Bài tập cuối chương V

a) Chứng minh hai chiều:

• Chiều thuận: Nếu $A \in (O)$, vì $BC$ là đường kính nên $OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$. Trong tam giác $ABC$, trung tuyến $AO = \dfrac{BC}{2}$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $A$.
• Chiều nghịch: Nếu $\triangle ABC$ vuông tại $A$, gọi $O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$. Khi đó trung tuyến $AO = \dfrac{BC}{2} = OB = OC = R$. Do đó $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

b) Tính các góc của tam giác $ABC$:

Vì $A$ thuộc đường tròn $(B; BO)$ nên $BA = BO$. Lại có $OA = BO = R$ vì $A \in (O)$.

Suy ra $OA = OB = AB = R$, tam giác $OAB$ đều $\implies \widehat{B} = 60^\circ$.

Theo câu a, $\triangle ABC$ vuông tại $A \implies \widehat{A} = 90^\circ$, do đó $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

c) Độ dài cung $AC$ và diện tích quạt tròn $OAC$ ($BC = 6\text{ cm}$):

Bán kính $R = \dfrac{BC}{2} = 3\text{ cm}$.

Góc ở tâm $\widehat{AOC} = 180^\circ - \widehat{AOB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

• Độ dài cung nhỏ $AC$: $$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{180} = 2\pi\text{ (cm)} \approx 6{,}28\text{ cm}.$$
• Diện tích hình quạt $OAC$: $$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = 3\pi\text{ (cm}^2\text{)} \approx 9{,}42\text{ cm}^2.$$

a) Điểm $C$ và $D$ có nằm trên $(O)$:

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC \implies OC = OA = 4\text{ cm} = R \implies C \in (O)$.

Tương tự, $D$ đối xứng với $B$ qua tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $BD \implies OD = OB = 4\text{ cm} = R \implies D \in (O)$.

b) Tính cung lớn $AB$ và diện tích hình quạt $OAB$:

Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC \perp BD$ tại trung điểm $O \implies \widehat{AOB} = 90^\circ$.

• Số đo cung nhỏ $AB$ là $90^\circ \implies$ số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.
• Độ dài cung lớn $AB$: $$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 270}{180} = 6\pi\text{ (cm)} \approx 18{,}85\text{ cm}.$$
• Diện tích hình quạt tròn nhỏ tạo bởi $OA, OB$: $$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 90}{360} = 4\pi\text{ (cm}^2\text{)} \approx 12{,}57\text{ cm}^2.$$

a) $BA, BA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(C; CA)$:

• Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $BA \perp CA$ tại $A \in (C; CA) \implies BA$ là tiếp tuyến của $(C; CA)$.
• Hai đường tròn $(B; BA)$ và $(C; CA)$ cắt nhau tại $A$ và $A'$ nên đoạn thẳng $BC$ là đường trung trực của đoạn $AA'$. Do đó $\triangle CBA = \triangle CBA'$ (c-c-c), suy ra $\widehat{CA'B} = \widehat{CAB} = 90^\circ$.
• Vì $BA' \perp CA'$ tại $A' \in (C; CA)$ nên $BA'$ là tiếp tuyến của $(C; CA)$.
• Vậy $BA$ và $BA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $B$ của $(C; CA)$.

b) $CA, CA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(B; BA)$:

Chứng minh hoàn toàn tương tự:

• Vì $CA \perp BA$ tại $A \in (B; BA)$ nên $CA$ là tiếp tuyến của $(B; BA)$.
• Vì $\widehat{BA'C} = 90^\circ \implies CA' \perp BA'$ tại $A' \in (B; BA)$, nên $CA'$ là tiếp tuyến của $(B; BA)$.
• Vậy $CA$ và $CA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$ của $(B; BA)$.

a) Tứ giác $OO'KI$ là hình thang vuông:

• Trong $(O)$, $I$ là trung điểm dây $AE \implies OI \perp AE$, hay $OI \perp d$.
• Trong $(O')$, $K$ là trung điểm dây $AF \implies O'K \perp AF$, hay $O'K \perp d$.
• Suy ra $OI \parallel O'K$ (vì cùng vuông góc với $d$). Tứ giác $OO'KI$ có $OI \parallel O'K$ nên là hình thang, và có $\widehat{OIK} = 90^\circ$ nên là hình thang vuông.

b) Chứng minh $IK = \dfrac{1}{2}EF$:

Vì $A$ nằm giữa $E$ và $F$, $I$ là trung điểm $AE$, $K$ là trung điểm $AF$ nên:

$$IK = IA + AK = \dfrac{1}{2}AE + \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{1}{2}(AE + AF) = \dfrac{1}{2}EF.$$

c) Điều kiện để $OO'KI$ là hình chữ nhật:

Hình thang vuông $OO'KI$ là hình chữ nhật $\iff OI = O'K \iff OO' \parallel IK \iff d \parallel OO'$.

Vậy khi đường thẳng $d$ song song với đường nối tâm $OO'$ thì $OO'KI$ là hình chữ nhật.