Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Nắm vững định nghĩa 4 tỉ số lượng giác (sin, cos, tan, cot), bảng giá trị góc đặc biệt (30°, 45°, 60°), tính chất hai góc phụ nhau và ứng dụng trắc địa đo đạc chiều cao, khoảng cách qua sông.
Để đảm bảo an toàn cho người khuyết tật sử dụng xe lăn, Tiêu chuẩn Xây dựng Việt Nam quy định: Độ dốc của đường dốc dành cho xe lăn không được vượt quá $\dfrac{1}{10}$ (nghĩa là tỉ số giữa chiều cao dốc và chiều dài mặt sàn dốc tối đa là $1 : 10$).
Điều này tương đương với việc góc dốc $\alpha$ tạo bởi mặt đường dốc với mặt đất nằm ngang không được vượt quá $5^\circ 44'$.
Làm thế nào để các kỹ sư xây dựng xác định được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của tam giác vuông với độ lớn của góc dốc $\alpha$?
Hình 4.1: Đường dốc cho xe lăn với góc nghiêng chuẩn $5^\circ 44'$
Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Hoạt động 1: Xét tam giác vuông góc $45^\circ$
Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng $45^\circ$. Tam giác đó là tam giác gì? Hãy tính tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc $45^\circ$ đó.
Xem lời giải HĐ1
Tam giác vuông có một góc nhọn bằng $45^\circ$ là tam giác vuông cân.
Khi đó, cạnh đối và cạnh kề của góc $45^\circ$ có độ dài bằng nhau: $\text{cạnh đối} = \text{cạnh kề}$.
Do đó, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề bằng $\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = 1$.
Hoạt động 2: Hai tam giác vuông đồng dạng
Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $A'B'C'$ có $\widehat{A} = \widehat{A'} = 90^\circ$ và $\widehat{B} = \widehat{B'} = \alpha$. Chứng minh $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ và suy ra các tỉ số tương ứng bằng nhau.
Xem lời giải HĐ2
Hai tam giác vuông $ABC$ và $A'B'C'$ có $\widehat{B} = \widehat{B'} = \alpha$ nên $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ (trường hợp góc - góc).
Suy ra: $\dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'}$.
Từ đó ta có: $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{A'C'}{B'C'}$; $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$; $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{A'C'}{A'B'}$.
Kết luận: Các tỉ số này chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc nhọn $\alpha$, không phụ thuộc vào kích thước của tam giác vuông.
Cho góc nhọn $\alpha$. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = \alpha$:
- • Sin của góc $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \dfrac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \dfrac{AC}{BC}$
- • Côsin của góc $\alpha$, kí hiệu $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \dfrac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \dfrac{AB}{BC}$
- • Tang của góc $\alpha$, kí hiệu $\tan \alpha$: $\tan \alpha = \dfrac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}} = \dfrac{AC}{AB}$
- • Côtang của góc $\alpha$, kí hiệu $\cot \alpha$: $\cot \alpha = \dfrac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh đối}} = \dfrac{AB}{AC}$
Hình 4.2: Minh họa cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền theo góc $\alpha$
- • Vì cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền nên: $0 < \sin \alpha < 1$ và $0 < \cos \alpha < 1$.
- • Tang và côtang luôn dương: $\tan \alpha > 0$, $\cot \alpha > 0$.
- • Mối liên hệ nghịch đảo: $\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}$ hay $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.
- • Mẹo học thuộc thơ vui: "Sao Đi Học (Sin = Đối/Huyền), Cứ Khóc Hoài (Cos = Kề/Huyền), Thôi Đừng Khóc (Tan = Đối/Kề), Có Kẹo Đây (Cot = Kề/Đối)".
Ví dụ 1: Tính các tỉ số lượng giác của tam giác vuông $3\text{ cm}, 4\text{ cm}$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = 3\text{ cm}, AC = 4\text{ cm}$. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$ và góc $C$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 1
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \implies BC = 5\text{ cm}$.
Đối với góc $B$:
Cạnh đối là $AC = 4$, cạnh kề là $AB = 3$, cạnh huyền là $BC = 5$.
$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$; $\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$; $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$; $\cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.
Đối với góc $C$:
Cạnh đối là $AB = 3$, cạnh kề là $AC = 4$, cạnh huyền là $BC = 5$.
$\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$; $\cos C = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$; $\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$; $\cot C = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$.
Luyện tập 1: Tam giác vuông cạnh huyền $13\text{ cm}$
Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5\text{ cm}, BC = 13\text{ cm}$. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.
Xem lời giải Luyện tập 1
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABC$:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$.
Các tỉ số lượng giác của góc $B$ là:
$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{13}$; $\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13}$; $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{5}$; $\cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{12}$.
Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ($30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$)
Hình 4.3: a) Tam giác vuông cân cạnh $1, 1, \sqrt{2}$ (góc $45^\circ$) | b) Nửa tam giác đều cạnh $1, \sqrt{3}, 2$ (góc $30^\circ - 60^\circ$)
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| Tỉ số lượng giác | $\alpha = 30^\circ$ | $\alpha = 45^\circ$ | $\alpha = 60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin \alpha$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos \alpha$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan \alpha$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
| $\cot \alpha$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác
Tính giá trị biểu thức: $M = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ$.
Xem lời giải Ví dụ 2
Tra bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt, ta có:
$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$.
Thay vào biểu thức $M$:
$M = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Luyện tập 2: Tính biểu thức chứa bình phương
Tính giá trị các biểu thức: $A = \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ$ và $B = \tan 60^\circ \cdot \cot 60^\circ + 2\sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$.
Xem lời giải Luyện tập 2
• Đối với $A$: $A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$.
• Đối với $B$: Vì $\tan 60^\circ \cdot \cot 60^\circ = 1$ và $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên:
$B = 1 + 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1 + 2 \cdot \dfrac{2}{4} = 1 + 1 = 2$.
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau (tổng bằng $90^\circ$, tức là $\alpha + \beta = 90^\circ$) thì:
Ví dụ: $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$; $\tan 20^\circ = \cot 70^\circ$; $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$.
Luyện tập 3: Rút gọn biểu thức góc phụ nhau
Rút gọn các biểu thức: $P = \sin 25^\circ - \cos 65^\circ$ và $Q = \dfrac{\tan 58^\circ}{\cot 32^\circ}$.
Xem lời giải Luyện tập 3
• Vì $25^\circ + 65^\circ = 90^\circ$ nên $\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$.
Do đó: $P = \sin 25^\circ - \sin 25^\circ = 0$.
• Vì $58^\circ + 32^\circ = 90^\circ$ nên $\cot 32^\circ = \tan 58^\circ$.
Do đó: $Q = \dfrac{\tan 58^\circ}{\tan 58^\circ} = 1$.
Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác
Trước khi tính, hãy chuyển đơn vị đo góc sang Độ (kí hiệu chữ D trên màn hình máy tính).
1. Tính tỉ số lượng giác khi biết góc
Dùng các phím trực tiếp: sin, cos, tan.
Để tính $\cot \alpha$, ta tính $1 \div \tan \alpha$.
Ví dụ: $\sin 35^\circ 12' \approx 0{,}5764$.
2. Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác
Bấm phím SHIFT trước khi bấm sin ($\sin^{-1}$), cos ($\cos^{-1}$), tan ($\tan^{-1}$).
Bấm phím độ phút giây ° ' " để đổi kết quả sang độ và phút.
Ví dụ: $\sin \alpha = 0{,}6 \implies \alpha \approx 36^\circ 52'$.
Vận dụng thực tế và bài toán trắc địa
Bài toán 1: Đo chiều cao cột điện nhờ bóng nắng (Hình 4.3 SGK)
Một cột điện thẳng đứng vuông góc với mặt đất có bóng đổ trên mặt đất dài $4\text{ m}$. Tại thời điểm đó, tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng $60^\circ$.
Tính chiều cao của cột điện (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Xem lời giải chi tiết Bài toán 1
Mô hình hóa hình học: Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, trong đó:
- • $AB$ là chiều cao cột điện ($h$).
- • $BC = 4\text{ m}$ là độ dài bóng cột điện trên mặt đất.
- • Góc $\widehat{ACB} = 60^\circ$ là góc nâng của tia sáng mặt trời.
Trong tam giác vuông $ABC$, ta có:
$\tan 60^\circ = \dfrac{AB}{BC} \implies AB = BC \cdot \tan 60^\circ = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 6{,}93\text{ m}$.
Vậy chiều cao của cột điện xấp xỉ $6{,}93\text{ m}$.
Hình 4.4: Sơ đồ giải tích tam giác vuông tính chiều cao cột điện
Bài toán 2: Đo khoảng cách qua sông bằng giác kế (Hình 4.10 SGK)
Hai kỹ sư muốn đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ ở hai bờ đối diện của một khúc sông mà không cần bơi qua sông. Họ chọn điểm $B$ sao cho đoạn thẳng $AB$ vuông góc với bờ sông.
Từ $B$, họ đo dọc theo bờ sông một đoạn $BC = 70\text{ m}$. Sau đó đặt giác kế tại $C$ ngắm tới điểm $A$ ở bờ bên kia, đo được góc $\widehat{ACB} = 55^\circ$.
Hãy tính khoảng cách giữa hai bờ sông $AB$ (làm tròn đến mét).
Xem lời giải chi tiết Bài toán qua sông
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$:
• Cạnh $AB$ là cạnh đối của góc $\widehat{ACB} = 55^\circ$.
• Cạnh $BC = 70\text{ m}$ là cạnh kề của góc $\widehat{ACB}$.
Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác tang của góc nhọn:
$\tan \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} \implies AB = BC \cdot \tan 55^\circ$.
Thay số: $AB = 70 \cdot \tan 55^\circ \approx 70 \cdot 1{,}4281 = 99{,}97\text{ m} \approx \mathbf{100\text{ m}}$.
Vậy khoảng cách giữa hai bờ sông xấp xỉ $100\text{ m}$.
Hình 4.5: Sơ đồ hình học tam giác vuông đo khoảng cách qua sông