Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng
Nắm vững Định lí 1 (cạnh góc vuông = cạnh huyền × sin góc đối = cạnh huyền × cos góc kề), Định lí 2 (cạnh góc vuông = cạnh góc vuông kia × tan góc đối = cạnh góc vuông kia × cot góc kề), phương pháp giải tam giác vuông và các ứng dụng trắc địa đo chiều cao lâu đài, cây xanh.
Để đo chiều cao của một toà lâu đài cổ kính mà không thể trèo lên đỉnh tháp (Hình 4.11), người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm $M$. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh $P'$ của toà lâu đài dưới góc nhọn $\alpha = 27^\circ$.
Sau đó, người ta lùi lại đặt giác kế thẳng đứng tại điểm $N$ trên cùng một đường thẳng sao cho khoảng cách $NM = 20\text{ m}$, thì nhìn thấy đỉnh $P'$ dưới góc nhọn $\beta = 19^\circ$. Biết chiều cao của giác kế là $1{,}6\text{ m}$.
Làm thế nào để tính chính xác chiều cao của toà lâu đài dựa vào các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông?
Hình 4.11: Phương pháp đo gián tiếp chiều cao công trình bằng 2 vị trí giác kế
Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông
Hoạt động 1: Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và sin, côsin
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $a$, các cạnh góc vuông $b, c$:
- a) Viết các tỉ số lượng giác $\sin, \cos$ của góc $B$ và góc $C$ theo độ dài các cạnh.
- b) Biểu diễn mỗi cạnh góc vuông $b$ và $c$ theo cạnh huyền $a$ và các tỉ số lượng giác trên.
Xem lời giải HĐ1
a) $\sin B = \dfrac{b}{a}$; $\cos B = \dfrac{c}{a}$; $\sin C = \dfrac{c}{a}$; $\cos C = \dfrac{b}{a}$.
b) Nhân chéo hai vế, ta được:
$b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$; $\quad c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$.
Hình 4.12: Quy tắc nhớ hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông
Ví dụ 1: Độ cao máy bay cất cánh sau 1,2 phút (Hình 4.13 SGK)
Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc $500\text{ km/h}$. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc $30^\circ$.
Hỏi sau $1{,}2$ phút, máy bay lên cao được bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng?
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 1
Đổi thời gian: $1{,}2\text{ phút} = \dfrac{1{,}2}{60}\text{ h} = \dfrac{1}{50}\text{ h}$.
Quãng đường máy bay bay theo đường nghiêng $AB$ là:
$AB = v \cdot t = 500 \cdot \dfrac{1}{50} = 10\text{ (km)}$.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$, góc $\widehat{A} = 30^\circ$. Theo Định lí 1:
$BH = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = \mathbf{5\text{ (km)}}$.
Vậy sau $1{,}2$ phút, máy bay lên cao được $5\text{ km}$ theo phương thẳng đứng.
Hình 4.13: Quỹ đạo cất cánh góc $30^\circ$ của máy bay
Luyện tập 1.1: Đặt chân thang an toàn (Hình 4.14 SGK)
Một chiếc thang dài $3\text{ m}$. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét để nó tạo được với mặt đất một góc "an toàn" $65^\circ$?
Xem lời giải Thang an toàn
Gọi khoảng cách từ chân thang đến tường là $d$. Chiếc thang đóng vai trò cạnh huyền $a = 3\text{ m}$. Góc tạo với mặt đất kề với đoạn $d$ là $65^\circ$.
Theo Định lí 1: $d = 3 \cdot \cos 65^\circ \approx 3 \cdot 0{,}4226 \approx \mathbf{1{,}27\text{ m}}$.
Luyện tập 1.2: Góc lệch dòng nước đẩy con đò (Hình 4.15 SGK)
Một khúc sông rộng $250\text{ m}$. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng $320\text{ m}$ mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò lệch một góc bao nhiêu độ?
Xem lời giải Góc lệch con đò
Trong tam giác vuông tạo bởi đường đi của đò ($320\text{ m}$ - cạnh huyền) và bề rộng khúc sông ($250\text{ m}$ - cạnh kề của góc lệch $\alpha$):
$\cos \alpha = \dfrac{250}{320} = \dfrac{25}{32} \approx 0{,}78125$.
Bấm MTCT: $\alpha \approx \mathbf{38^\circ 37'}$.
Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông
Ví dụ 2: Chiều cao toà hải đăng (Hình 4.17 SGK)
Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $34^\circ$, bóng của ngọn hải đăng trên mặt đất dài $8{,}6\text{ m}$. Tính chiều cao toà hải đăng (làm tròn đến mét).
Xem lời giải Hải đăng
Đường cao $h$ của tháp là cạnh đối của góc $34^\circ$, bóng tháp $8{,}6\text{ m}$ là cạnh kề.
Theo Định lí 2: $h = 8{,}6 \cdot \tan 34^\circ \approx 8{,}6 \cdot 0{,}6745 \approx 5{,}8\text{ m} \approx \mathbf{6\text{ m}}$.
Luyện tập 2: Chiều cao cây bóng nắng (Hình 4.18 SGK)
Bóng trên mặt đất của một cây dài $25\text{ m}$. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến $\text{dm}$), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $40^\circ$.
Xem lời giải Chiều cao cây
Theo Định lí 2, chiều cao của cây là:
$h = 25 \cdot \tan 40^\circ \approx 25 \cdot 0{,}8391 = 20{,}977\text{ m} \approx 21\text{ m} = \mathbf{210\text{ dm}}$.
Giải tam giác vuông và ứng dụng
Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh) thì ta luôn tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là Bài toán Giải tam giác vuông.
Ví dụ 3: Cho $AB = 5, AC = 8$ (Hình 4.19 SGK)
Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5, AC = 8$. Tính cạnh $BC$ và các góc $B, C$.
Xem lời giải Ví dụ 3
• Theo định lí Pythagore: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx \mathbf{9{,}4}$.
• Tính góc: $\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625 \implies \widehat{C} \approx \mathbf{32^\circ}$.
• Suy ra: $\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} \approx 90^\circ - 32^\circ = \mathbf{58^\circ}$.
Ví dụ 4: Cho $AB = 3, \widehat{B} = 42^\circ$ (Hình 4.20 SGK)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, \widehat{B} = 42^\circ$. Tính góc $C$ và các cạnh $AC, BC$.
Xem lời giải Ví dụ 4
• Góc còn lại: $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 42^\circ = \mathbf{48^\circ}$.
• Cạnh góc vuông $AC$: $AC = AB \cdot \tan B = 3 \cdot \tan 42^\circ \approx \mathbf{2{,}701}$.
• Cạnh huyền $BC$: $BC = \dfrac{AB}{\cos B} = \dfrac{3}{\cos 42^\circ} \approx \mathbf{4{,}037}$.
Vận dụng: Tính chiều cao toà lâu đài trong tình huống mở đầu
Xét mô hình hình học ở Hình 4.11: Gọi $P'$ là đỉnh lâu đài, $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $P'$ xuống đường thẳng nằm ngang qua các mắt ngắm giác kế $N', M'$.
Đặt $h' = P'H$, ta có: $N'M' = 20\text{ m}, \widehat{P'M'H} = \alpha = 27^\circ, \widehat{P'N'H} = \beta = 19^\circ$.
Xem lời giải chi tiết Toà lâu đài
Trong tam giác vuông $P'M'H$ tại $H$: $M'H = \dfrac{P'H}{\tan 27^\circ} = P'H \cdot \cot 27^\circ$.
Trong tam giác vuông $P'N'H$ tại $H$: $N'H = \dfrac{P'H}{\tan 19^\circ} = P'H \cdot \cot 19^\circ$.
Khoảng cách giữa hai vị trí đặt giác kế là:
$N'M' = N'H - M'H = P'H \cdot (\cot 19^\circ - \cot 27^\circ) = 20\text{ m}$.
Suy ra chiều cao từ tầm mắt giác kế lên đỉnh tháp:
$P'H = \dfrac{20}{\cot 19^\circ - \cot 27^\circ} = \dfrac{20}{\dfrac{1}{\tan 19^\circ} - \dfrac{1}{\tan 27^\circ}} \approx \dfrac{20}{2{,}9042 - 1{,}9626} = \dfrac{20}{0{,}9416} \approx 21{,}24\text{ m}$.
Chiều cao của toà lâu đài là:
$h = P'H + 1{,}6\text{ m} \approx 21{,}24 + 1{,}6 = \mathbf{22{,}84\text{ m}}$.
Hình 4.14: Sơ đồ giải tích góc ngắm $\alpha, \beta$ và đoạn $NM$
Bài toán thực nghiệm: Đo chiều cao cây qua gương phẳng (Bài 4.13 SGK)
Một học sinh đứng tại điểm $A$, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm $B$ là $1{,}2\text{ m}$, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương $B$ của ngọn cây (cây mọc thẳng đứng, gốc cây tại điểm $C$ cách $B$ là $4{,}8\text{ m}$, $B$ nằm giữa $A$ và $C$).
Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt của bạn học sinh là $1{,}65\text{ m}$. Hãy tính chiều cao của cây.
Xem lời giải Chiều cao cây qua gương
Theo định luật phản xạ ánh sáng: Góc tới bằng góc phản xạ nên hai góc nhọn tại điểm $B$ bằng nhau.
Xét hai tam giác vuông đồng dạng:
• Tam giác người: chiều cao mắt $h_1 = 1{,}65\text{ m}$, khoảng cách $d_1 = 1{,}2\text{ m}$.
• Tam giác cây: chiều cao cây $h_2$, khoảng cách $d_2 = 4{,}8\text{ m}$.
Ta có tỉ số đồng dạng:
$\tan \widehat{B} = \dfrac{h_1}{d_1} = \dfrac{h_2}{d_2} \implies h_2 = d_2 \cdot \dfrac{h_1}{d_1} = 4{,}8 \cdot \dfrac{1{,}65}{1{,}2} = 4 \cdot 1{,}65 = \mathbf{6{,}6\text{ m}}$.
Vậy chiều cao của cây là $6{,}6\text{ m}$.
Hình 4.15: Thí nghiệm quang học kết hợp tỉ số lượng giác