Bài 13: Mở đầu về đường tròn
Định nghĩa đường tròn, vị trí của một điểm đối với đường tròn, tính đối xứng tâm và đối xứng trục của đường tròn; giải chi tiết các hoạt động, ví dụ và bài tập SGK (5.1 - 5.4).
Bài 13: Mở đầu về đường tròn
Trong đời sống thực tế, ta thấy có rất nhiều hình ảnh của đường tròn hay hình tròn như: bánh xe, vành nón, mặt trống đồng, biển báo giao thông,... Đường tròn có những tính chất kì diệu gì về khoảng cách và tính đối xứng?
Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn dấu vết của tâm. Theo em, Oanh làm thế nào để tìm lại được tâm của hình tròn đó?
Xem hướng dẫn giải tình huống mở đầu
• Oanh có thể gấp đôi mảnh giấy hình tròn sao cho hai nửa hình tròn trùng khít lên nhau. Nếp gấp tạo thành một đường kính (trục đối xứng) của hình tròn.
• Tiếp tục mở ra và gấp đôi mảnh giấy theo một hướng khác, nếp gấp thứ hai tạo thành một đường kính khác.
• Giao điểm của hai nếp gấp chính là tâm của hình tròn cần tìm!
Đường tròn và vị trí của một điểm đối với đường tròn
Định nghĩa đường tròn
Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ ($R > 0$), kí hiệu là $(O; R)$, là hình gồm tất cả các điểm cách điểm $O$ một khoảng bằng $R$.
- • Khi không cần để ý đến bán kính, ta kí hiệu đường tròn tâm $O$ là $(O)$.
- • Nếu $A$ là một điểm thuộc đường tròn $(O)$ thì ta viết $A \in (O)$. Khi đó, ta còn nói đường tròn $(O)$ đi qua điểm $A$, hay điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O)$.
Vị trí tương đối của điểm $M$ đối với $(O; R)$:
Lưu ý: Hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn $(O; R)$.
Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh rằng đường tròn $(O; OA)$ đi qua điểm $B$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 1
Vì $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $OB = OA$.
Do đó khoảng cách từ $O$ đến $B$ đúng bằng bán kính $OA$, suy ra $B \in (O; OA)$.
Nói cách khác, đường tròn $(O; OA)$ đi qua điểm $B$.
Chú ý: Đoạn thẳng $AB$ là một đường kính của đường tròn $(O)$. Do đó $(O)$ còn được gọi là đường tròn đường kính $AB$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh rằng điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.
Xem lời giải Luyện tập 1
Gọi $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$. Khi đó đoạn thẳng $AO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $ABC$.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:
$$OA = \dfrac{BC}{2} = OB = OC$$
Do $OA = \dfrac{BC}{2}$ nên điểm $A$ thuộc đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(3; 0)$, $B(-2; 0)$, $C(0; 4)$. Xác định vị trí của từng điểm đối với đường tròn $(O; 3)$?
Xem lời giải Vận dụng 1
Bán kính đường tròn là $R = 3$. Tính khoảng cách từ gốc $O(0; 0)$ đến các điểm:
- • $OA = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 = R \implies$ Điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O; 3)$.
- • $OB = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 < 3 = R \implies$ Điểm $B$ nằm trong đường tròn $(O; 3)$.
- • $OC = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 > 3 = R \implies$ Điểm $C$ nằm ngoài đường tròn $(O; 3)$.
Tính đối xứng của đường tròn
1. Đối xứng tâm (Hình 5.3)
Hai điểm $M$ và $M'$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $I$ (hay qua tâm $I$) nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM'$.
Ví dụ: Trong hình bình hành $ABCD$, giao điểm $O$ của hai đường chéo là tâm đối xứng: $A$ và $C$ đối xứng qua $O$; $B$ và $D$ đối xứng qua $O$.
2. Đối xứng trục (Hình 5.4)
Hai điểm $M$ và $M'$ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ (hay qua trục $d$) nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM'$.
Ví dụ: Trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$ cũng là đường trung trực của đáy $BC$, nên $B$ và $C$ đối xứng với nhau qua trục $AH$.
Định lí về tính đối xứng của đường tròn
• Tâm đối xứng:
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn chính là tâm đối xứng duy nhất của nó.
• Trục đối xứng:
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó (đường tròn có vô số trục đối xứng).
Cho điểm $M$ nằm trên đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Sử dụng tính đối xứng của $(O)$, hãy nêu cách tìm:
- a) Điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua tâm $O$.
- b) Điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng $AB$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 2
a) Tìm điểm $N$: Do $O$ là tâm đối xứng của $(O)$ nên điểm $N$ đối xứng với $M$ qua $O$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường thẳng $OM$. Do đó $N$ là giao điểm (khác $M$) của đường tròn $(O)$ với đường thẳng $OM$.
b) Tìm điểm $P$: Do $AB$ là một đường kính nên đường thẳng $AB$ là trục đối xứng của $(O)$. Điểm $P$ đối xứng với $M$ qua $AB$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường thẳng vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$. Vậy $P$ là giao điểm (khác $M$) của $(O)$ với đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB$.
Cho đường tròn tâm $O$ và hai điểm $A, B$ thuộc $(O)$. Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AB$. Chứng minh rằng $d$ là một trục đối xứng của $(O)$.
Xem lời giải Luyện tập 2
Vì $A$ và $B$ đều thuộc đường tròn $(O)$ nên $OA = OB = R$.
Khoảng cách từ tâm $O$ đến hai đầu mút $A, B$ bằng nhau, nên điểm $O$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$.
Vì đường thẳng $d$ đi qua tâm $O$ của đường tròn $(O)$, nên theo tính chất đối xứng, $d$ là một trục đối xứng của đường tròn $(O)$.
Trở lại tình huống mở đầu, bằng cách gấp đôi mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm lại được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.
Xem lời giải Vận dụng 2
• Khi gấp đôi mảnh giấy tròn sao cho hai mép chồng khít, nếp gấp thứ nhất là một trục đối xứng (đường kính).
• Mở ra và gấp theo một hướng khác, nếp gấp thứ hai là một đường kính khác.
Giao điểm của hai đường kính chính là tâm đối xứng của đường tròn!
Vị trí tương đối của các điểm đối với đường tròn $(O; \sqrt{5})$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $M(0; 2)$, $N(0; -3)$ và $P(2; -1)$. Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn $(O; \sqrt{5})$? Vì sao?
Xem lời giải chi tiết Bài 5.1
Bán kính đường tròn là $R = \sqrt{5} \approx 2{,}236$. Ta tính khoảng cách từ gốc $O(0; 0)$ tới từng điểm:
- • $OM = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 = \sqrt{4}$. Vì $2 < \sqrt{5}$ ($OM < R$) nên điểm $M$ nằm trong đường tròn $(O; \sqrt{5})$.
- • $ON = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3 = \sqrt{9}$. Vì $3 > \sqrt{5}$ ($ON > R$) nên điểm $N$ nằm ngoài đường tròn $(O; \sqrt{5})$.
- • $OP = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. Vì $OP = \sqrt{5} = R$ nên điểm $P$ nằm trên đường tròn $(O; \sqrt{5})$.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3\text{ cm}, AC = 4\text{ cm}$. Chứng minh rằng các điểm $A, B, C$ thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Xem lời giải chi tiết Bài 5.2
1. Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ (cm)}$$
2. Gọi $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$.
Đoạn $AO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $ABC$, nên:
$$OA = \dfrac{BC}{2} = OB = OC = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\text{ (cm)}$$
Khoảng cách từ $O$ đến ba điểm $A, B, C$ đều bằng nhau và bằng $2{,}5\text{ cm}$.
Vậy ba điểm $A, B, C$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$, bán kính $R = 2{,}5\text{ cm}$.
Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn qua phép đối xứng
Cho đường tròn $(O)$, đường thẳng $d$ đi qua $O$ và điểm $A$ thuộc $(O)$ nhưng không thuộc $d$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$; $C$ và $D$ lần lượt là điểm đối xứng với $A$ và $B$ qua $O$.
- a) Ba điểm $B, C$ và $D$ có thuộc $(O)$ không? Vì sao?
- b) Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.
- c) Chứng minh rằng $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.
Xem lời giải chi tiết Bài 5.3
a) Ba điểm $B, C, D$ có thuộc $(O)$ không:
• Đường thẳng $d$ đi qua tâm $O$ nên $d$ là trục đối xứng của $(O)$. Vì $A \in (O)$ và $B$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $B \in (O)$.
• Tâm $O$ là tâm đối xứng của $(O)$. Vì $A \in (O)$ và $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $C \in (O)$.
• Tương tự, vì $B \in (O)$ và $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $D \in (O)$.
Vậy cả ba điểm $B, C, D$ đều thuộc đường tròn $(O)$.
b) Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật:
Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $BD$.
Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mặt khác, $AC$ và $BD$ đều là đường kính của $(O)$ nên $AC = BD = 2R$.
Hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.
c) Chứng minh $C$ và $D$ đối xứng qua $d$:
Vì $A$ và $B$ đối xứng qua $d$ nên $d \perp AB$. Trong hình chữ nhật $ABCD$, $CD // AB$ nên $d \perp CD$.
Đường thẳng $d$ đi qua tâm $O$ (trung điểm các đường chéo), do đó $d$ cũng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $CD$.
Vậy $d$ là đường trung trực của $CD$, suy ra $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông
Cho hình vuông $ABCD$ có $E$ là giao điểm của hai đường chéo.
- a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm $A, B, C$ và $D$. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.
- b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng $3\text{ cm}$.
Xem lời giải chi tiết Bài 5.4
a) Đường tròn ngoại tiếp hình vuông, tâm và trục đối xứng:
• Trong hình vuông $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường. Do đó:
$$EA = EB = EC = ED = \dfrac{AC}{2}$$
Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $E$ bán kính $R = EA$.
• Tâm đối xứng: Tâm $E$ (giao điểm hai đường chéo).
• Hai trục đối xứng: Hai đường thẳng chứa hai đường chéo $AC$ và $BD$ (hoặc hai đường trung trực của các cạnh đối diện của hình vuông).
b) Tính bán kính đường tròn khi cạnh hình vuông bằng $3\text{ cm}$:
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB = BC = 3\text{ cm}$. Theo định lí Pythagore:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ (cm)}$$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
$$R = EA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\text{ (cm)} \approx 2{,}12\text{ (cm)}$$
