Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn
Nắm vững định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn, cách giải các dạng đặc biệt khuyết b hoặc c, công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn theo Delta, ứng dụng giải toán thực tế.
Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước $28\text{ m} \times 16\text{ m}$, người ta dự định làm một bể bơi có lối đi xung quanh với bề rộng bằng nhau là $x\text{ (m)}$ ($0 < x < 8$). Hỏi bề rộng của lối đi là bao nhiêu mét để diện tích của bể bơi là $288\text{ m}^2$?
Xem phân tích tình huống mở đầu
Chiều dài của bể bơi là: $28 - 2x\text{ (m)}$.
Chiều rộng của bể bơi là: $16 - 2x\text{ (m)}$.
Diện tích bể bơi là: $(28 - 2x)(16 - 2x) = 4x^2 - 88x + 448\text{ (m}^2\text{)}$.
Theo đề bài ta có phương trình: $4x^2 - 88x + 448 = 288 \iff 4x^2 - 88x + 160 = 0 \iff x^2 - 22x + 40 = 0$.
Đây chính là một phương trình bậc hai một ẩn mà chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải chi tiết trong bài học này.
1. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Định nghĩa tổng quát
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: $$ax^2 + bx + c = 0$$ trong đó $x$ là ẩn số; $a, b, c$ là những số cho trước gọi là các hệ số và điều kiện bắt buộc là $a \ne 0$.
a) $2x^2 - 3x + 1 = 0$;
b) $x^2 - 3 = 0$;
c) $(\frac{1}{x})^2 + 3 \cdot \frac{1}{x} + 2 = 0$;
d) $-5x^2 = 0$.
Xem lời giải Ví dụ 1
a) Phương trình $2x^2 - 3x + 1 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 2, b = -3, c = 1$.
b) Phương trình $x^2 - 3 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 1, b = 0, c = -3$.
c) Phương trình không phải phương trình bậc hai vì ẩn $x$ nằm ở mẫu số.
d) Phương trình $-5x^2 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = -5, b = 0, c = 0$.
a) $x^2 + 5 = 0$; b) $2x^2 + 7x = 0$; c) $\frac{x^2 - 2x + 5}{x} = 0$; d) $0{,}5x^2 = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 1
- Câu a: Là PT bậc hai với $a = 1, b = 0, c = 5$.
- Câu b: Là PT bậc hai với $a = 2, b = 7, c = 0$.
- Câu c: Không phải là PT bậc hai do có chứa ẩn ở mẫu số.
- Câu d: Là PT bậc hai với $a = 0{,}5, b = 0, c = 0$.
Xem nhận xét câu Tranh luận
Ý kiến của bạn Tròn chưa chính xác vì phương trình dạng $ax^2 + bx + c = 0$ chỉ là phương trình bậc hai khi hệ số $a \ne 0$.
- Nếu $m \ne 0$: Phương trình là phương trình bậc hai với $a = m, b = 2, c = 1$.
- Nếu $m = 0$: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất $2x + 1 = 0$.
2. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
Dạng khuyết số hạng tự do ($c = 0$)
$ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\frac{b}{a}$.
Dạng khuyết số hạng bậc nhất ($b = 0$)
$ax^2 + c = 0 \iff ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$. Nếu $-\frac{c}{a} \ge 0 \implies x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
a) $2x^2 + 6x = 0$; b) $5x^2 + 11x = 0$.
Xem lời giải Luyện tập 2
a) $2x^2 + 6x = 0 \iff 2x(x + 3) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -3$.
b) $5x^2 + 11x = 0 \iff x(5x + 11) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\frac{11}{5}$.
a) $x^2 - 25 = 0$; b) $(x + 3)^2 = 5$.
Xem lời giải Luyện tập 3
a) $x^2 - 25 = 0 \iff x^2 = 25 \iff x = 5$ hoặc $x = -5$.
b) $(x + 3)^2 = 5 \iff x + 3 = \pm\sqrt{5} \iff x = -3 + \sqrt{5}$ hoặc $x = -3 - \sqrt{5}$.
3. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Công thức nghiệm theo biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$
Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$). Tính biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$:
- Nếu $\Delta > 0$: Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt:
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$$
- Nếu $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép:
$$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}.$$
- Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm.
Công thức nghiệm thu gọn (khi hệ số $b = 2b'$)
Tính biệt thức thu gọn $\Delta' = b'^2 - ac$:
- Nếu $\Delta' > 0$: $x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}; \quad x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$.
- Nếu $\Delta' = 0$: $x_1 = x_2 = -\frac{b'}{a}$.
- Nếu $\Delta' < 0$: Phương trình vô nghiệm.
Xem lời giải Vận dụng
Phương trình cần giải: $x^2 - 22x + 40 = 0$.
Ta có $a = 1, b' = -11, c = 40 \implies \Delta' = (-11)^2 - 1 \cdot 40 = 121 - 40 = 81 > 0$.
$\sqrt{\Delta'} = \sqrt{81} = 9$. Hai nghiệm của phương trình là:
$$x_1 = \frac{11 + 9}{1} = 20; \quad x_2 = \frac{11 - 9}{1} = 2.$$
Vì bề rộng đường đi phải thoả mãn điều kiện $0 < x < 8$ nên $x = 2$ thoả mãn, còn $x = 20$ bị loại.
Vậy bề rộng của lối đi xung quanh bể bơi là $2\text{ m}$.