Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $A'B'C'$ có:

• $AB = A'B'$ (theo giả thiết);
• $\widehat{A} = \widehat{A'} = 90^\circ$ (góc xen giữa hai cạnh góc vuông);
• $AC = A'C'$ (theo giả thiết).

Do đó $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (c.g.c).

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $A'B'C'$ có:

• $\widehat{A} = \widehat{A'} = 90^\circ$;
• $AB = A'B'$ (theo giả thiết);
• $\widehat{B} = \widehat{B'}$ (theo giả thiết).

Do cạnh $AB$ nằm kề với hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{B}$, tương tự cạnh $A'B'$ nằm kề hai góc $\widehat{A'}$ và $\widehat{B'}$, nên theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (g.c.g).

Mỗi chiếc cột dựng vuông góc với mặt đất nên góc giữa chiếc cột và bóng của nó trên mặt đất là góc vuông $90^\circ$.

Hai tam giác vuông tạo bởi hai chiếc cột và bóng của chúng có:

• Một cặp cạnh góc vuông bằng nhau (hai chiếc cột cao bằng nhau);
• Góc nhọn kề cạnh góc vuông đó bằng nhau (góc tạo bởi tia nắng Mặt Trời và đỉnh chiếc cột xem như bằng nhau).

Do đó, hai tam giác vuông đó bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề. Suy ra cạnh góc vuông còn lại (độ dài bóng của chiếc cột trên mặt đất) cũng bằng nhau.

Kết luận: Lí do bạn Tròn đưa ra là chưa đầy đủ. Để bóng hai chiếc cột dài bằng nhau, ngoài điều kiện hai chiếc cột có cùng chiều cao thì cần thêm điều kiện góc tạo bởi tia nắng và chiếc cột ở hai vị trí phải bằng nhau (do Mặt Trời ở rất xa Trái Đất nên các tia nắng song song với nhau).

a) Trong tam giác vuông $ABC$ có $\widehat{A} = 90^\circ$, ta có $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B}$.
Tương tự, trong tam giác vuông $A'B'C'$ có $\widehat{A'} = 90^\circ$, ta có $\widehat{C'} = 90^\circ - \widehat{B'}$.
Vì $\widehat{B} = \widehat{B'}$ nên $\widehat{C} = \widehat{C'}$.
Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $A'B'C'$ có:

• $\widehat{B} = \widehat{B'}$;
• $BC = B'C'$ (cạnh huyền bằng nhau);
• $\widehat{C} = \widehat{C'}$.

Suy ra $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (g.c.g).

b) Vì $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ nên $AC = A'C'$ (hai cạnh tương ứng). Vậy độ cao của hai con dốc là bằng nhau.

a) Hai tam giác vuông $BAC$ (vuông tại $B$) và $DAC$ (vuông tại $D$) có:

• $AC$ là cạnh huyền chung;
• $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ (theo giả thiết).

Vậy $\triangle BAC = \triangle DAC$ (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Hai tam giác $BAE$ và $DAE$ có:

• $AE$ là cạnh chung;
• $\widehat{BAE} = \widehat{BAC} = \widehat{DAC} = \widehat{DAE}$ (theo giả thiết);
• $AB = AD$ (do $\triangle BAC = \triangle DAC$).

Vậy $\triangle BAE = \triangle DAE$ (c.g.c), suy ra $\widehat{BEA} = \widehat{DEA}$ (hai góc tương ứng).
Mà $\widehat{BEA} + \widehat{DEA} = 180^\circ$ (hai góc kề bù), nên $\widehat{BEA} = \widehat{DEA} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Vậy $AC \perp BD$ tại $E$.

Xét hai tam giác vuông $OMA$ (vuông tại $A$) và $OMB$ (vuông tại $B$) có:

• $OM$ là cạnh huyền chung;
• $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (do $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$, $M \in Oz$).

Suy ra $\triangle OMA = \triangle OMB$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng).

a) Dùng thước thẳng đo, ta thấy $AC = A'C' = 4\text{ cm}$.

b) Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có $AB = A'B' = 3\text{ cm}, AC = A'C' = 4\text{ cm}, BC = B'C' = 5\text{ cm}$.
Do đó $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (c.c.c).

Hai tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $B$) và $ADC$ (vuông tại $D$) có:

• $AB = AD$ (theo giả thiết);
• $AC$ là cạnh huyền chung.

Vậy $\triangle ABC = \triangle ADC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Vì $A, B, C$ thuộc đường tròn $(O)$ nên bán kính $OA = OB = OC$.

Bức tường dựng thẳng đứng vuông góc với mặt đất nên $\widehat{AHB} = \widehat{A'H'B'} = 90^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $A'H'B'$ có:

• Cạnh huyền $AB = A'B'$ (hai chiếc thang dài như nhau);
• Cạnh góc vuông $BH = B'H'$ (cùng độ cao bức tường).

Do đó $\triangle AHB = \triangle A'H'B'$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BAH} = \widehat{B'A'H'}$ (hai góc tương ứng). Vậy các góc $\widehat{BAH}$ và $\widehat{B'A'H'}$ bằng nhau.

Trong tam giác vuông $ABE$ có $\widehat{A} = 90^\circ$, ta có: $\widehat{ABE} + \widehat{AEB} = 90^\circ \implies \widehat{ABE} = 90^\circ - \widehat{AEB}$.

Trong tam giác vuông $DCE$ có $\widehat{D} = 90^\circ$, ta có: $\widehat{DCE} + \widehat{DEC} = 90^\circ \implies \widehat{DCE} = 90^\circ - \widehat{DEC}$.

Mà $\widehat{AEB} = \widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh), nên suy ra $\widehat{ABE} = \widehat{DCE}$.

Xét hai tam giác vuông $ABE$ (vuông tại $A$) và $DCE$ (vuông tại $D$) có:

• $AB = CD$ (theo giả thiết);
• $\widehat{ABE} = \widehat{DCE}$ (góc nhọn kề cạnh góc vuông).

Vậy $\triangle ABE = \triangle DCE$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên:

• $\widehat{B} = \widehat{C} = 90^\circ$;
• $AB = CD$ (hai cạnh đối của hình chữ nhật).

Vì $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên $BM = CM$.

Xét hai tam giác vuông $ABM$ (vuông tại $B$) và $DCM$ (vuông tại $C$) có:

• $AB = DC$ (chứng minh trên);
• $BM = CM$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle ABM = \triangle DCM$ (hai cạnh góc vuông).