Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn
Nắm vững ba vị trí tương đối của hai đường tròn: cắt nhau (2 điểm chung), tiếp xúc nhau (1 điểm chung - tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài) và không giao nhau (0 điểm chung - ngoài nhau hoặc đựng nhau). Hiểu rõ hệ thức liên hệ giữa đoạn nối tâm $d = OO'$ với các bán kính $R, R'$ và tính chất đối xứng của đường nối tâm.
Trong thiên văn học, nguyệt thực là hiện tượng Mặt Trăng đi vào vùng bóng tối phía sau Trái Đất khi Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng thẳng hàng hoặc gần như thẳng hàng.
Nếu quan sát từ Trái Đất, bóng tối của Trái Đất in lên Mặt Trăng có dạng một hình tròn. Khi Mặt Trăng di chuyển vào bóng tối này, ta thấy hình tròn Mặt Trăng và hình tròn bóng tối Trái Đất có những vị trí tương đối khác nhau: từ khi chưa chạm vào nhau, chạm mép, giao nhau một phần (nguyệt thực một phần), đến khi bóng tối bao trọn hoàn toàn Mặt Trăng (nguyệt thực toàn phần).
Về mặt hình học, hai đường tròn có những vị trí tương đối nào? Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn dựa vào khoảng cách giữa hai tâm và các bán kính?
Bóng Trái Đất và Mặt Trăng minh họa vị trí tương đối của hai hình tròn
Hai đường tròn cắt nhau
Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$.
- Đoạn thẳng nối hai điểm chung $AB$ được gọi là gì?
- Đường thẳng nối hai tâm $OO'$ có tính chất gì đối với đoạn thẳng $AB$?
Xem lời giải chi tiết HĐ1
1. Đoạn thẳng $AB$ nối hai giao điểm được gọi là dây chung của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$.
2. Ta có $OA = OB = R$ nên điểm $O$ thuộc đường trung trực của $AB$.
Lại có $O'A = O'B = R'$ nên điểm $O'$ cũng thuộc đường trung trực của $AB$.
Do đó, đường nối tâm $OO'$ là đường trung trực của đoạn thẳng (dây chung) $AB$, tức là $OO' \perp AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$.
Khái niệm
Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là giao điểm, đoạn thẳng nối hai giao điểm gọi là dây chung.
Hệ thức liên hệ giữa đoạn nối tâm và bán kính
Giả sử hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ có $R \ge R'$ cắt nhau tại hai điểm $A, B$. Xét tam giác $OAO'$, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
Đoạn nối tâm $OO'$ là đường trung trực của dây chung $AB$.
Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 6\text{ cm}$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 1
Đặt $R = 4\text{ cm}$ và $R' = 3\text{ cm}$. Ta có:
$R - R' = 4 - 3 = 1\text{ cm}$, $\quad R + R' = 4 + 3 = 7\text{ cm}$.
Vì $1\text{ cm} < 6\text{ cm} < 7\text{ cm}$, tức là $R - R' < OO' < R + R'$ nên hai đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$ cắt nhau.
Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và điểm $I$ cách $O$ một khoảng $2\text{ cm}$ ($OI = 2\text{ cm}$). Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn $(I; r)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $r = 4\text{ cm}$; $\qquad$ b) $r = 6\text{ cm}$.
Xem lời giải chi tiết Luyện tập 1
a) Với $r = 4\text{ cm}$:
Ta có $R = 5\text{ cm}$, $r = 4\text{ cm}$, khoảng cách đoạn nối tâm $d = OI = 2\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính: $R - r = 5 - 4 = 1\text{ cm}$. Tổng hai bán kính: $R + r = 5 + 4 = 9\text{ cm}$.
Vì $1\text{ cm} < 2\text{ cm} < 9\text{ cm}$ ($R - r < OI < R + r$) nên hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(I; 4\text{ cm})$ cắt nhau.
b) Với $r = 6\text{ cm}$:
Ta có bán kính lớn là $r = 6\text{ cm}$, bán kính nhỏ là $R = 5\text{ cm}$, $OI = 2\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính: $r - R = 6 - 5 = 1\text{ cm}$. Tổng hai bán kính: $r + R = 6 + 5 = 11\text{ cm}$.
Vì $1\text{ cm} < 2\text{ cm} < 11\text{ cm}$ ($r - R < OI < r + R$) nên hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(I; 6\text{ cm})$ cắt nhau.
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Trên Hình 5.33a, ta có $OO' = OA + O'A$; trên Hình 5.33b, ta có $OO' = OA - O'A$. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ và cho biết hai đường tròn đó có mấy điểm chung?
Xem lời giải chi tiết HĐ2
Trong cả hai trường hợp, hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ chỉ có duy nhất một điểm chung là điểm $A$.
- Trường hợp a ($OO' = OA + O'A$): Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$ (điểm $A$ nằm giữa $O$ và $O'$).
- Trường hợp b ($OO' = OA - O'A$): Hai đường tròn tiếp xúc trong tại $A$ (điểm $O'$ nằm giữa $O$ và $A$).
Định nghĩa và Phân loại
Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm.
Người ta phân biệt hai trường hợp:
- Tiếp xúc ngoài: Hai đường tròn nằm về hai phía khác nhau của tiếp tuyến chung tại tiếp điểm. Khi đó: $OO' = R + R'$.
- Tiếp xúc trong: Đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong đường tròn lớn (ngoại trừ tiếp điểm). Khi đó: $OO' = R - R'$ ($R > R'$).
Tính chất quan trọng: Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm luôn thẳng hàng với hai tâm ($A \in OO'$).
Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 5\text{ cm}$. Giải thích tại sao hai đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ và $(O'; 2\text{ cm})$ tiếp xúc với nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 2
Đặt $R = 3\text{ cm}$ và $R' = 2\text{ cm}$.
Ta thấy: $5\text{ cm} = 3\text{ cm} + 2\text{ cm}$, nghĩa là $OO' = R + R'$.
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài với nhau.
Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 3\text{ cm}$. Giải thích tại sao hai đường tròn $(O; 8\text{ cm})$ và $(O'; 5\text{ cm})$ tiếp xúc với nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?
Xem lời giải chi tiết Luyện tập 2
Đặt $R = 8\text{ cm}$ và $R' = 5\text{ cm}$.
Ta thấy: $3\text{ cm} = 8\text{ cm} - 5\text{ cm}$, nghĩa là $OO' = R - R'$.
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau (đường tròn $(O')$ nằm bên trong đường tròn $(O)$).
Hai đường tròn không giao nhau
Trên Hình 5.35a, ta có $OO' > OA + O'B$; trên Hình 5.35b, ta có $OO' < OA - O'B$. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; OB)$ và cho biết hai đường tròn đó có điểm chung nào không?
Xem lời giải chi tiết HĐ3
Trong cả hai trường hợp, hai đường tròn không có điểm chung nào.
- Hình 5.35a ($OO' > OA + O'B$): Hai đường tròn ở ngoài nhau.
- Hình 5.35b ($OO' < OA - O'B$): Đường tròn $(O)$ đựng đường tròn $(O')$.
Khái niệm và Phân loại
Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau.
- Hai đường tròn ngoài nhau: Khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính: $OO' > R + R'$.
- Đường tròn $(O; R)$ đựng đường tròn $(O'; R')$ ($R > R'$): Đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn phía trong đường tròn lớn: $OO' < R - R'$.
- Đặc biệt: Khi hai tâm trùng nhau ($O \equiv O'$, tức $OO' = 0$) và $R \neq R'$, ta gọi là hai đường tròn đồng tâm.
Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ và $(O'; 5\text{ cm})$, biết rằng $OO' > 8\text{ cm}$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 3
Đặt $R = 3\text{ cm}$ và $R' = 5\text{ cm}$. Tổng hai bán kính là: $R + R' = 3 + 5 = 8\text{ cm}$.
Vì $OO' > 8\text{ cm} = R + R'$ nên hai đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ và $(O'; 5\text{ cm})$ ở ngoài nhau.
Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 2\text{ cm}$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(O'; r)$, biết rằng $r < 3\text{ cm}$.
Xem lời giải chi tiết Luyện tập 3
Vì $r < 3\text{ cm} < 5\text{ cm}$ nên $(O; 5\text{ cm})$ là đường tròn lớn và $(O'; r)$ là đường tròn nhỏ.
Ta có: $r < 3\text{ cm} \iff -r > -3\text{ cm} \iff 5 - r > 5 - 3 = 2\text{ cm}$.
Nghĩa là $R - r > 2\text{ cm} = OO'$, hay $OO' < R - r$.
Vậy đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ đựng đường tròn $(O'; r)$.
Cắt hai hình tròn bằng giấy: hình tròn sáng (Mặt Trăng) và hình tròn tối to hơn (bóng Trái Đất):
- Nguyệt thực một phần: Hai hình tròn cắt nhau (có 2 giao điểm).
- Nguyệt thực toàn phần: Hình tròn bóng tối đựng trọn hình tròn Mặt Trăng.
Tròn cho rằng: Nói "hai đường tròn không cắt nhau" cũng có nghĩa là "hai đường tròn không giao nhau". Theo em, Tròn đúng hay sai?
Bảng tổng kết Vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ ($R \ge R'$)
| Vị trí tương đối | Số điểm chung | Hệ thức giữa $d = OO'$ với $R, R'$ | Tính chất hình học |
|---|---|---|---|
| Cắt nhau | 2 | $R - R' < OO' < R + R'$ | $OO'$ là trung trực của dây chung $AB$ |
| Tiếp xúc ngoài | 1 | $OO' = R + R'$ | Tiếp điểm $A$ nằm giữa $O$ và $O'$ |
| Tiếp xúc trong | 1 | $OO' = R - R' > 0$ | Tiếp điểm $A, O, O'$ thẳng hàng ($O'$ giữa $O, A$) |
| Ở ngoài nhau | 0 | $OO' > R + R'$ | Mỗi đường tròn ở ngoài đường tròn kia |
| $(O)$ đựng $(O')$ | 0 | $OO' < R - R'$ | $(O')$ nằm hoàn toàn trong $(O)$ |
| Đồng tâm | 0 | $OO' = 0$ ($R \neq R'$) | Tâm $O$ và $O'$ trùng nhau tạo hình vành khuyên |
Hướng dẫn giải Bài tập SGK (Trang 107)
Hình 5.37 cho thấy hình ảnh của những đường tròn (là viền ngoài của các sản phẩm) qua cách trình bày một số sản phẩm mây tre đan. Bằng cách quan sát các đường tròn, em hãy chỉ ra một vài cặp đường tròn cắt nhau và vài cặp đường tròn không giao nhau.
Xem lời giải chi tiết Bài 5.24
Quan sát các mẹt tròn mây tre đan treo tường:
- Các cặp đường tròn cắt nhau: Các mẹt tròn xếp chồng chéo lấn lên nhau ở cụm trung tâm (viền ngoài của chúng giao nhau tại đúng 2 điểm phân biệt).
- Các cặp đường tròn không giao nhau (ở ngoài nhau): Các mẹt tròn treo tách rời cách biệt ở phía trên bên trái và hai bên cạnh (khoảng cách giữa tâm lớn hơn tổng bán kính, không chạm nhau).
- Cặp đường tròn tiếp xúc ngoài: Các đĩa tròn treo sát mép chạm nhau tại duy nhất một điểm.
Cho hai điểm $O$ và $O'$ cách nhau một khoảng $5\text{ cm}$ ($OO' = 5\text{ cm}$). Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn $(O; 3\text{ cm})$?
a) Đường tròn $(O'; 3\text{ cm})$; $\quad$ b) Đường tròn $(O'; 1\text{ cm})$; $\quad$ c) Đường tròn $(O'; 8\text{ cm})$.
Xem lời giải chi tiết Bài 5.25
a) Đối với $(O'; 3\text{ cm})$:
Ta có $R = 3\text{ cm}, R' = 3\text{ cm}$. Hiệu hai bán kính $|R - R'| = 0$, tổng hai bán kính $R + R' = 6\text{ cm}$.
Vì $0 < 5\text{ cm} < 6\text{ cm}$ ($|R - R'| < OO' < R + R'$) nên $(O; 3\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$ cắt nhau.
b) Đối với $(O'; 1\text{ cm})$:
Ta có $R = 3\text{ cm}, R' = 1\text{ cm}$. Tổng hai bán kính là $R + R' = 3 + 1 = 4\text{ cm}$.
Vì $OO' = 5\text{ cm} > 4\text{ cm} = R + R'$ nên hai đường tròn ở ngoài nhau.
c) Đối với $(O'; 8\text{ cm})$:
Ta có bán kính lớn $R' = 8\text{ cm}$, bán kính nhỏ $R = 3\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính là $R' - R = 8 - 3 = 5\text{ cm}$.
Vì $OO' = 5\text{ cm} = R' - R$ nên đường tròn $(O'; 8\text{ cm})$ và $(O; 3\text{ cm})$ tiếp xúc trong với nhau.
Cho ba điểm thẳng hàng $O, A$ và $O'$. Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa các độ dài $OO', OA$ và $O'A$ rồi xét xem hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau:
a) Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $O$ và $O'$;
b) Điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O'$;
c) Điểm $O'$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O$.
Xem lời giải chi tiết Bài 5.26
Hai đường tròn có bán kính lần lượt là $R = OA$ và $R' = O'A$. Cả hai đường tròn đều đi qua điểm $A$.
a) Điểm $A$ nằm giữa $O$ và $O'$:
Hệ thức độ dài: $OO' = OA + O'A = R + R'$.
Do $OO' = R + R'$ nên hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$.
b) Điểm $O$ nằm giữa $A$ và $O'$:
Hệ thức độ dài: $OO' = O'A - OA = R' - R$ (với $R' > R$).
Do $OO' = R' - R$ nên đường tròn $(O'; O'A)$ và $(O; OA)$ tiếp xúc trong với nhau tại $A$ (đường tròn $(O)$ nằm trong đường tròn $(O')$).
c) Điểm $O'$ nằm giữa $A$ và $O$:
Hệ thức độ dài: $OO' = OA - O'A = R - R'$ (với $R > R'$).
Do $OO' = R - R'$ nên đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ tiếp xúc trong với nhau tại $A$ (đường tròn $(O')$ nằm trong đường tròn $(O)$).
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$. Một đường thẳng qua $A$ cắt $(O)$ tại $B$ và cắt $(O')$ tại $C$ ($B \ne A, C \ne A$). Chứng minh rằng $OB \parallel O'C$.
Xem lời giải chi tiết Bài 5.27
Chứng minh:
- Xét tam giác $OAB$: Ta có $OA = OB$ (cùng bằng bán kính của đường tròn $(O)$). Do đó tam giác $OAB$ cân tại $O$, suy ra: $$\widehat{OBA} = \widehat{OAB}$$
- Xét tam giác $O'AC$: Ta có $O'A = O'C$ (cùng bằng bán kính của đường tròn $(O')$). Do đó tam giác $O'AC$ cân tại $O'$, suy ra: $$\widehat{O'CA} = \widehat{O'AC}$$
- Mặt khác, vì đường thẳng $BC$ đi qua tiếp điểm $A$ và đoạn nối tâm $OO'$ cũng đi qua tiếp điểm $A$, nên hai góc $\widehat{OAB}$ và $\widehat{O'AC}$ là hai góc đối đỉnh: $$\widehat{OAB} = \widehat{O'AC}$$
- Từ ba đẳng thức trên, ta suy ra: $$\widehat{OBA} = \widehat{O'CA}$$
- Mà hai góc này ở vị trí so le trong đối với hai đường thẳng $OB, O'C$ bị cắt bởi đường thẳng $BC$.
Vậy $OB \parallel O'C$ (đpcm).