Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Vì $A, B \in (O)$ nên $A', B'$ đối xứng với $A, B$ qua tâm $O$ cũng thuộc đường tròn $(O)$. Do đó $A'B'$ là một dây cung của $(O)$.

Đường trung trực của bất kì dây cung nào của đường tròn đều đi qua tâm $O$. Mà mọi đường thẳng đi qua tâm đều là trục đối xứng của đường tròn, do đó đường trung trực của $A'B'$ là một trục đối xứng của $(O)$.

Vì $\triangle BHC$ vuông tại $H$ nên trung điểm $O$ của $BC$ cách đều $B, C, H$ ($HO = \frac{BC}{2}$).

Vì $\triangle BKC$ vuông tại $K$ nên trung điểm $O$ của $BC$ cách đều $B, C, K$ ($KO = \frac{BC}{2}$).

Do đó cả bốn điểm $B, C, H, K$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$.

Bốn điểm $B, C, H, K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Trong đường tròn này, $BC$ là đường kính, còn $KH$ là một dây cung không đi qua tâm (do tam giác $ABC$ không vuông). Theo định lý so sánh đường kính và dây: trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. Do đó:

$KH < BC$

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung $90^\circ$ là $S_q = \frac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \frac{1}{4}\pi R^2$.

Diện tích tam giác vuông cân chắn cung đó là $S_t = \frac{1}{2}R^2$.

Diện tích hình viên phân là:

$S = S_q - S_t = \frac{1}{4}\pi R^2 - \frac{1}{2}R^2 = R^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)$

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 40^\circ$ nên $\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. Tam giác $OBK$ cân tại $O$ (vì $OB = OK = R$) nên:

$\widehat{BOK} = 180^\circ - 2 \times 70^\circ = 40^\circ$.

Tương tự $\widehat{COH} = 40^\circ$. Vì ba điểm $B, O, C$ thẳng hàng nên góc ở tâm $\widehat{KOH}$ là:

$\widehat{KOH} = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$.

Vậy số đo của cung nhỏ $KH$ là $100^\circ$.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $O$ đến $AB$, ta có $OH = 2{,}5\text{ cm}$ và $OA = 5\text{ cm}$.

Trong tam giác vuông $OHA$:

$AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{18{,}75} = 2{,}5\sqrt{3}\text{ cm}$.

Vì đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây nên:

$AB = 2AH = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\text{ cm}$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, tam giác $OHA$ vuông tại $H$ có:

$\cos \widehat{AOH} = \frac{OH}{OA} = \frac{2{,}5}{5} = \frac{1}{2} \implies \widehat{AOH} = 60^\circ$.

Vì $OH$ là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ nên góc ở tâm $\widehat{AOB} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

Do đó số đo cung nhỏ $AB$ là $120^\circ$.

Độ dài của cung tròn bán kính $R = 5\text{ cm}$ với số đo $n = 120^\circ$ được tính bởi:

$l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 120}{180} = \frac{10\pi}{3}\text{ cm} \approx 10{,}47\text{ cm}$.

Diện tích hình quạt tròn bán kính $R = 5\text{ cm}$, góc ở tâm $n = 120^\circ$ là:

$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 120}{360} = \frac{25\pi}{3}\text{ cm}^2 \approx 26{,}18\text{ cm}^2$.

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Tam giác $OBD$ cân tại $O$ ($OB = OD = R$) và có $\widehat{B} = 60^\circ$ (do $\triangle ABC$ đều). Do đó $\triangle OBD$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{BOD} = 60^\circ \implies \text{sđ}\overparen{BD} = 60^\circ$.

Tương tự $\triangle OCE$ đều $\implies \text{sđ}\overparen{EC} = 60^\circ$.

Góc ở tâm $\widehat{DOE} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \implies \text{sđ}\overparen{DE} = 60^\circ$.

Vậy ba cung nhỏ bằng nhau và cùng bằng $60^\circ$.