Lý thuyết Bài 1: Tập hợp
Khái niệm tập hợp, phần tử thuộc và không thuộc, hai cách mô tả tập hợp, tập số tự nhiên N và N*
BÀI 1: TẬP HỢP
Khi tính toán với những số nhỏ, người xưa chỉ cần dùng đến các ngón tay. Nhưng khi gặp các số lớn thì sao? Các hệ đếm xuất hiện để giúp con người tính toán với những số lớn. Chương này sẽ giúp các em làm quen với hệ (đếm) thập phân để biểu diễn và tính toán với các số tự nhiên. Thật dễ dàng và thuận tiện!
Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta rất thường gặp khái niệm tập hợp:
Hình 1.1: Tập hợp gồm các bông hồng trong lọ hoa
Hình 1.2: Tập hợp gồm ba con cá vàng trong bình cá
Bài này sẽ giúp các em tìm hiểu về tập hợp – một khái niệm cơ bản và quan trọng của Toán học.
Tập Hợp Và Phần Tử Của Tập Hợp
• Trên Hình 1.1 (H.1.1) ta có tập hợp các bông hồng trong lọ hoa.
• Trên Hình 1.2 ta có tập hợp các con cá vàng trong bình cá.
• Hình 1.3 biểu diễn tập hợp gồm các số 4; 1; 9 và 8. Nếu kí hiệu $M$ là tập hợp này thì các số 4; 1; 9 và 8 là các phần tử của tập hợp $M$.
• Gọi $B$ là tập hợp các chữ cái viết thường trong tiếng Việt. Khi đó $a, b, c, \dots$ là những phần tử của tập hợp $B$.
Hình 1.3: Tập hợp $M$
• Một tập hợp (gọi tắt là tập) bao gồm những đối tượng nhất định. Các đối tượng ấy được gọi là phần tử của tập hợp.
• $x$ là một phần tử của tập $A$, kí hiệu là: $x \in A$ (đọc là "x thuộc A").
• $y$ không là phần tử của tập $A$, kí hiệu là: $y \notin A$ (đọc là "y không thuộc A").
Minh họa: $x \in A$ và $y \notin A$
Gọi $B$ là tập hợp các bạn tổ trưởng trong lớp em. Em hãy chỉ ra một bạn thuộc tập $B$ và một bạn không thuộc tập $B$.
Hướng dẫn giải:
• Giả sử các bạn tổ trưởng trong lớp em gồm có: An, Bình, Cúc, Dũng. Khi đó $B = \{\text{An; Bình; Cúc; Dũng}\}$.
• Bạn An là tổ trưởng nên: $\text{An} \in B$.
• Bạn Hoa không phải là tổ trưởng nên: $\text{Hoa} \notin B$.
Mô Tả Một Tập Hợp
Mô tả một tập hợp là cho biết cách xác định các phần tử của tập hợp đó. Ta thường dùng hai cách mô tả tập hợp sau:
• Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp
Viết các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc $\{$ $\}$ theo thứ tự tuỳ ý nhưng mỗi phần tử chỉ được viết một lần.
Ví dụ: Với tập $P$ gồm các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 ở Hình 1.4, ta viết:
$P = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.
• Cách 2: Nêu dấu hiệu đặc trưng cho các phần tử của tập hợp
Ví dụ: Với tập $P$ (xem Hình 1.4), ta cũng có thể viết:
$P = \{n \mid n \text{ là số tự nhiên nhỏ hơn } 6\}$.
Hình 1.4: Tập hợp $P$
Khi mô tả tập hợp $L$ các chữ cái trong từ NHA TRANG bằng cách liệt kê, bạn Nam viết:
$L = \{\text{N; H; A; T; R; A; N; G}\}$. Nam viết đúng hay sai?
❶ Gọi $\mathbb{N}$ là tập hợp gồm các số tự nhiên $0; 1; 2; 3; \dots$ Ta có thể viết tập $\mathbb{N}$ như sau:
$\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}$.
❷ Ta viết $n \in \mathbb{N}$ có nghĩa $n$ là một số tự nhiên. Chẳng hạn, tập $P$ các số tự nhiên nhỏ hơn 6 có thể viết là:
$P = \{n \mid n \in \mathbb{N}, n < 6\}$ hoặc $P = \{n \in \mathbb{N} \mid n < 6\}$.
❸ Ta còn dùng kí hiệu $\mathbb{N}^*$ để chỉ tập hợp các số tự nhiên khác 0, nghĩa là:
$\mathbb{N}^* = \{1; 2; 3; \dots\}$.
Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của chúng:
$A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}; \quad B = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x < 5\}$.
Lời giải chi tiết:
• Tập $A$: Các số tự nhiên nhỏ hơn 5 (có số 0):
$A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$
• Tập $B$: Các số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn 5:
$B = \{1; 2; 3; 4\}$
Gọi $M$ là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 6 và nhỏ hơn 10.
Lời giải chi tiết:
a) Điền dấu $\in$ hoặc $\notin$:
• $5 \notin M$ (vì $5 < 6$)
• $9 \in M$ (vì $6 < 9 < 10$)
b) Mô tả tập hợp $M$ bằng hai cách:
• Cách 1 (Liệt kê): $M = \{7; 8; 9\}$
• Cách 2 (Nêu tính chất): $M = \{x \in \mathbb{N} \mid 6 < x < 10\}$
Georg Cantor
(1845 – 1918)
Nhà Toán học ĐứcCon người biết đến toán học từ hàng nghìn năm trước Công nguyên. Mãi đến cuối thế kỉ XIX, lí thuyết tập hợp mới được phát triển nhờ các nghiên cứu của nhà toán học Cantor (Căng-to), người Đức. Từ đó, lí thuyết tập hợp nhanh chóng trở thành nền tảng của Toán học hiện đại.
Tập hữu hạn & Tập vô hạn
• Tập $X = \{x; y\}$ có 2 phần tử; tập $Y = \{1; 2; 3; \dots; 50\}$ có 50 phần tử. $X$ và $Y$ là những tập hợp có một số hữu hạn phần tử $\rightarrow$ gọi là tập hữu hạn.
• Khác với $X, Y$, tập hợp có vô số phần tử được gọi là tập vô hạn.
Giao Của Hai Tập Hợp
Gọi $C$ là tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập $A$ và $B$. Ta gọi $C$ là giao của hai tập $A$ và $B$, kí hiệu: