Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba
Nắm vững định nghĩa và tính chất căn bậc ba của một số thực, căn thức bậc ba của biểu thức đại số, tính giá trị và rút gọn biểu thức bằng hằng đẳng thức lập phương.
Căn bậc hai của một số thực (dương) có một vai trò quan trọng trong đời sống và toán học. Căn bậc hai của số thực $a$ không âm là các số thực $x$ thoả mãn điều kiện $x^2 = a$. Trong bài học này, các em sẽ được làm quen với khái niệm căn bậc ba, một khái niệm tương tự căn bậc hai nhưng mở rộng cho mọi số thực!
Căn bậc ba
Định nghĩa căn bậc ba của một số thực và phương pháp tính bằng MTCT
Kí hiệu $V$ là thể tích của hình lập phương với cạnh $x$ ($V = x^3$). Hãy tìm cạnh $x$ khi biết $V = 8$, $V = 27$, $V = 64$.
Xem lời giải chi tiết
Công thức thể tích hình lập phương: $V = x^3$.
- Với $V = 8 = 2^3 \implies x = 2$.
- Với $V = 27 = 3^3 \implies x = 3$.
- Với $V = 64 = 4^3 \implies x = 4$.
Các giá trị cần điền lần lượt là $x = 3$ và $x = 4$.
Căn bậc ba của số thực $a$ là số thực $x$ thoả mãn:
$$x^3 = a$$
• Tính duy nhất: Mỗi số thực $a$ (dương, âm hay bằng 0) đều có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$.
• Dấu của căn bậc ba: Căn bậc ba của số dương là số dương, căn bậc ba của số âm là số âm, $\sqrt[3]{0} = 0$.
• Đẳng thức cơ bản: Với mọi số thực $a$: $(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$.
a) Chứng tỏ rằng $\sqrt[3]{64} = 4$; b) Tính $\sqrt[3]{0}$ và $\sqrt[3]{-27}$.
Xem lời giải chi tiết
- a) Vì $4^3 = 64$ nên theo định nghĩa căn bậc ba, $\sqrt[3]{64} = 4$.
- b) Ta có $0^3 = 0 \implies \sqrt[3]{0} = 0$.
Vì $(-3)^3 = -27 \implies \sqrt[3]{-27} = -3$.
Tính giá trị đúng của các căn bậc ba sau:
a) $\sqrt[3]{125}$; b) $\sqrt[3]{0{,}008}$; c) $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}}$.
Xem lời giải chi tiết
- a) Vì $5^3 = 125$ nên $\sqrt[3]{125} = 5$.
- b) Vì $(0{,}2)^3 = 0{,}008$ nên $\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2$.
- c) Vì $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{-8}{27}$ nên $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}} = -\dfrac{2}{3}$.
Để tính căn bậc ba trên máy tính cầm tay, ta dùng tổ hợp phím SHIFT + √ (phím căn bậc ba $\sqrt[3]{\phantom{x}}$).
Ví dụ 2 (SGK Trang 61):
Tính $\sqrt[3]{3{,}25}$ rồi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
Bấm: SHIFT √ 3.25 = $\implies \sqrt[3]{3{,}25} \approx 1{,}48$.
Luyện tập 2 (SGK Trang 61):
Tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác $0{,}005$.
Màn hình hiện $3{,}55689... \implies \sqrt[3]{45} \approx 3{,}56$.
Có thể xếp $125$ khối lập phương đơn vị (có cạnh bằng $1\text{ cm}$) thành một khối lập phương lớn được không nhỉ?
Xem lời giải chi tiết
Trả lời: Có thể xếp được.
Giải thích: Vì $125 = 5^3$ nên ta có thể xếp $125$ khối lập phương đơn vị thành một khối lập phương lớn gồm $5$ lớp, mỗi lớp gồm $5 \times 5 = 25$ khối đơn vị.
Khối lập phương lớn có cạnh bằng $5\text{ cm}$ và thể tích $V = 5^3 = 125\text{ cm}^3$.
Căn thức bậc ba
Định nghĩa căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$, tính giá trị và rút gọn biểu thức
Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\sqrt[3]{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số.
• Đẳng thức cơ bản: $(\sqrt[3]{A})^3 = \sqrt[3]{A^3} = A$.
• Tính giá trị: Để tính giá trị của $\sqrt[3]{A}$ tại giá trị cho trước của biến, ta thay giá trị đó vào trong căn thức rồi thực hiện phép tính số học.
Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{2x + 5}$ tại:
a) $x = 60$; b) $x = -6{,}5$.
Xem lời giải chi tiết
- a) Thay $x = 60$ vào căn thức:
$$\sqrt[3]{2 \cdot 60 + 5} = \sqrt[3]{120 + 5} = \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$$ - b) Thay $x = -6{,}5$ vào căn thức:
$$\sqrt[3]{2 \cdot (-6{,}5) + 5} = \sqrt[3]{-13 + 5} = \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$$
Rút gọn biểu thức: $-x + 5 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}$.
Xem lời giải chi tiết
Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$.
Do đó:
$$-x + 5 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} = -x + 5 + \sqrt[3]{(x + 1)^3} = -x + 5 + (x + 1) = 6$$
Biểu thức rút gọn có giá trị không đổi bằng $6$ với mọi $x$.
a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5x - 1}$ tại $x = 0$ và tại $x = -1{,}4$.
b) Rút gọn biểu thức: $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Tính giá trị căn thức:
- Tại $x = 0$: $\sqrt[3]{5 \cdot 0 - 1} = \sqrt[3]{-1} = -1$.
- Tại $x = -1{,}4$: $\sqrt[3]{5 \cdot (-1{,}4) - 1} = \sqrt[3]{-7 - 1} = \sqrt[3]{-8} = -2$.
b) Rút gọn biểu thức:
Nhận xét: $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$.
Suy ra: $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} = \sqrt[3]{(x - 1)^3} = x - 1$.
Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng $730\text{ dm}^3$. Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu decimét.
Xem lời giải chi tiết
• Gọi độ dài cạnh thùng tôn hình lập phương là $x\text{ (dm)}$ ($x > 0$).
• Thể tích thùng là: $V = x^3 = 730\text{ dm}^3 \implies x = \sqrt[3]{730}$.
• Vì $9^3 = 729 \approx 730$ nên ta ước lượng chiều dài cạnh thùng là: khoảng $9\text{ dm}$ (hay $90\text{ cm}$).
* Bằng máy tính cầm tay: $\sqrt[3]{730} \approx 9{,}00411\text{ dm}$, rất gần với số nguyên $9$.
