Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác
Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác - Định lí 180 độ, tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác vuông và định lí góc ngoài
Tam giác, tam giác nhọn, tam giác vuông, tam giác tù, cạnh góc vuông, cạnh huyền, góc ngoài của tam giác.
- Giải thích định lí về tổng các góc trong một tam giác bằng $180^\circ$.
- Tính số đo các góc của tam giác, nhận biết các loại tam giác và vận dụng định lí góc ngoài.
Người ta có thể xếp các viên gạch hình tam giác giống hệt nhau để trang trí như Hình 4.1. Em có nhận xét gì về ba góc tại mỗi đỉnh chung của ba tam giác? Từ đó em rút ra kết luận gì về vị trí của ba điểm $A, B, C$?
Vẽ tam giác $MNP$ bất kì, đo ba góc của tam giác đó. Tổng số đo ba góc của tam giác $MNP$ bằng bao nhiêu? So sánh kết quả của em với các bạn và rút ra nhận xét.
Xem lời giải chi tiết
- Thực hành đo các góc của tam giác $MNP$ vừa vẽ (chẳng hạn $\widehat{M} = 70^\circ$, $\widehat{N} = 60^\circ$, $\widehat{P} = 50^\circ$).
- Tổng số đo ba góc: $\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 70^\circ + 60^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.
- Nhận xét: Tổng ba góc của mọi tam giác đều bằng $180^\circ$.
Cắt một hình tam giác bằng giấy bất kì (H.4.2a). Đánh dấu ba góc là $x, y, z$. Cắt hai góc $y, z$ và ghép lên góc $x$ như Hình 4.2b. Từ đó, em hãy dự đoán tổng số đo các góc $x, y, z$ của tam giác ban đầu.
Xem lời giải chi tiết
Khi ghép hai góc $y$ và $z$ kề sát với góc $x$, ba góc này tạo thành một góc bẹt. Do đó ta dự đoán tổng số đo ba góc của tam giác ban đầu bằng $180^\circ$:
| Giả thiết | $\triangle ABC$ |
| Kết luận | $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$ |
Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy \parallel BC$.
Vì $xy \parallel BC$ nên $\widehat{B} = \widehat{BAx}$ và $\widehat{C} = \widehat{CAy}$ (các cặp góc so le trong).
Do đó $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{BAC} + \widehat{BAx} + \widehat{CAy} = \widehat{xAy} = 180^\circ$.
Tổng ba góc tại mỗi đỉnh chung của ba tam giác (chẳng hạn tại $B$ trong Hình 4.1) bằng bao nhiêu độ? Ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng không?
Xem câu trả lời
Xem lời giải chi tiết
• Trong tam giác $ABC$, ta có $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
Do đó: $\widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$.
• Trong tam giác $DEF$, ta có:
$\widehat{D} = 180^\circ - \widehat{E} - \widehat{F} = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ$.
• Trong tam giác $MNP$, ta có:
$\widehat{P} = 180^\circ - \widehat{M} - \widehat{N} = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
- Tam giác có ba góc đều nhọn gọi là tam giác nhọn (chẳng hạn tam giác $ABC$ trong H.4.4a).
- Tam giác có một góc tù gọi là tam giác tù (chẳng hạn tam giác $DEF$ trong H.4.4b).
- Tam giác có một góc vuông gọi là tam giác vuông (chẳng hạn tam giác $MNP$ trong H.4.4c). Trong tam giác $MNP$ vuông tại $M$, hai cạnh $MN$ và $MP$ là hai cạnh góc vuông, cạnh $NP$ là cạnh huyền.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính tổng hai góc $B$ và $C$.
Xem lời giải chi tiết
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{A} = 90^\circ$.
Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác:
Cho tam giác $ABC$ và $Cx$ là tia đối của tia $CB$ (H.4.5). Chứng minh rằng:
Xem lời giải chi tiết
• Vì góc $\widehat{ACx}$ và góc $\widehat{ACB}$ là hai góc kề bù nên:
$\widehat{ACx} + \widehat{ACB} = 180^\circ \implies \widehat{ACx} = 180^\circ - \widehat{ACB}$ (1)
• Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên:
$\widehat{BAC} + \widehat{CBA} + \widehat{ACB} = 180^\circ \implies \widehat{BAC} + \widehat{CBA} = 180^\circ - \widehat{ACB}$ (2)
• Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{ACx} = \widehat{BAC} + \widehat{CBA}$.
Góc ngoài của tam giác: Góc $\widehat{ACx}$ được gọi là góc ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$. Góc $\widehat{ACx}$ không kề với hai góc $A$ và $B$ của tam giác $ABC$.
Định lí góc ngoài: Mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó.
Xem lời giải chi tiết
• Hình thứ nhất: Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác:
$x = 180^\circ - (120^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.
• Hình thứ hai: Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác:
$y = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
• Hình thứ ba: Vì tam giác vuông nên hai góc nhọn phụ nhau:
$z = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
Trong các tam giác ở Hình 4.7, tam giác nào là tam giác nhọn, tam giác vuông, tam giác tù?
Xem lời giải chi tiết
• Tam giác $ABC$: Ta có $\widehat{B} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 40^\circ) = 90^\circ$.
Vì $\triangle ABC$ có một góc vuông nên là tam giác vuông tại $B$.
• Tam giác $DEF$: Ta có $\widehat{D} = 180^\circ - (\widehat{E} + \widehat{F}) = 180^\circ - (55^\circ + 63^\circ) = 62^\circ$.
Cả ba góc $55^\circ, 63^\circ, 62^\circ$ đều nhọn ($< 90^\circ$) nên $\triangle DEF$ là tam giác nhọn.
• Tam giác $MNP$: Ta có $\widehat{N} = 180^\circ - (\widehat{M} + \widehat{P}) = 180^\circ - (50^\circ + 30^\circ) = 100^\circ$.
Vì $\widehat{N} = 100^\circ > 90^\circ$ (góc tù) nên $\triangle MNP$ là tam giác tù tại $N$.
Xem lời giải chi tiết
• Tính $x$: Góc $x$ và góc $120^\circ$ là hai góc kề bù nên:
$x = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
• Tính $y$: Trong tam giác $ABC$, áp dụng định lí tổng ba góc:
$y = 180^\circ - (\widehat{A} + x) = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 40^\circ$.
• Tính $z$: Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng qua $D$ và phần kéo dài của đoạn thẳng $AC$.
Góc $\widehat{DCE}$ đối đỉnh với góc $y$ nên $\widehat{DCE} = y = 40^\circ$.
Trong tam giác $CDE$, góc $z$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ đối với tam giác $CDE$ nên:
$z = \widehat{DCE} + 70^\circ = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ$.