x^3 - 2x - 2)$$
$$= (2x^6 + 2x^5 - 4x^3 - 4x^2) - (3x^4 + 3x^3 - 6x - 6)$$
$$\implies D = 2x^6 + 2x^5 - 3x^4 - 7x^3 - 4x^2 + 6x + 6$$
d) Tìm đa thức $P$:
Nhóm các hạng tử của $A$:
$$A = (x^4 + x^3) - (2x + 2) = x^3(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)(x^3 - 2)$$
$$\implies P = x^3 - 2$$
e) Xét xem có tồn tại đa thức $Q$ hay không:
Ta thực hiện chia đa thức $A$ cho $x^2 + 1$:
$$x^4 + x^3 - 2x - 2 = (x^2 + 1)(x^2 + x - 1) + (-3x - 1)$$
Vì phép chia có phần dư là $R = -3x - 1 \neq 0$ nên $A$ không chia hết cho $x^2 + 1$.
Vậy không tồn tại đa thức $Q$ thỏa mãn $A = (x^2 + 1) \cdot Q$.
Cho đa thức $P(x)$. Giải thích tại sao nếu có đa thức $Q(x)$ sao cho $P(x) = (x - 3) \cdot Q(x)$ (tức là $P(x)$ chia hết cho $x - 3$) thì $x = 3$ là một nghiệm của $P(x)$.
Xem lời giải chi tiết Bài 7.45
Ta có đẳng thức: $P(x) = (x - 3) \cdot Q(x)$.
Thay giá trị $x = 3$ vào biểu thức của đa thức $P(x)$, ta được:
$$P(3) = (3 - 3) \cdot Q(3) = 0 \cdot Q(3) = 0$$
Vì giá trị của đa thức tại $x = 3$ bằng 0 ($P(3) = 0$), nên theo đúng định nghĩa nghiệm của đa thức, $x = 3$ là một nghiệm của $P(x)$.
Hãy cho biết ý kiến của em và nêu một ví dụ minh hoạ.
Xem lời giải chi tiết Bài 7.46
1. Ý kiến của Tròn là SAI:
Vì tổng của hai đa thức bậc hai có bậc cao nhất là 2 (nếu các hạng tử bậc hai không triệt tiêu) hoặc nhỏ hơn 2 (nếu các hạng tử bậc hai đối nhau triệt tiêu). Không thể xuất hiện hạng tử bậc 3 ($x^3$). Do đó, đa thức $M(x)$ có bậc 3 không thể là tổng của hai đa thức bậc hai.
2. Ý kiến của Vuông là ĐÚNG:
Ta hoàn toàn có thể chọn hai đa thức bậc bốn có hệ số của $x^4$ đối nhau để khi cộng lại chúng triệt tiêu nhau, để lại đa thức tổng bậc ba.
Ví dụ minh hoạ:
Chọn hai đa thức bậc bốn:
$$P(x) = x^4 + x^3 \quad \text{và} \quad Q(x) = -x^4 + 1$$
Cả $P(x)$ và $Q(x)$ đều là đa thức bậc 4. Khi đó:
$$P(x) + Q(x) = (x^4 + x^3) + (-x^4 + 1) = x^3 + 1 = M(x)$$
Vậy ý kiến của Vuông hoàn toàn chính xác!