Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ta có:

• $\sqrt{(-3)^2 \cdot 25} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15$;
• $|-3| \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$.

Do đó: $\sqrt{(-3)^2 \cdot 25} = |-3| \cdot \sqrt{25}$.

• a) Ta có $45 = 3^2 \cdot 5$ nên $\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.
• b) Ta có $243 = 3 \cdot 9^2$ nên $\sqrt{243a} = \sqrt{9^2 \cdot 3a} = 9\sqrt{3a}$ (vì $a \ge 0$).

• a) $\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
• b) $3\sqrt{27} = 3\sqrt{3^2 \cdot 3} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
• c) $5\sqrt{48} = 5\sqrt{4^2 \cdot 3} = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với $7$ và đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta được:

$$\sqrt{\dfrac{4}{7}} = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 7}{7^2}} = \sqrt{\left(\dfrac{2}{7}\right)^2 \cdot 7} = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}$$

Nhân cả tử và mẫu với $5$ rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

$$\sqrt{\dfrac{3}{5}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{5^2}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}$$

• a) $5 \cdot \sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$; $\sqrt{5^2 \cdot 4} = \sqrt{25 \cdot 4} = \sqrt{100} = 10$.
  Vậy $5 \cdot \sqrt{4} = \sqrt{5^2 \cdot 4}$.
• b) $-5 \cdot \sqrt{4} = -5 \cdot 2 = -10$; $-\sqrt{(-5)^2 \cdot 4} = -\sqrt{25 \cdot 4} = -\sqrt{100} = -10$.
  Vậy $-5 \cdot \sqrt{4} = -\sqrt{(-5)^2 \cdot 4}$.

• a) $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.
• b) Do thừa số $-2 < 0$, ta đưa phần số dương vào trong căn và giữ dấu trừ ở ngoài:
  $$-2\sqrt{a} = -\sqrt{2^2 \cdot a} = -\sqrt{4a}\quad (a \ge 0)$$

Đưa các thừa số vào trong dấu căn:

• $a = 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$;
• $b = 2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Vì $12 < 18$ nên $\sqrt{12} < \sqrt{18}$, suy ra $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$ (hay $b < a$).

• a) $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
• b) $-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28}$.

• a) Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{5}$:
  $$\dfrac{2}{3\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{3(\sqrt{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \dfrac{2\sqrt{5}}{15}$$
• b) Biểu thức liên hợp của mẫu là $3 + 2\sqrt{2}$:
  $$\dfrac{a}{3 - 2\sqrt{2}} = \dfrac{a(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \dfrac{a(3 + 2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \dfrac{a(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = (3 + 2\sqrt{2})a$$

• a) Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$:
  $$\dfrac{-5\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{-5\sqrt{x^2+1} \cdot \sqrt{3}}{2(\sqrt{3})^2} = \dfrac{-5\sqrt{3(x^2+1)}}{6}$$
• b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $(\sqrt{a} - \sqrt{2})$:
  $$\dfrac{a^2 - 2a}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \dfrac{a(a - 2)(\sqrt{a} - \sqrt{2})}{(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2})} = \dfrac{a(a - 2)(\sqrt{a} - \sqrt{2})}{a - 2} = a(\sqrt{a} - \sqrt{2})$$

• Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

• Sử dụng hằng đẳng thức căn bậc hai: $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$ (do $1 < \sqrt{3}$).

Do đó:

$$A = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + (\sqrt{3} - 1) = (2 - 5 + 1)\sqrt{3} - 1 = -1 - 2\sqrt{3}$$

Đặt nhân tử chung ở các tử số:

• $\dfrac{\sqrt{22} - \sqrt{11}}{1 - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{11}(\sqrt{2} - 1)}{1 - \sqrt{2}} = -\sqrt{11}$;
• $\dfrac{\sqrt{21} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{3} - 1)}{1 - \sqrt{3}} = -\sqrt{7}$.

Biểu thức trở thành:

$$\left(-\sqrt{11} - \sqrt{7}\right)(\sqrt{7} - \sqrt{11}) = -(\sqrt{7} + \sqrt{11})(\sqrt{7} - \sqrt{11}) = -(7 - 11) = -(-4) = 4$$