Bài 3: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ
Định nghĩa luỹ thừa của số hữu tỉ, quy tắc nhân chia hai luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của một tích, một thương, luỹ thừa của luỹ thừa và ứng dụng thực tế.
Bài 3: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ
Định nghĩa luỹ thừa, phép nhân chia luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của tích và thương, luỹ thừa của luỹ thừa.
• Luỹ thừa.
• Cơ số.
• Số mũ.
- Mô tả phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ.
- Thực hiện tính tích, thương hai luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của luỹ thừa.
- Ứng dụng luỹ thừa vào bài toán khoa học Trái Đất và khoảng cách thiên văn trong vũ trụ.
Trái Đất, ngôi nhà chung của tất cả chúng ta có khoảng $71\%$ diện tích bề mặt được bao phủ bởi nước. Nếu gom hết toàn bộ lượng nước trên Trái Đất để đổ đầy vào một bể chứa hình lập phương thì kích thước cạnh của bể phải lên tới $1111{,}34\text{ km}$ (Theo usgs.gov).
1 LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
Khái niệm & Quy tắcXem lời giải chi tiết
a) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$. Cơ số là $2$, số mũ là $4$.
b) $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. Cơ số là $5$, số mũ là $3$.
Xem lời giải chi tiết
a) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
b) $(-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25$.
c) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{16}$.
Xem lời giải chi tiết
a) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = (-2)^3$.
b) $(-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = (-0{,}5)^2$.
c) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$.
Luỹ thừa bậc $n$ của một số hữu tỉ $x$, kí hiệu $x^n$, là tích của $n$ thừa số $x$ ($n$ là số tự nhiên lớn hơn 1):
- $x^n$ đọc là $x$ mũ $n$ hoặc $x$ luỹ thừa $n$ hoặc luỹ thừa bậc $n$ của $x$.
- $x$ gọi là cơ số, $n$ gọi là số mũ.
- Quy ước: $x^0 = 1\ (x \neq 0)$; $x^1 = x$.
Xem lời giải chi tiết
a) $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.
b) $\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$.
Xem lời giải chi tiết
a) $\left(-\frac{4}{5}\right)^4 = \frac{(-4)^4}{5^4} = \frac{256}{625}$.
b) $(0{,}7)^3 = 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}343$.
Xem lời giải chi tiết
a) $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ và $(2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$. Do đó: $2^2 \cdot 3^2 = (2 \cdot 3)^2$.
b) $\frac{(-14)^2}{7^2} = \frac{196}{49} = 4$ và $\left(\frac{-14}{7}\right)^2 = (-2)^2 = 4$. Do đó: $\frac{(-14)^2}{7^2} = \left(\frac{-14}{7}\right)^2$.
Xem lời giải chi tiết
a) $\left(\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot 3^{10} = \left(\frac{2}{3} \cdot 3\right)^{10} = 2^{10} = 1024$.
b) $(-125)^3 : 25^3 = [(-125) : 25]^3 = (-5)^3 = -125$.
c) $(0{,}08)^3 \cdot 10^3 = (0{,}08 \cdot 10)^3 = (0{,}8)^3 = 0{,}512$.
Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh $a$ dưới dạng luỹ thừa. Từ đó viết biểu thức luỹ thừa để tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilômét khối).
Xem lời giải chi tiết
• Công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh $a$ là: $V = a^3$.
• Kích thước cạnh bể chứa hình lập phương trong bài toán mở đầu là $a = 1111{,}34\text{ km}$.
Vậy biểu thức tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất là: $(1111{,}34)^3\text{ (km}^3\text{)}$.
2 NHÂN VÀ CHIA HAI LUỸ THỪA CÙNG CƠ SỐ
Quy tắc cộng & trừ số mũXem lời giải chi tiết
a) $(-3)^2 \cdot (-3)^4 = [(-3) \cdot (-3)] \cdot [(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)] = (-3)^6$. Do đó: $(-3)^2 \cdot (-3)^4 = (-3)^6$.
b) $0{,}6^3 : 0{,}6^2 = (0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6) : (0{,}6 \cdot 0{,}6) = 0{,}6$. Do đó: $0{,}6^3 : 0{,}6^2 = 0{,}6$.
-
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ:
$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
-
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ số mũ của luỹ thừa chia:
$x^m : x^n = x^{m-n}\quad (x \neq 0, m \ge n)$
Xem lời giải chi tiết
a) $\left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{5+3} = \left(\frac{2}{3}\right)^8 = \frac{256}{6561}$.
b) $(-5)^5 : (-5)^5 = (-5)^{5-5} = (-5)^0 = 1$.
Xem lời giải chi tiết
a) $(-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{3+4} = (-2)^7$.
b) $(0{,}25)^7 : (0{,}25)^3 = (0{,}25)^{7-3} = (0{,}25)^4$.
3 LUỸ THỪA CỦA LUỸ THỪA
$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$Xem lời giải chi tiết
• $(2^2)^3 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2^{2+2+2} = 2^6$.
• $[(-3)^2]^2 = (-3)^2 \cdot (-3)^2 = (-3)^{2+2} = (-3)^4$.
Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ:
Xem lời giải chi tiết
$[(-5)^3]^7 = (-5)^{3 \cdot 7} = (-5)^{21}$.
Xem lời giải chi tiết
• $\left(\frac{1}{4}\right)^8 = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{16}$.
• $\left(\frac{1}{8}\right)^3 = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3 \cdot 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^9$.
Cho hình vuông như Hình 1.12. Em hãy thay mỗi dấu "?" bằng một luỹ thừa của 2, biết tích các luỹ thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.
Xem lời giải chi tiết
• Tích trên đường chéo chính (từ trên trái xuống dưới phải) là:
$2^3 \cdot 2^4 \cdot 2^5 = 2^{3+4+5} = 2^{12}$.
• Do tích trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng $2^{12}$, ta tính các ô còn lại:
- Hàng 3: Ô $(3, 1) = 2^{12} : (2^6 \cdot 2^5) = 2^{12} : 2^{11} = 2^1$.
- Cột 1: Ô $(2, 1) = 2^{12} : (2^3 \cdot 2^1) = 2^{12} : 2^4 = 2^8$.
- Đường chéo phụ: Ô $(1, 3) = 2^{12} : (2^1 \cdot 2^4) = 2^{12} : 2^5 = 2^7$.
- Hàng 1: Ô $(1, 2) = 2^{12} : (2^3 \cdot 2^7) = 2^{12} : 2^{10} = 2^2$.
- Hàng 2: Ô $(2, 3) = 2^{12} : (2^8 \cdot 2^4) = 2^{12} : 2^{12} = 2^0$.
Kết quả các hàng:
Hàng 1: $2^3;\ 2^2;\ 2^7$. Hàng 2: $2^8;\ 2^4;\ 2^0$. Hàng 3: $2^1;\ 2^6;\ 2^5$.
4 BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA (TRANG 18 - 19)
Bài 1.18 – 1.25Xem lời giải chi tiết
• $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
• $3125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5$.
Xem lời giải chi tiết
• $\left(\frac{1}{9}\right)^5 = \left[\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]^5 = \left(\frac{1}{3}\right)^{2 \cdot 5} = \left(\frac{1}{3}\right)^{10}$.
• $\left(\frac{1}{27}\right)^7 = \left[\left(\frac{1}{3}\right)^3\right]^7 = \left(\frac{1}{3}\right)^{3 \cdot 7} = \left(\frac{1}{3}\right)^{21}$.
Thay mỗi dấu "?" bởi một luỹ thừa của 3, biết rằng từ ô thứ ba, luỹ thừa cần tìm là tích của hai luỹ thừa ở hai ô liền trước:
| $3^0$ | $3^1$ | ? | ? | ? | ? | ? |
Xem lời giải chi tiết
• Ô thứ 3: $3^0 \cdot 3^1 = 3^{0+1} = 3^1$.
• Ô thứ 4: $3^1 \cdot 3^1 = 3^{1+1} = 3^2$.
• Ô thứ 5: $3^1 \cdot 3^2 = 3^{1+2} = 3^3$.
• Ô thứ 6: $3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$.
• Ô thứ 7: $3^3 \cdot 3^5 = 3^{3+5} = 3^8$.
Dãy các ô hoàn chỉnh: $3^0;\ 3^1;\ 3^1;\ 3^2;\ 3^3;\ 3^5;\ 3^8$.
Xem lời giải chi tiết
a) $(-3)^8 = (-3)^7 \cdot (-3) = (-2187) \cdot (-3) = 6561$.
b) $\left(-\frac{2}{3}\right)^{12} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{11} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{-2048}{177147} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4096}{531441}$.
Xem lời giải chi tiết
a) $15^8 \cdot 2^4 = (15^2)^4 \cdot 2^4 = 225^4 \cdot 2^4 = (225 \cdot 2)^4 = 450^4$.
b) $27^5 : 32^3 = (3^3)^5 : (2^5)^3 = 3^{15} : 2^{15} = \left(\frac{3}{2}\right)^{15}$.
Xem lời giải chi tiết
a) $\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{4+2-1}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$.
$2 + \frac{3}{7} = \frac{14+3}{7} = \frac{17}{7}$.
Vậy tích là: $\frac{25}{16} \cdot \frac{17}{7} = \frac{425}{112}$.
b) $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.
$\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}$.
Vậy $4 : \frac{1}{216} = 4 \cdot 216 = 864$.
Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng $1{,}5 \cdot 10^8\text{ km}$. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng $7{,}78 \cdot 10^8\text{ km}$.
Xem lời giải chi tiết
Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời số lần là:
$\frac{7{,}78 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 10^8} = \frac{7{,}78}{1{,}5} \approx 5{,}19\text{ (lần)}$.
Đáp số: Khoảng $5{,}19$ lần (hoặc xấp xỉ $5{,}2$ lần).
Bảng thống kê dưới đây cho biết số lượt khách quốc tế đến thăm Việt Nam trong năm 2019:
| Quốc gia | Số lượt khách đến thăm |
|---|---|
| Hàn Quốc | $4{,}3 \cdot 10^6$ |
| Hoa Kỳ | $7{,}4 \cdot 10^5$ |
| Pháp | $2{,}9 \cdot 10^5$ |
| Ý | $7 \cdot 10^4$ |
Em hãy sắp xếp tên các quốc gia theo thứ tự số lượng khách đến thăm Việt Nam từ nhỏ đến lớn.
Xem lời giải chi tiết
Viết các số dưới dạng số tự nhiên để so sánh:
- Ý: $7 \cdot 10^4 = 70\,000$.
- Pháp: $2{,}9 \cdot 10^5 = 290\,000$.
- Hoa Kỳ: $7{,}4 \cdot 10^5 = 740\,000$.
- Hàn Quốc: $4{,}3 \cdot 10^6 = 4\,300\,000$.
Vì $70\,000 < 290\,000 < 740\,000 < 4\,300\,000$, nên thứ tự sắp xếp từ nhỏ đến lớn là:
Ý < Pháp < Hoa Kỳ < Hàn Quốc.
Cùng với luỹ thừa với số mũ tự nhiên, người ta còn xét cả luỹ thừa với số mũ nguyên âm của một số khác 0:
Ví dụ: $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$; $\frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.
Luỹ thừa với số mũ nguyên âm của 10 thường được dùng để viết những số rất nhỏ cho thuận tiện. Ví dụ, phần lớn vi khuẩn có kích thước là $1\text{ micromét}$, tức $10^{-6}\text{ m}$. Đơn vị đo thời gian nhỏ nhất là yocto giây, $1\text{ yocto giây} = 10^{-24}\text{ giây}$ (Theo chemistryviews.org).