Luyện Tập Bài Tập Toán Học
Rèn luyện tư duy trắc nghiệm và tự luận với lời giải chi tiết và công thức Toán hiển thị chuẩn KaTeX.
Cho tam giác nhọn $ABC$ cân tại $A$ có $BC = 12\text{ cm}$ và $AB = AC = 10\text{ cm}$. Kẻ hai đường cao $BH$ và $CK$. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm $B, C, H, K$ và khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn này đến dây $HK$ lần lượt bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$. Đường thẳng $a$ cắt đường tròn $(O; R)$ khi và chỉ khi:
Khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ nhỏ hơn bán kính ($d < R$) thì đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$. Gọi $d = OO'$ là khoảng cách giữa hai tâm. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau khi và chỉ khi:
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính: $OO' = R + R'$.
Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn ($A, B$ là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau đây là SAI?
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $MA = MB$, $MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$, $OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$. Hơn nữa $OM$ là đường trung trực của $AB$, tức là $OM \perp AB$ chứ không phải song song. Vậy D là khẳng định sai.
Để một đoạn thẳng được chắp nối trơn với một cung tròn tại điểm $A$, đoạn thẳng đó phải:
Theo nguyên lý vẽ chắp nối trơn trong SGK: Nếu một đoạn thẳng được chắp nối trơn với một cung tròn thì đoạn thẳng đó phải nằm trên tiếp tuyến của đường tròn chứa cung tròn đó tại điểm chắp nối.
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$, điểm $O$ nằm ở giữa chúng. Biết khoảng cách từ $O$ đến $a$ và $b$ lần lượt bằng $2\text{ cm}$ và $3\text{ cm}$. Để đường tròn $(O; R)$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$ thì điều kiện của bán kính $R$ là:
Để $(O; R)$ cắt đường thẳng $a$ thì $R > 2\text{ cm}$.
Để $(O; R)$ cắt đường thẳng $b$ thì $R > 3\text{ cm}$.
Do đó để cắt cả hai đường thẳng thì $R > \max(2; 3) = 3\text{ cm}$.
Trong Bài 5.28, nếu đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ ($d_a = 2\text{ cm}$) thì vị trí tương đối của $(O; R)$ đối với đường thẳng $b$ ($d_b = 3\text{ cm}$) là:
Vì $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ nên $R = d_a = 2\text{ cm}$.
Khoảng cách từ $O$ đến $b$ là $d_b = 3\text{ cm} > 2\text{ cm} = R$.
Vì $d_b > R$ nên đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $b$ không giao nhau.
Đầu mũi kim dài và đầu mũi kim ngắn của một chiếc đồng hồ khi quay tạo nên hai đường tròn $(T_1)$ và $(T_2)$. Vị trí tương đối của hai đường tròn này là:
Vì hai kim đồng hồ cùng quay quanh một trục kim cố định nên tâm của hai đường tròn trùng nhau. Vì bán kính khác nhau nên chúng là hai đường tròn đồng tâm.
Cho $R_1 = 3\text{ cm}, R_2 = 2\text{ cm}$. Họa tiết tròn $(T_3)$ có tâm cách trục kim $1{,}5\text{ cm}$ và bán kính $R_3 = 1\text{ cm}$. Vị trí tương đối của $(T_3)$ đối với $(T_1)$ là:
Ta có $d = 1{,}5\text{ cm}$, bán kính $R_1 = 3\text{ cm}$ và $R_3 = 1\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính là: $R_1 - R_3 = 3 - 1 = 2\text{ cm}$.
Vì $d = 1{,}5\text{ cm} < 2\text{ cm} = R_1 - R_3$ nên đường tròn $(T_1)$ đựng đường tròn $(T_3)$.
Cho $R_2 = 2\text{ cm}$. Họa tiết tròn $(T_3)$ có tâm cách trục kim $1{,}5\text{ cm}$ và bán kính $R_3 = 1\text{ cm}$. Vị trí tương đối của $(T_3)$ đối với $(T_2)$ là:
Ta có $d = 1{,}5\text{ cm}$, $R_2 = 2\text{ cm}$ và $R_3 = 1\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính: $|R_2 - R_3| = 2 - 1 = 1\text{ cm}$.
Tổng hai bán kính: $R_2 + R_3 = 2 + 1 = 3\text{ cm}$.
Vì $1\text{ cm} < 1{,}5\text{ cm} < 3\text{ cm}$ ($|R_2 - R_3| < d < R_2 + R_3$) nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, hai tiếp tuyến song song $xx'$ tại $A$ và $yy'$ tại $B$. Tiếp tuyến thứ ba tại $P$ cắt $xx'$ tại $M$ và cắt $yy'$ tại $N$. Hệ thức độ dài nào sau đây luôn đúng?
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ và $N$:
$MP = MA$ và $NP = NB$.
Do đó $MN = MP + NP = MA + NB$.
Trong Bài 5.30, đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt $MN$ tại $Q$. Vị trí của điểm $Q$ trên đoạn $MN$ là:
Tứ giác $AMNB$ là hình thang vuông ($AM \parallel BN$).
Đường thẳng $OQ$ vuông góc với $AB$ nên $OQ \parallel AM \parallel BN$.
Vì $O$ là trung điểm cạnh bên $AB$ nên $OQ$ là đường trung bình của hình thang, suy ra $Q$ là trung điểm của cạnh bên $MN$.
Trong Bài 5.30, vị trí tương đối của đường thẳng $AB$ đối với đường tròn có đường kính là đoạn thẳng $MN$ là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ và cùng tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $B$ và $C$. Tam giác $ABC$ là tam giác gì?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho hai đường tròn $(O; 9\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Gọi $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ($B \in (O), C \in (O')$). Độ dài đoạn thẳng $BC$ bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho hai đường tròn ngoài nhau $(O; 6\text{ cm})$ và $(O'; 2\text{ cm})$ có khoảng cách giữa hai tâm $OO' = 8\text{ cm}$. Tiếp tuyến chung ngoài cắt đường thẳng $OO'$ tại điểm $P$. Độ dài đoạn thẳng $PO'$ bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho hai đường tròn $(O; 9\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ tiếp xúc ngoài tại $A$ với tiếp tuyến chung ngoài $BC = 12\text{ cm}$ ($B \in (O), C \in (O')$). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Ta so sánh khoảng cách từ tâm $O$ đến các điểm với bán kính $R = 4\text{ cm}$:
- Vì $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$ nên $OA < R$, suy ra điểm $A$ nằm trong $(O)$.
- Vì $OB = 4 = R$ nên điểm $B$ nằm trên $(O)$.
Do đó điểm $A$ nằm trong $(O)$ và điểm $B$ nằm trên $(O)$.
Vì $BD$ là đường kính nên $\widehat{BOD} = 180^\circ$:
- Góc ở tâm $\widehat{COD} = 180^\circ - \widehat{BOC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \implies \text{sđ }\overparen{DC} = 80^\circ$.
- Góc ở tâm $\widehat{AOD} = 180^\circ - \widehat{AOB} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \implies \text{sđ }\overparen{AD} = 140^\circ$.
Hai đường tròn $(A; R_1)$ và $(B; R_2)$ cắt nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tâm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:
$R_1 - R_2 < AB < R_1 + R_2$.