Bài 25: Đa thức một biến
Bài 25: Đa thức một biến - Đơn thức, thu gọn, sắp xếp, bậc, hệ số và nghiệm của đa thức
BÀI 25: ĐA THỨC MỘT BIẾN
Khám phá đơn thức, đa thức thu gọn, bậc, hệ số và nghiệm của đa thức một biến
- Đơn thức (một biến), bậc của đơn thức
- Đa thức (một biến), hạng tử, đa thức không
- Đa thức thu gọn, bậc của đa thức
- Hệ số cao nhất, hệ số tự do
- Nghiệm của đa thức một biến
- Nhận biết đơn thức, đa thức một biến và xác định các hạng tử.
- Cộng, trừ, nhân các đơn thức và thu gọn, sắp xếp đa thức.
- Xác định chính xác bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do.
- Tính giá trị của đa thức và kiểm tra, tìm nghiệm của đa thức.
Độ cao $H\text{ (mét)}$ của một vật (so với mặt đất) khi được ném lên từ một điểm trên mặt đất được biểu thị bởi biểu thức: $$H = -5x^2 + 15x$$ trong đó $x\text{ (giây)}$ là thời gian tính từ thời điểm ném vật.
Câu hỏi: Sau bao lâu kể từ khi được ném lên, vật sẽ rơi trở lại mặt đất?
Dễ thấy biểu thức $H$ có vai trò đặc biệt quan trọng: vật chạm đất khi độ cao $H = 0$. Giá trị của $x$ làm cho $H = 0$ được gọi là nghiệm của đa thức!
Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến.
• Số thực gọi là hệ số.
• Số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.
• Biểu thức $4x^3$ có hệ số là $4$, bậc là $3$.
• Đơn thức $-0{,}5x$ có hệ số là $-0{,}5$, bậc là $1$ (vì $x = x^1$).
• Một số khác $0$ là một đơn thức bậc $0$ (chẳng hạn số $2 = 2x^0$).
• Chú ý: Số $0$ cũng được coi là một đơn thức, nhưng đơn thức này không có bậc.
• Cộng (trừ) hai đơn thức cùng bậc: Cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến.
Chẳng hạn: $-3x^4 + x^4 = (-3 + 1)x^4 = -2x^4$; \quad $3{,}7x^2 - 1{,}2x^2 = 2{,}5x^2$.
• Nhân hai đơn thức: Nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau.
Chẳng hạn: $(0{,}5x) \cdot (6x^2) = (0{,}5 \cdot 6)(x \cdot x^2) = 3x^3$.
Tính: a) $5x^3 + x^3$; \quad b) $\frac{7}{4}x^5 - \frac{3}{4}x^5$; \quad c) $(-0{,}25x^2) \cdot (8x^3)$.
Xem lời giải chi tiết
a) $5x^3 + x^3 = (5 + 1)x^3 = 6x^3$.
b) $\frac{7}{4}x^5 - \frac{3}{4}x^5 = \left(\frac{7}{4} - \frac{3}{4}\right)x^5 = \frac{4}{4}x^5 = x^5$.
c) $(-0{,}25x^2) \cdot (8x^3) = [(-0{,}25) \cdot 8](x^2 \cdot x^3) = -2x^5$.
• Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
• Đa thức thu gọn: Là đa thức không còn chứa hai đơn thức nào cùng bậc.
• Sắp xếp đa thức: Để thuận tiện cho việc tính toán, người ta thường sắp xếp các hạng tử của đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.
Thu gọn đa thức $P = 2x^3 - 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$.
Xem lời giải
$P = (2x^3 + 4x^3) - 5x^2 + (4x + x) + 9$
$= 6x^3 - 5x^2 + 5x + 9$.
Sắp xếp: $A = 3x - 4x^4 + x^3$; \quad $B = -2x^3 - 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 - 5$.
Xem lời giải
• $A = -4x^4 + x^3 + 3x$.
• $B = (-2x^3 + 2x^3) + (-5x^2 + x^2) + 4x - 5 = -4x^2 + 4x - 5$.
Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:
• Bậc của đa thức: Là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số tự do: Là hệ số của hạng tử bậc 0 (hạng tử không chứa biến).
Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của: a) $5x^2 - 2x + 1 - 3x^4$; \quad b) $1{,}5x^2 - 3{,}4x^4 + 0{,}5x^2 - 1$.
Xem đáp án
a) Sắp xếp: $-3x^4 + 5x^2 - 2x + 1$. Bậc là 4; Hệ số cao nhất là -3; Hệ số tự do là 1.
b) Thu gọn: $-3{,}4x^4 + (1{,}5 + 0{,}5)x^2 - 1 = -3{,}4x^4 + 2x^2 - 1$. Bậc là 4; Hệ số cao nhất là -3,4; Hệ số tự do là -1.
Định nghĩa nghiệm:
Nếu tại $x = a$, đa thức $F(x)$ có giá trị bằng $0$, tức là $F(a) = 0$, thì ta gọi $a$ (hoặc $x = a$) là một nghiệm của đa thức $F(x)$.
• Một đa thức có thể không có nghiệm nào, có 1 nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.
• Nhận xét quan trọng: Nếu đa thức có hệ số tự do bằng $0$ thì $x = 0$ luôn là một nghiệm của đa thức đó.
Tìm nghiệm của đa thức $E(x) = x^2 + x$.
Xem lời giải
Cho $E(x) = 0 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$.
Suy ra $x = 0$ hoặc $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Vậy đa thức $E(x)$ có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = -1$.
a) Tính $\left(\frac{1}{2}x^3\right) \cdot (-4x^2)$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
b) Tính $\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{2}x^3$. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
Xem lời giải chi tiết
a) $\left(\frac{1}{2}x^3\right) \cdot (-4x^2) = \left[\frac{1}{2} \cdot (-4)\right](x^3 \cdot x^2) = -2x^5$.
⇒ Đơn thức có hệ số là $-2$ và bậc là $5$.
b) $\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{2}x^3 = \left(\frac{1}{2} - \frac{5}{2}\right)x^3 = -\frac{4}{2}x^3 = -2x^3$.
⇒ Đơn thức có hệ số là $-2$ và bậc là $3$.
Cho hai đa thức: $A(x) = x^3 + \frac{3}{2}x - 7x^4 + \frac{1}{2}x - 4x^2 + 9$ và $B(x) = x^5 - 3x^2 + 8x^4 - 5x^2 - x^5 + x - 7$.
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.
Xem lời giải chi tiết
a) Thu gọn và sắp xếp theo luỹ thừa giảm:
• $A(x) = -7x^4 + x^3 - 4x^2 + \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)x + 9 = -7x^4 + x^3 - 4x^2 + 2x + 9$.
• $B(x) = (x^5 - x^5) + 8x^4 + (-3x^2 - 5x^2) + x - 7 = 8x^4 - 8x^2 + x - 7$.
b) Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do:
• Đa thức $A(x)$: Bậc là $4$; Hệ số cao nhất là $-7$; Hệ số tự do là $9$.
• Đa thức $B(x)$: Bậc là $4$; Hệ số cao nhất là $8$; Hệ số tự do là $-7$.
Cho hai đa thức: $P(x) = 5x^3 + 2x^4 - x^2 + 3x^2 - x^3 - 2x^4 - 4x^3$ và $Q(x) = 3x - 4x^3 + 8x^2 - 5x + 4x^3 + 5$.
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Sử dụng kết quả câu a để tính $P(1), P(0), Q(-1)$ và $Q(0)$.
Xem lời giải chi tiết
a) Thu gọn và sắp xếp:
• $P(x) = (2x^4 - 2x^4) + (5x^3 - x^3 - 4x^3) + (-x^2 + 3x^2) = 2x^2$.
• $Q(x) = (-4x^3 + 4x^3) + 8x^2 + (3x - 5x) + 5 = 8x^2 - 2x + 5$.
b) Tính các giá trị:
• $P(1) = 2(1)^2 = 2$; \quad $P(0) = 2(0)^2 = 0$.
• $Q(-1) = 8(-1)^2 - 2(-1) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15$; \quad $Q(0) = 8(0)^2 - 2(0) + 5 = 5$.
Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được $22\text{ m}^3$ nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được $16\text{ m}^3$ nước. Sau khi cả hai máy chạy trong $x\text{ giờ}$, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm $0{,}5\text{ giờ}$ nữa thì bể nước đầy.
Hãy viết đa thức (biến $x$) biểu thị dung tích của bể ($\text{m}^3$), biết rằng trước khi bơm, trong bể có $1{,}5\text{ m}^3$ nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.
Xem lời giải chi tiết
• Trong $x\text{ giờ}$, máy thứ nhất bơm được: $22x\text{ (m}^3)$.
• Thời gian máy thứ hai chạy là $x + 0{,}5\text{ (giờ)}$, nên máy thứ hai bơm được: $16(x + 0{,}5) = 16x + 8\text{ (m}^3)$.
• Ban đầu trong bể đã có sẵn $1{,}5\text{ m}^3$ nước.
Dung tích của bể được biểu thị bởi đa thức:
$$V(x) = 1{,}5 + 22x + 16x + 8 = 38x + 9{,}5\text{ (m}^3).$$
• Hệ số cao nhất là $38$; Hệ số tự do là $9{,}5$.
Viết đa thức $F(x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
• Bậc của $F(x)$ bằng 3.
• Hệ số của $x^2$ bằng hệ số của $x$ và bằng 2.
• Hệ số cao nhất của $F(x)$ bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.
Xem lời giải chi tiết
Đa thức $F(x)$ bậc 3 có dạng tổng quát: $F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$).
• Hệ số cao nhất $a = -6$.
• Hệ số của $x^2$ là $b = 2$, hệ số của $x$ là $c = 2$.
• Hệ số tự do $d = 3$.
Vậy đa thức cần tìm là: $F(x) = -6x^3 + 2x^2 + 2x + 3$.
Kiểm tra xem:
a) $x = -\frac{1}{8}$ có phải là nghiệm của đa thức $P(x) = 4x + \frac{1}{2}$ không?
b) Trong ba số $1; -1$ và $2$, số nào là nghiệm của đa thức $Q(x) = x^2 + x - 2$?
Xem lời giải chi tiết
a) Thay $x = -\frac{1}{8}$ vào $P(x)$, ta được:
$$P\left(-\frac{1}{8}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.$$
Vậy $x = -\frac{1}{8}$ là một nghiệm của đa thức $P(x)$.
b) Xét các giá trị của $Q(x)$:
• $Q(1) = 1^2 + 1 - 2 = 0 \implies x = 1$ là một nghiệm.
• $Q(-1) = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2 \neq 0 \implies x = -1$ không phải là nghiệm.
• $Q(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 \neq 0 \implies x = 2$ không phải là nghiệm.
Vậy trong ba số đã cho, chỉ có số $1$ là nghiệm của đa thức $Q(x)$.
Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá $x$ (nghìn đồng).
a) Hãy tìm đa thức (biến $x$) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.
b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?
Xem lời giải chi tiết
a) Tổng số tiền Quỳnh mua đồ là: $37 + x$ (nghìn đồng).
Đa thức biểu thị số tiền Quỳnh còn lại là:
$$T(x) = 100 - (37 + x) = 63 - x \quad \text{hay} \quad T(x) = -x + 63.$$
• Đa thức $T(x)$ có bậc là $1$.
b) Tiêu vừa hết tiền nghĩa là số tiền còn lại bằng $0$, tức là $T(x) = 0$:
$$-x + 63 = 0 \implies x = 63\text{ (nghìn đồng)}.$$
Vậy giá tiền của cuốn sách tham khảo môn Toán là $63$ nghìn đồng.
- Mỗi đa thức bậc nhất với biến $x$ đều có thể viết dưới dạng $ax + b$ ($a \neq 0$). Do đó ta còn gọi đa thức bậc nhất là nhị thức bậc nhất (vì có hai hạng tử).
- Mỗi đa thức bậc hai với biến $x$ đều có thể viết dưới dạng $ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$). Do đó ta còn gọi đa thức bậc hai là tam thức bậc hai (vì có ba hạng tử).