Bài 8: Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc
Bài học giúp học sinh nhận biết chính xác hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh và các tính chất quan trọng; hiểu sâu sắc định nghĩa và tính chất của tia phân giác, đường phân giác của một góc; thành thạo kĩ năng vẽ góc, đo góc và dựng tia phân giác bằng thước đo độ.
- Hai góc kề bù
- Hai góc đối đỉnh
- Tia phân giác của một góc, đường phân giác
- Nhận biết hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh.
- Nhận biết tia phân giác của một góc.
- Vẽ tia phân giác của một góc bằng dụng cụ học tập (thước đo góc).
Khi đặt các dây lạt để cắt bánh chưng, các dây lạt tạo ra trên mặt bánh chưng những cặp góc đặc biệt.
Những cặp góc đó có mối quan hệ với nhau như thế nào, chúng ta cùng tìm hiểu trong bài học này!
Các dây lạt chia bánh chưng thành các góc đối đỉnh, kề bù
Góc ở vị trí đặc biệt
a) Hai góc kề bù
HĐ1 (SGK trang 41):
Quan sát hình ảnh các dây lạt trên mặt bánh chưng. Em hãy nhận xét quan hệ về đỉnh, về cạnh của hai góc được đánh dấu kề nhau.
Xem lời giải chi tiết
Trả lời: Hai góc được đánh dấu:
- Có chung một đỉnh (tại giao điểm của hai dây lạt).
- Có một cạnh chung, hai cạnh còn lại nằm trên cùng một đường thẳng (là hai tia đối nhau).
HĐ2 (SGK trang 41):
Cho ba tia $Ox, Oy, Oz$ như Hình 3.1, trong đó $Ox$ và $Oy$ là hai tia đối nhau.
a) Em hãy nhận xét quan hệ về đỉnh, về cạnh của hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$.
b) Đo rồi tính tổng số đo hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ có chung đỉnh $O$, chung cạnh $Oz$, hai cạnh còn lại là hai tia $Ox$ và $Oy$ đối nhau.
b) Đo góc ta thấy $\widehat{xOz} = 45^\circ$, $\widehat{zOy} = 135^\circ$.
Tổng số đo: $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.
1. Định nghĩa:
Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù (Hình 3.1).
2. Tính chất:
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^\circ$.
Câu hỏi (SGK trang 41):
Hai góc được đánh dấu trong hình nào dưới đây là hai góc kề bù?
Xem lời giải chi tiết
- Hình 3.2a: Hai góc được đánh dấu là hai góc kề bù vì chúng có chung một cạnh và hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.
- Hình 3.2b: Hai góc có chung một cạnh nhưng hai cạnh còn lại không phải là hai tia đối nhau nên không phải kề bù (đây chỉ là hai góc kề nhau).
- Hình 3.2c: Hai góc không có cạnh chung nên không phải là hai góc kề bù.
1. Hai góc kề bù còn được hiểu là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau. Trong đó:
- Hai góc kề nhau: là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với đường thẳng chứa cạnh chung đó (Hình 3.3a: $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ kề nhau).
- Hai góc bù nhau: là hai góc có tổng số đo bằng $180^\circ$.
2. Nếu điểm $M$ nằm trong góc $\widehat{xOy}$ thì ta nói tia $OM$ nằm giữa hai cạnh $Ox$ và $Oy$ (Hình 3.3b). Khi đó: $$\widehat{xOM} + \widehat{MOy} = \widehat{xOy}$$
Luyện tập 1 (SGK trang 42):
Viết tên hai góc kề bù trong Hình 3.4 và tính số đo góc $\widehat{mOt}$.
Xem lời giải chi tiết
Trong Hình 3.4, hai góc kề bù là góc $\widehat{mOt}$ và góc $\widehat{nOt}$.
Vì $\widehat{mOt}$ và $\widehat{nOt}$ là hai góc kề bù nên:
$$\widehat{mOt} + \widehat{nOt} = 180^\circ$$ $$\widehat{mOt} = 180^\circ - \widehat{nOt} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$Vậy $\widehat{mOt} = 120^\circ$.
b) Hai góc đối đỉnh
HĐ3 (SGK trang 42):
Quan sát hình ảnh hai góc đối diện nhau trên mặt bánh chưng. Em hãy nhận xét quan hệ về đỉnh, về cạnh của hai góc được đánh dấu.
Xem lời giải chi tiết
Hai góc đối diện nhau trên mặt bánh chưng có chung đỉnh, và mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
HĐ4 (SGK trang 42):
Cho hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$ (Hình 3.5).
a) Dự đoán xem hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x'Oy'}$ có bằng nhau không.
b) Đo rồi so sánh số đo hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x'Oy'}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Dự đoán: Hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x'Oy'}$ bằng nhau.
b) Sau khi đo bằng thước đo góc, ta thấy $\widehat{xOy} = \widehat{x'Oy'}$.
1. Định nghĩa:
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
2. Tính chất:
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Câu hỏi (SGK trang 42):
Hai góc được đánh dấu trong hình nào dưới đây là hai góc đối đỉnh?
Xem lời giải chi tiết
- Hình 3.6a: Không phải hai góc đối đỉnh vì hai cạnh xiên xuống không tạo thành một đường thẳng (không phải hai tia đối nhau).
- Hình 3.6b: Hai góc được đánh dấu là hai góc đối đỉnh tại đỉnh $N$ vì mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Trong HĐ4 ta đã sử dụng phương pháp đo để kiểm chứng. Dùng tính chất của hai góc kề bù, ta có thể so sánh hai góc đối đỉnh $\widehat{xOy}$ (tức $\widehat{O}_1$) và $\widehat{x'Oy'}$ (tức $\widehat{O}_2$) trong Hình 3.5 bằng suy luận như sau:
Vì $\widehat{O}_1$ và $\widehat{O}_3$ kề bù nên $\widehat{O}_1 + \widehat{O}_3 = 180^\circ$ (1)
Vì $\widehat{O}_2$ và $\widehat{O}_3$ kề bù nên $\widehat{O}_2 + \widehat{O}_3 = 180^\circ$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{O}_1 + \widehat{O}_3 = \widehat{O}_2 + \widehat{O}_3$.
Suy ra: $\widehat{O}_1 = \widehat{O}_2$.
Ví dụ 1 (SGK trang 43):
Cho hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$ (Hình 3.7). Biết góc $\widehat{xOy} = 60^\circ$. Tính số đo các góc $\widehat{x'Oy'}$ và $\widehat{x'Oy}$.
Xem lời giải chi tiết
Ta có:
• $\widehat{x'Oy'} = \widehat{xOy}$ (hai góc đối đỉnh). Suy ra $\widehat{x'Oy'} = 60^\circ$.
• $\widehat{x'Oy} + \widehat{xOy} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).
Suy ra: $\widehat{x'Oy} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Luyện tập 2 (SGK trang 43):
Hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$ sao cho góc $\widehat{xOy}$ vuông (Hình 3.8). Khi đó các góc $\widehat{yOx'}, \widehat{x'Oy'}, \widehat{xOy'}$ cũng đều là góc vuông. Vì sao?
Xem lời giải chi tiết
Ta có $\widehat{xOy} = 90^\circ$:
- Vì $\widehat{x'Oy'}$ và $\widehat{xOy}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{x'Oy'} = \widehat{xOy} = 90^\circ$.
- Vì $\widehat{yOx'}$ và $\widehat{xOy}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{yOx'} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
- Vì $\widehat{xOy'}$ và $\widehat{yOx'}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{xOy'} = \widehat{yOx'} = 90^\circ$.
Do đó cả 4 góc tạo thành đều là góc vuông.
Chú ý (SGK trang 43): Hai đường thẳng $xx', yy'$ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc. Kí hiệu là $xx' \perp yy'$.
Tia phân giác của một góc
HĐ5 (SGK trang 43): Thao tác gấp giấy
Cắt rời một góc $\widehat{xOy}$ từ một tờ giấy rồi gấp sao cho hai cạnh của góc trùng nhau (Hình 3.9). Mở mảnh giấy ra, nếp gấp cho ta hình ảnh tia $Oz$ chia góc ban đầu thành hai góc.
a) Em hãy nhận xét về vị trí của tia $Oz$ so với hai cạnh của góc $\widehat{xOy}$.
b) Em hãy so sánh hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Tia $Oz$ nằm giữa hai cạnh $Ox$ và $Oy$ của góc $\widehat{xOy}$.
b) Vì hai phần mép giấy trùng khít lên nhau khi gấp nên hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ bằng nhau: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy}$.
1. Định nghĩa:
Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó.
2. Tính chất:
Khi $Oz$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ thì:
$$\widehat{xOz} = \widehat{yOz} = \frac{1}{2}\widehat{xOy}$$Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó.
Ví dụ 2 (SGK trang 44):
Cho góc $\widehat{mOn}$ có số đo bằng $70^\circ$, tia $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{mOn}$ (Hình 3.11). Tính số đo hai góc $\widehat{mOt}$ và $\widehat{tOn}$.
Xem lời giải chi tiết
Vì $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{mOn}$ nên:
$$\widehat{mOt} = \widehat{tOn} = \frac{1}{2}\widehat{mOn} = \frac{1}{2}\cdot 70^\circ = 35^\circ$$Vậy $\widehat{mOt} = 35^\circ$ và $\widehat{tOn} = 35^\circ$.
Luyện tập 3 (SGK trang 44):
Cho góc $\widehat{xAm}$ có số đo bằng $65^\circ$ và $Am$ là tia phân giác của góc $\widehat{xAy}$ (Hình 3.12). Tính số đo góc $\widehat{xAy}$.
Xem lời giải chi tiết
Vì $Am$ là tia phân giác của góc $\widehat{xAy}$ nên:
$$\widehat{xAm} = \frac{1}{2}\widehat{xAy} \implies \widehat{xAy} = 2 \cdot \widehat{xAm} = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ$$Vậy $\widehat{xAy} = 130^\circ$.
Thực hành: Vẽ tia phân giác bằng thước đo góc (SGK trang 44)
Vẽ tia phân giác $Oz$ của góc $\widehat{xOy}$ có số đo bằng $68^\circ$, sử dụng thước đo góc theo hướng dẫn:
- Bước 1: Vẽ góc $\widehat{xOy} = 68^\circ$.
- Bước 2: Đặt thước đo góc sao cho tâm thước trùng đỉnh $O$, vạch $0^\circ$ trùng cạnh $Ox$. Đánh dấu một điểm ứng với vạch $34^\circ$ của thước đo góc.
- Bước 3: Kẻ tia $Oz$ đi qua điểm vừa đánh dấu. Tia $Oz$ chính là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.
Vận dụng thực tế: Cân đĩa thăng bằng (SGK trang 45)
Quan sát hình ảnh chiếc cân đĩa.
Quả cân ở đĩa cân bên trái nặng bao nhiêu kilôgam để cân thăng bằng, tức là kim trên mặt đồng hồ của cân là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$?
(Biết đĩa cân bên trái gồm 1 quả cân $1\text{ kg}$ và 1 quả cân dấu hỏi; đĩa cân bên phải gồm 1 túi $3{,}5\text{ kg}$ và 1 quả cân $500\text{ g}$).
Xem lời giải chi tiết
Để cân thăng bằng (kim là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$), khối lượng ở hai đĩa cân phải bằng nhau.
Đổi $500\text{ g} = 0{,}5\text{ kg}$.
Tổng khối lượng ở đĩa cân bên phải là:
$$3{,}5 + 0{,}5 = 4\text{ (kg)}$$Do đó, khối lượng ở đĩa cân bên trái cũng phải bằng $4\text{ kg}$.
Khối lượng của quả cân dấu hỏi là:
$$4 - 1 = 3\text{ (kg)}$$Đáp số: Quả cân bên trái nặng $3\text{ kg}$.
Bài tập SGK trang 45 (Đầy đủ lời giải chi tiết)
Bài 3.1 (SGK trang 45):
Cho Hình 3.13, hãy kể tên các cặp góc kề bù.
Xem lời giải chi tiết
• Hình 3.13a: Cặp góc kề bù là góc $\widehat{mOx}$ và góc $\widehat{xOn}$.
• Hình 3.13b: Vì điểm $M$ nằm giữa $A$ và $C$ nên hai tia $MA$ và $MC$ là hai tia đối nhau. Do đó, cặp góc kề bù là góc $\widehat{AMB}$ và góc $\widehat{BMC}$.
Bài 3.2 (SGK trang 45):
Cho Hình 3.14, hãy kể tên các cặp góc đối đỉnh.
Xem lời giải chi tiết
• Hình 3.14a: Hai đường thẳng $xm$ và $yt$ cắt nhau tại $H$. Các cặp góc đối đỉnh là:
- $\widehat{xHy}$ và $\widehat{mHt}$;
- $\widehat{yHm}$ và $\widehat{xHt}$.
• Hình 3.14b: Hai đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác cắt nhau tại $O$. Các cặp góc đối đỉnh tại đỉnh $O$ là:
- $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$;
- $\widehat{AOD}$ và $\widehat{BOC}$.
Bài 3.3 (SGK trang 45):
Vẽ góc $\widehat{xOy}$ có số đo bằng $60^\circ$. Vẽ tia $Om$ là tia đối của tia $Ox$.
a) Viết tên hai góc kề bù có trong hình vừa vẽ.
b) Tính số đo góc $\widehat{yOm}$.
c) Vẽ tia $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Tính số đo các góc $\widehat{tOy}$ và $\widehat{tOm}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Vì tia $Om$ là tia đối của tia $Ox$ nên hai góc kề bù là $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOm}$.
b) Vì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOm}$ là hai góc kề bù nên:
$$\widehat{xOy} + \widehat{yOm} = 180^\circ \implies \widehat{yOm} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$c) Vì $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ nên:
$$\widehat{xOt} = \widehat{tOy} = \frac{1}{2}\widehat{xOy} = \frac{1}{2}\cdot 60^\circ = 30^\circ$$Vì tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Ot$ và $Om$ nên:
$$\widehat{tOm} = \widehat{tOy} + \widehat{yOm} = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ$$Vậy $\widehat{tOy} = 30^\circ$ và $\widehat{tOm} = 150^\circ$.
Bài 3.4 (SGK trang 45):
Cho Hình 3.15a, biết $\widehat{DMA} = 45^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{DMB}$.
Xem lời giải chi tiết
Trong Hình 3.15a, điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ nên hai tia $MA$ và $MB$ là hai tia đối nhau.
Do đó góc $\widehat{DMA}$ và góc $\widehat{DMB}$ là hai góc kề bù:
$$\widehat{DMA} + \widehat{DMB} = 180^\circ$$ $$\widehat{DMB} = 180^\circ - \widehat{DMA} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$$Vậy $\widehat{DMB} = 135^\circ$.
Bài 3.5 (SGK trang 45):
Cho Hình 3.15b, biết $\widehat{xBm} = 36^\circ$. Tính số đo các góc còn lại trong hình vẽ.
Xem lời giải chi tiết
Trong Hình 3.15b, hai đường thẳng $xy$ và $mn$ cắt nhau tại điểm $B$:
- $\widehat{yBn} = \widehat{xBm} = 36^\circ$ (hai góc đối đỉnh).
- Vì $\widehat{yBm}$ và $\widehat{xBm}$ là hai góc kề bù nên: $$\widehat{yBm} = 180^\circ - \widehat{xBm} = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$
- $\widehat{xBn} = \widehat{yBm} = 144^\circ$ (hai góc đối đỉnh).
Vậy các góc còn lại có số đo là: $\widehat{yBn} = 36^\circ$, $\widehat{yBm} = 144^\circ$, $\widehat{xBn} = 144^\circ$.