Luyện tập chung Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Luyện tập tổng hợp: Tính tỉ số lượng giác, áp dụng định lí 1 và định lí 2 giải tam giác vuông, giải quyết trọn vẹn các bài toán thực tiễn phức hợp về bức tường hình thang, độ sâu tàu ngầm, chiều rộng khúc sông và đập thuỷ điện.
1. Tỉ số lượng giác góc nhọn $\alpha$
- • $\sin \alpha = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Huyền}}$, $\quad \cos \alpha = \dfrac{\text{Kề}}{\text{Huyền}}$
- • $\tan \alpha = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Kề}}$, $\quad \cot \alpha = \dfrac{\text{Kề}}{\text{Đối}}$
- • Mối liên hệ: $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\quad \cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
- • $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\quad 1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$
2. Hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông
- • Định lí 1: $b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$; $\quad c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$
- • Định lí 2: $b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$; $\quad c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$
- • Hai góc phụ nhau: Khi $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$ thì:
- $\sin B = \cos C;\ \cos B = \sin C;\ \tan B = \cot C;\ \cot B = \tan C$
Ví dụ 1: Tính tỉ số lượng giác và góc phụ nhau (Hình 4.25 SGK)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5\text{ cm}, AC = 12\text{ cm}$:
- a) Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.
- b) Từ kết quả câu a), suy ra các tỉ số lượng giác của góc $C$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 1
a) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABC$ tại $A$:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$.
Các tỉ số lượng giác của góc $B$ là:
$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{13}$; $\quad \cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13}$; $\quad \tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{5}$; $\quad \cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{12}$.
b) Do $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$ nên theo tính chất hai góc phụ nhau:
$\sin C = \cos B = \dfrac{5}{13}$; $\quad \cos C = \sin B = \dfrac{12}{13}$; $\quad \tan C = \cot B = \dfrac{5}{12}$; $\quad \cot C = \tan B = \dfrac{12}{5}$.
Ví dụ 2: Bức tường gạch hình thang vuông xây dở (Hình 4.26 SGK)
Một bức tường đang xây dở có dạng hình thang vuông $ABCD$, vuông góc ở $A$ và $D$, với kích thước: $AB = 1\text{ m}, CD = 4\text{ m}, AD = 6\text{ m}$.
- a) Hỏi góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng $BC$ và mặt đất $AD$ có số đo xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
- b) Tính độ dài cạnh nghiêng $BC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 2
a) Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với mặt đất $AD$, cắt cạnh $CD$ tại $E$.
Tứ giác $ABED$ có $BE \parallel AD, AB \parallel DE$ và $\widehat{A} = 90^\circ$ nên $ABED$ là hình chữ nhật.
Suy ra: $BE = AD = 6\text{ m}$ và $ED = AB = 1\text{ m}$.
Độ dài đoạn $EC = CD - ED = 4 - 1 = 3\text{ m}$.
Trong tam giác vuông $BCE$ tại $E$, ta có: $\tan \alpha = \tan \widehat{EBC} = \dfrac{EC}{BE} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
Bấm MTCT: $\alpha = \arctan(0{,}5) \approx \mathbf{26^\circ 34'}$.
b) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $BCE$:
$BC = \sqrt{BE^2 + EC^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx \mathbf{6{,}7\text{ m}}$.
Hình 4.16: Sơ đồ phân tích tam giác vuông phụ trợ $BCE$
Ứng dụng thực tế: Độ sâu tàu ngầm và đập thuỷ điện
Bài toán tàu ngầm lặn nghiêng góc $21^\circ$ (Hình 4.31 SGK)
Một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc $21^\circ$:
- a) Khi tàu di chuyển được $200\text{ m}$ theo hướng đó thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển (làm tròn đến mét)?
- b) Giả sử tốc độ của tàu là $9\text{ km/h}$, hỏi sau bao lâu thì tàu ở độ sâu $200\text{ m}$?
Xem lời giải Tàu ngầm lặn
a) Độ sâu $h$ là cạnh đối của góc $21^\circ$, quãng đường đi $s = 200\text{ m}$ là cạnh huyền:
$h = s \cdot \sin 21^\circ = 200 \cdot \sin 21^\circ \approx 200 \cdot 0{,}3584 = 71{,}67\text{ m} \approx \mathbf{72\text{ m}}$.
b) Để đạt độ sâu $h' = 200\text{ m}$, quãng đường tàu cần đi xiên là:
$s' = \dfrac{h'}{\sin 21^\circ} = \dfrac{200}{\sin 21^\circ} \approx \dfrac{200}{0{,}358368} \approx 558{,}09\text{ m} \approx 0{,}558\text{ km}$.
Vận tốc tàu: $v = 9\text{ km/h} = \dfrac{9000}{3600} = 2{,}5\text{ m/s}$.
Thời gian cần thiết: $t = \dfrac{s'}{v} \approx \dfrac{558{,}09}{2{,}5} \approx 223\text{ giây} \approx \mathbf{3\text{ phút } 43\text{ giây}}$.
Hình 4.17: Quỹ đạo lặn góc $21^\circ$ của tàu ngầm
Bài toán mặt cắt đập ngăn nước (Hình 4.30 SGK)
Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang $ABCD$ (Hình 4.30). Chiều rộng mặt trên $AB = 3\text{ m}$, chiều cao của đập $h = 3{,}5\text{ m}$.
Độ dốc của sườn $AD$ là $\tan D = 1{,}25$; độ dốc của sườn $BC$ là $\tan C = 1{,}5$.
Tính chiều rộng đáy đập $CD$ và chiều dài các sườn đập $AD, BC$ (làm tròn đến $\text{dm}$).
Xem lời giải Đập ngăn nước
Hạ các đường cao $AH_1 \perp CD$ và $BH_2 \perp CD$ ($AH_1 = BH_2 = 3{,}5\text{ m}$).
Tứ giác $ABH_2 H_1$ là hình chữ nhật nên $H_1 H_2 = AB = 3\text{ m}$.
• Trong tam giác vuông $ADH_1$: $DH_1 = \dfrac{AH_1}{\tan D} = \dfrac{3{,}5}{1{,}25} = 2{,}8\text{ m}$.
• Trong tam giác vuông $BCH_2$: $CH_2 = \dfrac{BH_2}{\tan C} = \dfrac{3{,}5}{1{,}5} = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}333\text{ m}$.
Chiều rộng chân đập: $CD = DH_1 + H_1 H_2 + CH_2 = 2{,}8 + 3 + 2{,}333 = 8{,}133\text{ m} \approx \mathbf{81\text{ dm}}$.
• Sườn đập $AD = \sqrt{AH_1^2 + DH_1^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 2{,}8^2} = \sqrt{12{,}25 + 7{,}84} = \sqrt{20{,}09} \approx 4{,}48\text{ m} \approx \mathbf{45\text{ dm}}$.
• Sườn đập $BC = \sqrt{BH_2^2 + CH_2^2} = \sqrt{3{,}5^2 + (7/3)^2} = \sqrt{12{,}25 + 5{,}444} = \sqrt{17{,}694} \approx 4{,}21\text{ m} \approx \mathbf{42\text{ dm}}$.
Hình 4.18: Kết cấu hình thang đập thuỷ điện thực tế