Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Phương trình có $a = 3, b = 0, c = -10$.

Vì $ac = -30 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt đối nhau.

Theo định lí Viète:

• $S = x_1 + x_2 = -\frac{0}{3} = 0$
• $P = x_1 x_2 = \frac{-10}{3} = -\frac{10}{3}$

Xét phương trình $x^2 - x + 3 = 0$ có biệt thức:

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$$

Do $\Delta < 0$, phương trình vô nghiệm. Vì phương trình không có nghiệm nên không có tổng và tích hai nghiệm.

Phương trình $2x^2 - 9x + 7 = 0$ có $a = 2, b = -9, c = 7$.

Nhận thấy: $a + b + c = 2 + (-9) + 7 = 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm:

• $x_1 = 1$
• $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{2} = 3{,}5$

Phương trình $3x^2 + 11x + 8 = 0$ có $a = 3, b = 11, c = 8$.

Nhận thấy: $a - b + c = 3 - 11 + 8 = 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm:

• $x_1 = -1$
• $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{8}{3}$

Theo định lí Viète, tích hai nghiệm của phương trình là:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{7}$$

Thay $x_1 = 2$ vào ta được:

$$2 \cdot x_2 = \frac{2}{7} \implies x_2 = \frac{2}{7} : 2 = \frac{1}{7}$$

Hai số $u, v$ là hai nghiệm của phương trình:

$$x^2 - 20x + 99 = 0$$

Biệt thức $\Delta' = (-10)^2 - 99 = 1 > 0 \implies \sqrt{\Delta'} = 1$.

Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 10 - 1 = 9; \quad x_2 = 10 + 1 = 11$.

Vậy $(u; v)$ là $(9; 11)$ hoặc $(11; 9)$.

Ta có $S = 2$ và $P = 15$.

Xét điều kiện có hai số: $S^2 - 4P = 2^2 - 4 \cdot 15 = 4 - 60 = -56 < 0$.

Do $S^2 - 4P < 0$, phương trình $x^2 - 2x + 15 = 0$ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số thực $u, v$ nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

Theo SGK Toán 9, quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm 3 bước cơ bản:

1. Bước 1: Lập phương trình (chọn ẩn, đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng, lập phương trình).
2. Bước 2: Giải phương trình.
3. Bước 3: Trả lời (kiểm tra điều kiện của nghiệm và đưa ra kết luận bài toán).

Gọi lãi suất gửi tiết kiệm là $x$ ($x > 0$).

Sau hai năm gửi theo thể thức lãi kép, số tiền nhận được là: $100(1 + x)^2$ triệu đồng.

Theo đề bài: $100(1 + x)^2 = 118{,}81 \iff (1 + x)^2 = 1{,}1881$.

Vì $x > 0$ nên $1 + x = 1{,}09 \iff x = 0{,}09 = 9\%$.

Gọi chiều rộng là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$), chiều dài là $x + 30\text{ (m)}$.

Diện tích sân: $x(x + 30) = 1\,800 \iff x^2 + 30x - 1\,800 = 0$.

Ta có: $(x - 30)(x + 60) = 0 \implies x = 30$ (do $x > 0$).

Vậy chiều rộng là $30\text{ m}$ và chiều dài là $30 + 30 = 60\text{ m}$.

Gọi vận tốc thực của tàu là $v\text{ (km/h)}$ ($v > 3$).

Thời gian chạy trên sông: $5{,}5 - 0{,}5 = 5$ giờ.

Phương trình: $\dfrac{36}{v + 3} + \dfrac{36}{v - 3} = 5 \iff 36(2v) = 5(v^2 - 9) \iff 5v^2 - 72v - 45 = 0$.

Giải phương trình được $v = 15$ (thỏa mãn) hoặc $v = -0{,}6$ (loại).

Vậy vận tốc thực của tàu là $15\text{ km/h}$.

Gọi số xe ban đầu là $x$ chiếc ($x \in \mathbb{N}^*, x > 2$).

Số hàng mỗi xe dự định chở: $\dfrac{120}{x}$ tấn.

Thực tế mỗi xe chở: $\dfrac{120}{x - 2}$ tấn.

Ta có phương trình: $\dfrac{120}{x - 2} - \dfrac{120}{x} = 3 \iff x(x - 2) = 80 \iff x^2 - 2x - 80 = 0$.

$(x - 10)(x + 8) = 0 \implies x = 10$ (thỏa mãn) hoặc $x = -8$ (loại).

Vậy đội xe ban đầu có $10$ chiếc.

Gọi chiều rộng ban đầu là $x\text{ (m)}$ ($x > 0$). Chiều dài ban đầu là $\dfrac{360}{x}\text{ (m)}$.

Theo đề bài ta có phương trình:

$$(x + 3)\left(\frac{360}{x} - 4\right) = 360 \iff 360 - 4x + \frac{1\,080}{x} - 12 = 360$$

$$\iff -4x^2 - 12x + 1\,080 = 0 \iff x^2 + 3x - 270 = 0$$

Ta có $(x - 15)(x + 18) = 0 \implies x = 15$ (thỏa mãn).

Chiều dài ban đầu là: $\dfrac{360}{15} = 24\text{ (m)}$.

Gọi tỉ lệ tăng dân số mỗi năm là $r$ ($r > 0$, viết dưới dạng số thập phân).

Sau hai năm, số dân là: $1\,200\,000(1 + r)^2$ người.

Theo đề bài: $1\,200\,000(1 + r)^2 = 1\,452\,000 \iff (1 + r)^2 = \dfrac{1\,452\,000}{1\,200\,000} = 1{,}21$.

Suy ra: $1 + r = 1{,}1 \iff r = 0{,}1 = 10\%$.