Luyện tập chung trang 68

a) Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$:

$x + 65^\circ + 55^\circ = 180^\circ \implies x = 180^\circ - 65^\circ - 55^\circ = 60^\circ$.

b)

• Vì góc $y$ và góc $115^\circ$ là hai góc kề bù nên:

$y + 115^\circ = 180^\circ \implies y = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

• Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác:

$y + z + 45^\circ = 180^\circ \implies z = 180^\circ - y - 45^\circ = 180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 70^\circ$.

(Cách khác: Áp dụng định lí góc ngoài, ta có $z + 45^\circ = 115^\circ \implies z = 115^\circ - 45^\circ = 70^\circ$).

a) Xét hai tam giác $ABC$ và $ABD$ có:

$AC = AD$ (theo giả thiết);

$BC = BD$ (theo giả thiết);

$AB$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle ABC = \triangle ABD$ (c.c.c).

b)

• Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên:

$\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{BAC} = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ$.

• Theo câu a, vì $\triangle ABC = \triangle ABD$ nên $\widehat{ADB} = \widehat{ACB} = 80^\circ$ (hai góc tương ứng).

Áp dụng định lí: trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng $90^\circ$):

• Hình 1: $x + 60^\circ = 90^\circ \implies x = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

• Hình 2: $y + 50^\circ = 90^\circ \implies y = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

• Hình 3: $z + 45^\circ = 90^\circ \implies z = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

• Tam giác $ABC$: $\widehat{A} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^\circ - (35^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Vì $\widehat{A} = 120^\circ > 90^\circ$ nên tam giác $ABC$ là tam giác tù.

• Tam giác $DFE$: $\widehat{F} = 180^\circ - (\widehat{D} + \widehat{E}) = 180^\circ - (55^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Vì cả ba góc đều nhọn nên tam giác $DFE$ là tam giác nhọn.

• Tam giác $PMN$: $\widehat{P} = 180^\circ - (\widehat{M} + \widehat{N}) = 180^\circ - (55^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Vì $\widehat{P} = 90^\circ$ nên tam giác $PMN$ là tam giác vuông tại $P$.

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có:

$AB = AC$ (theo giả thiết);

$DB = DC$ (theo giả thiết);

$AD$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle ABD = \triangle ACD$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{DAB} = \widehat{DAC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{DAC} = 60^\circ$ nên $\widehat{DAB} = 60^\circ$.

• Tính $\widehat{AMB}$: Vì $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù nên:

$\widehat{AMB} = 180^\circ - \widehat{AMC} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

• Tính $\widehat{ABC}$: Trong tam giác $ABM$, tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên:

$\widehat{ABC} = \widehat{ABM} = 180^\circ - (\widehat{BAM} + \widehat{AMB}) = 180^\circ - (20^\circ + 100^\circ) = 60^\circ$.

• Tính $\widehat{BAC}$: Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên:

$\widehat{BAC} = 180^\circ - (\widehat{ABC} + \widehat{BCA}) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$ nên các góc tương ứng bằng nhau:

• $\widehat{D} = \widehat{A} = 60^\circ$.

• $\widehat{B} = \widehat{E} = 80^\circ$.

• Trong tam giác $ABC$, áp dụng định lí tổng ba góc:

$\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

• Do $\triangle ABC = \triangle DEF$ nên $\widehat{F} = \widehat{C} = 40^\circ$.

Kết luận: $\widehat{B} = 80^\circ, \widehat{C} = 40^\circ, \widehat{D} = 60^\circ, \widehat{F} = 40^\circ$.