Luyện tập chung Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhân hai vế của mỗi phương trình với $10$ để làm mất các số thập phân:

$$\begin{cases} 5x + 6y = 4 & (1) \\ 4x - 9y = 17 & (2) \end{cases}$$

Nhân hai vế của (1) với 3 và nhân hai vế của (2) với 2 để đưa hệ số của $y$ về đối nhau:

$$\begin{cases} 15x + 18y = 12 \\ 8x - 18y = 34 \end{cases}$$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được: $23x = 46 \implies x = 2$.

Thế $x = 2$ vào phương trình (1): $5 \cdot 2 + 6y = 4 \implies 6y = -6 \implies y = -1$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(2; -1)$.

Vì số nguyên tử của $\text{Fe}$ và $\text{O}$ ở cả hai vế của phản ứng phải bằng nhau nên ta lập được hệ phương trình:

$$\begin{cases} 3 = 3y \text{ (số nguyên tử Fe)} \\ 2x = 4y \text{ (số nguyên tử O)} \end{cases} \iff \begin{cases} y = 1 \\ x = 2y = 2 \end{cases}$$

Vậy ta tìm được $x = 2, y = 1$. Phương trình hoá học cân bằng là: $3\text{Fe} + 2\text{O}_2 \to \text{Fe}_3\text{O}_4$.

• Đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $A(-2; -1)$ nên: $a(-2) + b = -1 \iff -2a + b = -1$.

• Đường thẳng đi qua điểm $B(2; 3)$ nên: $a \cdot 2 + b = 3 \iff 2a + b = 3$.

Ta có hệ phương trình với hai ẩn $a$ và $b$:

$$\begin{cases} -2a + b = -1 \\ 2a + b = 3 \end{cases}$$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được: $2b = 2 \implies b = 1$.

Thay $b = 1$ vào phương trình thứ hai: $2a + 1 = 3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$.

Vậy $a = 1, b = 1$. Phương trình đường thẳng là $y = x + 1$.

a) Thay lần lượt các cặp số vào $-2x + 5y$:

• $(-1; 1): -2(-1) + 5(1) = 2 + 5 = 7 \implies$ Nghiệm của (1).
• $(4; 3): -2(4) + 5(3) = -8 + 15 = 7 \implies$ Nghiệm của (1).

Vậy nghiệm của (1) là: $(-1; 1)$ và $(4; 3)$.

b) Thay các cặp số vào $4x - 3y$:

• $(1; -1): 4(1) - 3(-1) = 4 + 3 = 7 \implies$ Nghiệm của (2).
• $(4; 3): 4(4) - 3(3) = 16 - 9 = 7 \implies$ Nghiệm của (2).
• $(-2; -5): 4(-2) - 3(-5) = -8 + 15 = 7 \implies$ Nghiệm của (2).

Vậy nghiệm của (2) là: $(1; -1), (4; 3)$ và $(-2; -5)$.

c) Cặp số vừa là nghiệm của (1) vừa là nghiệm của (2) là: $(4; 3)$. Do đó $(4; 3)$ là nghiệm của hệ.

a) Từ phương trình thứ nhất suy ra $y = 2x - 1$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$x - 2(2x - 1) = -1 \iff x - 4x + 2 = -1 \iff -3x = -3 \implies x = 1.$$

Suy ra $y = 2(1) - 1 = 1$. Nghiệm của hệ là $(1; 1)$.

b) Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho $0{,}5$ và chia phương trình thứ hai cho $1{,}2$:

$$\begin{cases} x - y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases} \implies y = x - 1.$$

Hệ phương trình có vô số nghiệm dạng $(x; x - 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c) Từ phương trình thứ nhất: $x = -2 - 3y$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$5(-2 - 3y) - 4y = 28 \iff -10 - 15y - 4y = 28 \iff -19y = 38 \implies y = -2.$$

Suy ra $x = -2 - 3(-2) = 4$. Nghiệm của hệ là $(4; -2)$.

a) Nhân phương trình (1) với 2 và nhân phương trình (2) với 7:

$$\begin{cases} 10x + 14y = -2 \\ 21x + 14y = -35 \end{cases} \implies 11x = -33 \implies x = -3.$$

Thay $x = -3$ vào (2): $3(-3) + 2y = -5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. Nghiệm: $(-3; 2)$.

b) Nhân phương trình thứ hai với $2{,}5$:

$$\begin{cases} 2x - 3y = 11 \\ -2x + 3y = 2{,}5 \end{cases}$$

Cộng hai vế: $0x + 0y = 13{,}5$ (vô lý). Do đó hệ phương trình vô nghiệm.

c) Nhân phương trình thứ hai với 10: $4x + 2y = 8$. Lấy phương trình này trừ phương trình thứ nhất:

$$(4x + 2y) - (4x - 3y) = 8 - 6 \iff 5y = 2 \implies y = 0{,}4.$$

Thay $y = 0{,}4$ vào $4x - 3(0{,}4) = 6 \implies 4x = 7{,}2 \implies x = 1{,}8$. Nghiệm: $(1{,}8; 0{,}4)$.

Cân bằng số nguyên tử của từng nguyên tố ở hai vế:

• Số nguyên tử $\text{Al}$: $4 = 2y \implies y = 2$.
• Số nguyên tử $\text{O}$: $2x = 3y \implies 2x = 3 \cdot 2 = 6 \implies x = 3$.

Vậy ta tìm được $x = 3, y = 2$. Phương trình cân bằng: $4\text{Al} + 3\text{O}_2 \to 2\text{Al}_2\text{O}_3$.

Thay $x = 1, y = -2$ vào hệ phương trình ta được:

$$\begin{cases} a(1) + b(-2) = 1 \\ a(1) + (2 - b)(-2) = 3 \end{cases} \iff \begin{cases} a - 2b = 1 & (1) \\ a - 4 + 2b = 3 & (2) \end{cases} \iff \begin{cases} a - 2b = 1 \\ a + 2b = 7 \end{cases}$$

Cộng hai phương trình vế theo vế: $2a = 8 \implies a = 4$.

Thay $a = 4$ vào phương trình (1): $4 - 2b = 1 \implies 2b = 3 \implies b = 1{,}5 = \dfrac{3}{2}$.

Vậy các hệ số cần tìm là: $a = 4, b = 1{,}5$.