Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

• Vì hai tam giác được cắt ra từ hai lớp giấy chồng lên nhau nên khi đặt trùng khít:

+ Các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

+ Các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

• Người ta nói hai tam giác đó là hai tam giác bằng nhau.

a) Trong tam giác $ABC$: $\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B}$ (1).

Trong tam giác $MNP$: $\widehat{P} = 180^\circ - \widehat{M} - \widehat{N}$ (2).

Vì $\widehat{A} = \widehat{M}$ và $\widehat{B} = \widehat{N}$ nên từ (1) và (2) suy ra $\widehat{C} = \widehat{P}$.

b) Hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có:

$AB = MN, BC = NP, CA = PM$ (theo giả thiết);

$\widehat{A} = \widehat{M}, \widehat{B} = \widehat{N}$ (theo giả thiết), $\widehat{C} = \widehat{P}$ (chứng minh trên).

Vậy hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau. Do đó $\triangle ABC = \triangle MNP$.

• Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$ nên $EF = BC = 4\text{ cm}$ (hai cạnh tương ứng).

• Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên:

$\widehat{BAC} = 180^\circ - (\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ$.

• Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$ nên $\widehat{EDF} = \widehat{BAC} = 80^\circ$ (hai góc tương ứng).

• Theo cách vẽ:

$A, B$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ nên $OA = OB$.

$M$ thuộc đường tròn $(A; AO)$ nên $AM = AO$.

$M$ thuộc đường tròn $(B; BO)$ nên $BM = BO$.

Vì $AO = BO$ nên suy ra $AM = BM$.

• Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$ có:

$OA = OB$; $AM = BM$; $OM$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle OAM = \triangle OBM$ (c.c.c).

• Suy ra $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (hai góc tương ứng).

Vì tia $OM$ nằm trong góc $xOy$ và chia góc $xOy$ thành hai góc bằng nhau nên tia $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Từ Hình 4.18, ta có:

$AC = DE$ (cùng có 1 vạch tick);

$AB = FE$ (cùng có 2 vạch tick);

$BC = DF$ (cùng có dấu chéo x).

Xác định các cặp đỉnh tương ứng:

• Đỉnh $A$ (nằm giữa cạnh 1 vạch và 2 vạch) tương ứng với đỉnh $E$ (nằm giữa cạnh 1 vạch $DE$ và 2 vạch $FE$). Vậy $A \leftrightarrow E$.

• Đỉnh $C$ (nằm giữa cạnh 1 vạch và dấu x) tương ứng với đỉnh $D$ (nằm giữa cạnh 1 vạch $DE$ và dấu x $DF$). Vậy $C \leftrightarrow D$.

• Đỉnh $B$ (nằm giữa cạnh 2 vạch và dấu x) tương ứng với đỉnh $F$ (nằm giữa cạnh 2 vạch $FE$ và dấu x $DF$). Vậy $B \leftrightarrow F$.

Do đó các cách viết đúng là: $\triangle ABC = \triangle EFD$, $\triangle ACB = \triangle EDF$, $\triangle BAC = \triangle FED$, $\triangle CAB = \triangle DEF$.

• Đối chiếu 4 khẳng định:

- Khẳng định (1) sai vì đỉnh $A \leftrightarrow E \neq D$.

- Khẳng định (2) ĐÚNG ($\triangle ACB = \triangle EDF$).

- Khẳng định (3) sai vì $B \leftrightarrow F \neq D$.

- Khẳng định (4) sai vì $C \leftrightarrow D, A \leftrightarrow E, B \leftrightarrow F \implies \triangle CAB = \triangle DEF$.

Kết luận: Khẳng định (2) và (4) đúng.

Dựa vào lưới ô vuông, ta thấy tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật với chiều dài $AB = CD = 11$ ô, chiều rộng $AD = BC = 5$ ô.

• Cặp 1: $\triangle ABD = \triangle CDB$ (c.c.c):

Vì $AB = CD$, $AD = CB$, $BD$ là cạnh chung.

• Cặp 2: $\triangle ABC = \triangle CDA$ (c.c.c):

Vì $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ là cạnh chung.

(Ngoài ra nếu gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ thì còn có cặp $\triangle OAB = \triangle OCD$ và $\triangle OAD = \triangle OCB$).

a) Chứng minh $\triangle ABD = \triangle CBD$:

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CBD$ có:

$AB = CB$ (theo giả thiết);

$AD = CD$ (theo giả thiết);

$BD$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle ABD = \triangle CBD$ (c.c.c).

b) Tính $\widehat{ABC}$:

• Vì $\triangle ABD = \triangle CBD$ nên:

$\widehat{ADB} = \widehat{CDB} = 30^\circ$ (hai góc tương ứng).

• Trong tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $A$ do $\widehat{DAB} = 90^\circ$):

$\widehat{ABD} = 90^\circ - \widehat{ADB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

• Vì $\triangle ABD = \triangle CBD$ nên $\widehat{CBD} = \widehat{ABD} = 60^\circ$ (hai góc tương ứng).

• Tia $BD$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BC$ nên:

$\widehat{ABC} = \widehat{ABD} + \widehat{CBD} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.